Corrigé — Exercices 10 et 11

Annales 2025 — Intégration — Terminale spé maths

Exercice 10 — Amérique du Nord, sujet 2 (22 mai 2025)

Données. I = ∫₀^π/2 e^x sin(x) dx , J = ∫₀^π/2 e^x cos(x) dx.

1. Établir I = 1 + J et I = e^π/2 − J

Première IPP — choix : on dérive l'exponentielle (en passant par v) et on intègre le sinus (en u')

Pose : u'(x) = sin(x) ; v(x) = e^x ⇒ u(x) = −cos(x) ; v'(x) = e^x.

Les fonctions u et v sont dérivables sur [0 ; π/2], u' et v' continues sur [0 ; π/2] : l'IPP s'applique.

I = [u(x) v(x)]₀^π/2 − ∫₀^π/2 u(x) v'(x) dx
   = [−cos(x) e^x]₀^π/2 − ∫₀^π/2 (−cos(x)) e^x dx
   = (−cos(π/2) e^π/2) − (−cos(0) · e⁰) + ∫₀^π/2 e^x cos(x) dx
   = (0 · e^π/2) − (−1 · 1) + J
   = 0 + 1 + J.

I = 1 + J

Seconde IPP — choix opposé : on intègre l'exponentielle (en u') et on dérive le sinus (en v)

Pose : u'(x) = e^x ; v(x) = sin(x) ⇒ u(x) = e^x ; v'(x) = cos(x).

Mêmes conditions de régularité : l'IPP s'applique.

I = [e^x sin(x)]₀^π/2 − ∫₀^π/2 e^x cos(x) dx
= (e^π/2 sin(π/2)) − (e⁰ sin(0)) − J
= e^π/2 · 1 − 1 · 0 − J.

I = e^π/2 − J

2. En déduire I = (1 + e^π/2) / 2

On additionne membre à membre les deux égalités obtenues à la question 1 :

I + I = (1 + J) + (e^π/2 − J)
2I = 1 + e^π/2.

I = 1 + e^π/22

3. Aire du domaine hachuré

D'après le graphique, la fonction f représentée est f(x) = e^x sin(x), et g(x) = x. Sur l'intervalle [0 ; π/2], la courbe C_f est située au-dessus de C_g (admis d'après la figure) : les deux fonctions sont continues, donc f − g est continue et positive sur [0 ; π/2].

L'aire A du domaine hachuré, en unités d'aire, est :

A = ∫₀^π/2 [f(x) − g(x)] dx = ∫₀^π/2 e^x sin(x) dx − ∫₀^π/2 x dx = I − [x²2]₀^π/2
= 1 + e^π/22 − (π/2)²2 = 1 + e^π/22 − π²8.

A = 1 + e^π/22 − π²8 u.a. (≈ 1,67 u.a.)

Exercice 11 — Amérique du Nord, sujet 2 — secours (22 mai 2025)

Données. n ∈ ℕ*. La fonction considérée est f(x) = x e^−x, Δ est l'axe des abscisses (droite d'équation y = 0).

I_n = ∫₁ⁿ x e^−x dx.

1. Calcul de I_n par intégration par parties

L'intégrande est un produit polynôme × exponentielle : on dérive le polynôme.

Pose : u'(x) = e^−x ; v(x) = x ⇒ u(x) = −e^−x ; v'(x) = 1.

Les fonctions u et v sont dérivables sur [1 ; n], u' et v' continues sur [1 ; n] : l'IPP s'applique.

I_n = [u(x) v(x)]₁ⁿ − ∫₁ⁿ u(x) v'(x) dx
    = [−x e^−x]₁ⁿ − ∫₁ⁿ (−e^−x) dx
    = (−n e⁻ⁿ) − (−1 · e⁻¹) + ∫₁ⁿ e^−x dx
    = −n e⁻ⁿ + e⁻¹ + [−e^−x]₁ⁿ
    = −n e⁻ⁿ + e⁻¹ + (−e⁻ⁿ) − (−e⁻¹)
    = −n e⁻ⁿ − e⁻ⁿ + 2 e⁻¹
    = −(n + 1) e⁻ⁿ + 2e.

I_n = 2e − n + 1eⁿ

2.a. L'aire du domaine D_n est I_n

Pour tout x ∈ [1 ; n] (avec n ≥ 1) : x > 0 et e^−x > 0, donc f(x) = x e^−x > 0. La fonction f est continue (produit de fonctions continues) et positive sur [1 ; n].

D'après l'interprétation graphique de l'intégrale, l'aire (en u.a.) du domaine délimité par C_f, l'axe des abscisses (= Δ) et les droites d'équations x = 1 et x = n est égale à :

aire(D_n) = ∫₁ⁿ f(x) dx = ∫₁ⁿ x e^−x dx = I_n. CQFD

2.b. Limite de l'aire de D_n en +∞

D'après les croissances comparées : pour tout polynôme P, lim_n→+∞ P(n) / eⁿ = 0. En particulier :

lim_n→+∞ n + 1eⁿ = 0.

Or I_n = 2/e − (n+1)/eⁿ, donc :

lim_n→+∞ I_n = 2e − 0 = 2e.

lim_n→+∞ aire(D_n) = 2e u.a. (≈ 0,736 u.a.)

Synthèse méthodologique

Exercice 10 — IPP « en boucle ». Le produit e^x sin(x) ne se simplifie par aucune IPP unique. La méthode consiste à effectuer deux IPP avec des choix opposés sur la même intégrale I : l'addition (ou soustraction) des deux relations élimine J et donne I. Erreur classique à éviter : faire deux IPP avec le même choix, ce qui ramène à la même équation.

Exercice 11 — IPP standard polynôme × exponentielle. Choix systématique : on dérive le polynôme (pour faire baisser le degré) et on intègre l'exponentielle. Pour la limite, croissances comparées appliquées à (n+1)/eⁿ.