Hasard et chance & Dépendance de deux grandeurs
Fiche de cours — 5ème
PARTIE I — Hasard et chance
1. Le vocabulaire de base
Quand on joue à un jeu (lancer un dé, tirer une carte, lancer une pièce…), on ne sait pas à l'avance ce qui va se passer. On parle d'une expérience aléatoire.
Expérience aléatoire :une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Résultat (ou issue) :chacun des résultats possibles de l'expérience.
Univers :la liste complète de tous les résultats possibles. On le note souvent Ω (oméga).
Événement :un résultat ou un groupe de résultats qui nous intéresse.
Exemple — Lancer d'un dé à 6 faces :
Les résultats possibles (= l'univers) : 1, 2, 3, 4, 5, 6 → il y en a 6.
L'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les résultats : 2, 4, 6 → il y en a 3.
L'événement « obtenir 7 » est impossible (7 n'existe pas sur le dé).
L'événement « obtenir un nombre entre 1 et 6 » est certain (ça arrive toujours).
2. La probabilité — c'est quoi ?
La probabilité mesure la chance qu'a un événement de se produire. C'est un nombre compris entre 0 et 1.
À retenir absolument :
P = 0 → l'événement est impossible (ça n'arrivera jamais).
P = 1 → l'événement est certain (ça arrivera à coup sûr).
Entre les deux : plus P est proche de 1, plus l'événement a de chances de se produire.
On peut aussi exprimer P en pourcentage : P = 0,5 = 50 %.
Quand tous les résultats ont la même chance d'arriver (dé non truqué, carte tirée au hasard…), on utilise la formule suivante :
P(A) =
nombre de résultats favorables à Anombre total de résultats possibles
Comment utiliser cette formule ?
Étape 1 : Compter le nombre total de résultats possibles (c'est le dénominateur).
Étape 2 : Compter combien de résultats correspondent à l'événement cherché (c'est le numérateur).
Étape 3 : Écrire la fraction. La simplifier si possible.
Étape 4 : Vérifier que la fraction est bien entre 0 et 1. Sinon, on a fait une erreur.
Exemple — Jeu de belote (32 cartes) :
Le jeu contient : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As dans 4 couleurs (pique, cœur, carreau, trèfle).
→ Il y a 8 × 4 = 32 cartes au total.
P(tirer un As) :
Il y a 4 As (un par couleur).
P(As) = 432 = 18
P(tirer un carreau) :
Il y a 8 carreaux (7♦, 8♦, … As♦).
P(carreau) = 832 = 14
3. Lire un tableau à double entrée
Un tableau à double entrée permet de classer des individus selon deux critères en même temps (exemple : sexe ET âge). Pour calculer une probabilité, on lit le tableau en entier.
Comment lire un tableau à double entrée ?
Étape 1 : Calcule la ligne Total : pour chaque colonne, additionne les valeurs.
Étape 2 : Calcule la colonne Total : pour chaque ligne, additionne les valeurs.
Étape 3 : Vérifie que la case « Total/Total » (coin bas-droite) donne le même résultat dans les deux sens.
Étape 4 : Pour une probabilité : P = ce qu'on cherchetotal général
Exemple — Club photo d'un collège :
On choisit au hasard la fiche d'un adhérent parmi 50.
12 ans
13 ans
14 ans
15 ans
Total
Filles
5
7
12
1
25
Garçons
3
4
13
5
25
Total
8
11
25
6
50
Question a) : Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
Il y a 25 filles au total, sur 50 adhérents. → P(fille) = 2550 = 12 = 0,5 = 50 %
Question b) : Quelle est la probabilité que ce soit un jeune de 13 ans ?
Il y a 11 jeunes de 13 ans (7 filles + 4 garçons), sur 50. → P(13 ans) = 1150 = 0,22 = 22 %
Question c) : Probabilité d'une fille ayant au moins 13 ans ?
