Partie A – Identités remarquables et factorisation
(Développer ou factoriser au maximum, en détaillant les calculs.)
1. Développer et réduire les expressions suivantes :
(1 pt)
a) A = (3x + 2)²
b) B = (2x − 5)(2x + 5)
2. Factoriser les expressions suivantes :
(1 pt)
a) C = 9x² − 49
b) D = x² + 6x + 9
Partie B – Puissances, racines carrées et calcul numérique
3. Calculer et simplifier (donner une écriture sous forme irréductible ou radicale simplifiée) :
(1,5 pt)
a) E = √75 − 2√3 + √12
b) F = (2−3 × 25) / 4² (écrire le résultat comme une puissance de 2)
c) G = √(3 + 4)² − (√5)²
4. Résoudre dans ℝ l'équation : (x − 3)² = 25
(1,5 pt)
Partie A – Généralités et études de fonctions
On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = 2x² − 8x + 6
1. Calculer f(0), f(1) et f(3).
(0,75 pt)
2. Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme : f(x) = 2(x − 2)² − 2
(0,75 pt)
3. En déduire les coordonnées du minimum de f et préciser pour quelle valeur de x il est atteint.
(0,5 pt)
4. Dresser le tableau de variations de f sur ℝ.
(1 pt)
5. Résoudre l'équation f(x) = 0, puis l'inéquation f(x) < 0.
(1 pt)
Partie B – Fonctions de référence et lecture graphique
On donne la représentation graphique d'une fonction g sur [−4 ; 4] dans le repère ci-dessous (à compléter pour la question 6).
On admet que la courbe passe par les points A(−3 ; 9), B(0 ; 0), C(2 ; 4).
(Repère avec origine au centre, graduation = 1 unité par carré)
6. Quelle est la nature probable de la fonction g ? Justifier par les coordonnées données.
(0,5 pt)
7. Lire graphiquement (valeurs approchées acceptées) :
(0,5 pt)
a) L'image de −2 par g.
b) Les antécédents de 1 par g.
8. On considère la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = 1/x.
Donner le sens de variation de h et dresser son tableau de variations sur ]0 ; +∞[.
(1 pt)
On se place dans un repère orthonormé (O ; I ; J). On donne les points :
A(1 ; 3), B(5 ; 1), C(3 ; −1), D(−1 ; 1).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs
AB et
DC.
(1 pt)
2. Que peut-on déduire sur la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier rigoureusement.
(1 pt)
3. Calculer les longueurs AB et AD (valeurs exactes).
(1 pt)
4. Soit M le milieu de [AC]. Déterminer les coordonnées de M.
(0,5 pt)
5. (1,5 pt)
On note I le milieu de [BD]. Calculer les coordonnées de I.
En déduire que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. Quelle propriété du quadrilatère ABCD cela confirme-t-il ?
Un sondage est réalisé auprès de 200 élèves de seconde sur leur temps hebdomadaire (en heures) passé à réviser les mathématiques. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :
| Temps (en h) |
[0 ; 2[ |
[2 ; 4[ |
[4 ; 6[ |
[6 ; 8[ |
[8 ; 10] |
Total |
| Effectif |
30 |
64 |
70 |
28 |
8 |
200 |
| Fréquence (%) |
15 % |
|
35 % |
|
4 % |
100 % |
1. Compléter les fréquences manquantes dans le tableau. (0,5 pt)
2. Calculer la moyenne du temps de révision hebdomadaire (on prendra la valeur centrale de chaque intervalle). Donner le résultat arrondi au dixième.
(1 pt)
3. On choisit un élève au hasard parmi les 200.
(1,5 pt)
a) Quelle est la probabilité qu'il révise au moins 4 heures par semaine ?
b) Quelle est la probabilité qu'il révise strictement moins de 6 heures par semaine ?
c) Parmi les élèves qui révisent au moins 6 heures, on en choisit un au hasard. Quelle est la probabilité qu'il révise 8 heures ou plus ? (arrondir au centième)