CORRIGÉ — DEVOIR DE MATHÉMATIQUES — SECONDE

Exercice 1 — Calcul numérique (/ 2)

1. A = 56 − 34 × 89
Priorité à la multiplication :
34 × 89 = 3 × 84 × 9 = 2436 = 23
A = 56 − 23 = 56 − 46 = 16
A = 16
2. B = √75 − 2√12 + √48
√75 = √(25 × 3) = 5√3
2√12 = 2√(4 × 3) = 2 × 2√3 = 4√3
√48 = √(16 × 3) = 4√3
B = 5√3 − 4√3 + 4√3 = 5√3
B = 5√3

Exercice 2 — Pourcentages (/ 2)

1. Évolution globale après +20 % puis −15 %
Coefficient multiplicateur d'une hausse de 20 % : 1 + 0,20 = 1,20
Coefficient multiplicateur d'une baisse de 15 % : 1 − 0,15 = 0,85
Coefficient global : 1,20 × 0,85 = 1,02
Évolution globale : +2 %. L'article est plus cher de 2 % qu'avant les deux modifications.
Erreur classique : additionner les pourcentages (+20 − 15 = +5 %). Faux, car la baisse s'applique au prix déjà augmenté.
2. Prix initial après remise de 35 % donnant 78 €
Coefficient de la baisse : 1 − 0,35 = 0,65
P × 0,65 = 78   donc   P = 780,65 = 120
Prix initial : 120 €.

Exercice 3 — Calcul littéral et factorisation (/ 6)

1. Développements
a) A(x) = (3x − 2)(2x + 5) = 6x2 + 15x − 4x − 10 = 6x2 + 11x − 10
b) B(x) = (4x − 3)2 = (4x)2 − 2 × 4x × 3 + 32 = 16x2 − 24x + 9
c) C(x) = (5x + 2)(5x − 2) = (5x)2 − 22 = 25x2 − 4
2. Factorisations
a) D(x) = 49x2 − 16 = (7x)2 − 42 = (7x − 4)(7x + 4)
b) E(x) = 9x2 + 12x + 4 = (3x)2 + 2 × 3x × 2 + 22 = (3x + 2)2
c) F(x) = x2 − 14x + 49 = x2 − 2 × 7 × x + 72 = (x − 7)2
d) G(x) = (3x − 1)(x + 4) − (3x − 1)(2x − 5)
Facteur commun (3x − 1) :
G(x) = (3x − 1)[(x + 4) − (2x − 5)] = (3x − 1)(x + 4 − 2x + 5) = (3x − 1)(9 − x)
e) H(x) = (2x + 3)2 − (x − 1)2  : forme a2 − b2 avec a = 2x + 3, b = x − 1.
H(x) = [(2x + 3) − (x − 1)] [(2x + 3) + (x − 1)]
     = (2x + 3 − x + 1)(2x + 3 + x − 1) = (x + 4)(3x + 2)
3. Équations par factorisation
a) x2 − 25 = 0 ⇔ (x − 5)(x + 5) = 0 ⇔ x = 5 ou x = −5
S = {−5 ; 5}
b) (2x − 1)2 − 9 = 0 ⇔ (2x − 1)2 − 32 = 0
⇔ [(2x − 1) − 3] [(2x − 1) + 3] = 0 ⇔ (2x − 4)(2x + 2) = 0
⇔ 2x − 4 = 0 ou 2x + 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x = −1
S = {−1 ; 2}
Règle du produit nul : un produit de facteurs est nul ssi au moins un des facteurs est nul.

Exercice 4 — Fonctions (/ 4)

f(x) = x2 − 2x − 3 sur [−2 ; 4].
1. Calcul des images
f(−2) = (−2)2 − 2×(−2) − 3 = 4 + 4 − 3 = 5
f(0) = 0 − 0 − 3 = −3
f(3) = 9 − 6 − 3 = 0
2. Tableau de valeurs
x −2 −1 0 1 2 3 4
f(x) 5 0 −3 −4 −3 0 5
3. Tracé de Cf
−2−10 1234 −11−2−3−4 2345 xy A B S(1;−4)
4. Résolution de f(x) = 0
a) Graphiquement : la courbe coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses −1 et 3.
S = {−1 ; 3}
b) Par le calcul. On factorise f(x) en faisant apparaître une forme canonique :
f(x) = x2 − 2x − 3 = (x2 − 2x + 1) − 4 = (x − 1)2 − 22
f(x) = [(x − 1) − 2] [(x − 1) + 2] = (x − 3)(x + 1)
f(x) = 0 ⇔ (x − 3)(x + 1) = 0 ⇔ x = 3 ou x = −1
S = {−1 ; 3}, ce qui confirme la lecture graphique.

Exercice 5 — Vecteurs (/ 6)

Partie A.  1. Simplifications par Chasles
a) u = AB + BC + CD = AC + CD = AD
b) v = MN − MP = MN + PM = PM + MN = PN
Astuce : pour MN − MP (même origine M), on obtient toujours PN (extrémités, dans l'ordre du second moins le premier).
c) w = AC + DB − DC = AC + DB + CD = AC + CD + DB = AD + DB = AB
2. ABCD parallélogramme de centre O
a) AB = DC. En effet, ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC (côtés opposés [AB] et [DC] de même direction, même sens, même longueur).
b) 2e règle du parallélogramme : AB + AD = AC (diagonale issue de A).
c) O est le centre du parallélogramme, donc O est le milieu de [AC]. Ainsi OA et OC sont opposés : OC = −OA, donc OA + OC = 0. CQFD.
Partie B.  1. Figure
A B C I J
2. Démontrer que IJ = 23 BC
Par Chasles, en passant par A : IJ = IA + AJ = −AI + AJ = AJ − AI
     = 23 AC − 23 AB = 23 (AC − AB) = 23 (ABopp + AC) = 23 (BA + AC) = 23 BC
IJ = 23 BC. CQFD.
3. Parallélisme (IJ) et (BC)
D'après le 2., IJ = 23 BC avec 23 ≠ 0, donc IJ et BC sont colinéaires.
Théorème : deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
Donc (IJ) // (BC).

Question bonus — Alignement de A, K, L (+ 1)

K milieu de [BC] : AK = AB + BK = AB + 12 BC = AB + 12 (BA + AC) = AB − 12 AB + 12 AC = 12 (AB + AC)
L milieu de [IJ] : AL = AI + IL = AI + 12 IJ = 23 AB + 12 × 23 BC = 23 AB + 13 BC
     = 23 AB + 13 (BA + AC) = 23 AB − 13 AB + 13 AC = 13 (AB + AC)
On a donc : AB + AC = 2 AK, et AL = 13 × 2 AK = 23 AK.
AL et AK sont colinéaires (coefficient 23), donc A, K, L sont alignés. CQFD.