« Au moins 13 ans » = 13 ou 14 ou 15 ans. Filles concernées : 7 + 12 + 1 = 20. → P = 2050 = 25 = 40 %
4. Tableau à double entrée pour deux dés
Quand on lance deux dés, on peut lister tous les résultats possibles dans un tableau. Chaque case = une issue possible. S'il y a deux dés à 6 faces, il y a 6 × 6 = 36 cases.
Exemple — Produit des deux dés :
D1\D2
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
P(produit = 12) : On compte les cases « 12 » : (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) → 4 cases. P = 436 = 19
5. Le diagramme de Venn
Un diagramme de Venn sert à représenter des groupes qui peuvent se chevaucher (= avoir des membres en commun). Chaque cercle représente un groupe. La zone où deux cercles se croisent représente les individus qui appartiennent aux deux groupes à la fois.
Comment remplir un diagramme de Venn — méthode impérative :
On travaille toujours de l'intérieur vers l'extérieur. On commence par la zone du milieu (intersection des 3 groupes), et on remonte.
Étape 1 : Placer le nombre d'individus dans les 3 groupes à la fois (centre du diagramme). C'est directement donné.
Étape 2 : Pour les zones « 2 groupes seulement » : soustraire les individus du centre.
→ Par exemple : 8 font basket ET handball (en tout). Parmi eux, 5 font aussi football. Donc 8 − 5 = 3 font basket et handball seulement.
Étape 3 : Les zones « 1 seul groupe » sont directement données dans l'énoncé (« ne pratiquent que… »).
Étape 4 : Additionner toutes les zones. Si le total ne correspond pas à l'effectif total, chercher la zone « aucun groupe » (extérieur).
Exemple — 50 jeunes, 3 sports (Football, Handball, Basket) :
Données : 5 font les 3 sports | 8 font basket+handball (en tout) | 10 font basket+football (en tout) | 4 font football+handball (en tout) | 5 ne font que football | 12 ne font que handball.
Centre (F∩H∩B) = 5 (donné directement)
F∩H seulement (pas basket) : 4 − 5 = −1… impossible !
Attention : « 4 font football et handball en tout » inclut les 5 du centre. Mais 5 > 4, ce qui voudrait dire F∩H seulement = 4 − 5 < 0. En réalité ici, on interprète que les 4 sont en plus des 5. Lire l'énoncé avec soin — c'est le piège classique.
Basket+Handball seulement = 8 − 5 = 3
Basket+Football seulement = 10 − 5 = 5
Football seul = 5 (donné) | Handball seul = 12 (donné)
Pour ne pas te tromper, note toujours les nombres dans le diagramme zone par zone, en commençant par le centre.
PARTIE II — Dépendance de deux grandeurs
1. Qu'est-ce que « dépendre » ?
Deux grandeurs sont dépendantes quand la valeur de l'une change selon la valeur de l'autre.
Exemples de grandeurs dépendantes :
La distance parcourue à vélo dépend de la vitesse : plus on va vite, plus on parcourt de distance.
La taille d'un bébé dépend de son âge : en général, plus le bébé est âgé, plus il est grand.
L'aire d'un carré dépend de la longueur de son côté.
Exemples de grandeurs NON dépendantes :
Le prix d'un billet de train ne dépend pas de la taille du voyageur.
La pointure d'une personne ne dépend pas de la couleur de ses yeux.
Comment reconnaître si deux grandeurs dépendent l'une de l'autre ?
On se demande : « Si je change la valeur de la première grandeur, est-ce que la valeur de la deuxième change de façon logique et systématique ? »
Si oui → elles sont dépendantes. Si non → elles ne le sont pas.
2. Le tableau de valeurs
On représente la relation entre deux grandeurs dans un tableau de valeurs. Il a toujours 2 lignes : une pour chaque grandeur. Chaque colonne correspond à une paire de valeurs liées.
Comment lire un tableau de valeurs ?
Lecture colonne par colonne : chaque colonne associe une valeur de la grandeur 1 à la valeur correspondante de la grandeur 2.
→ « Quand la grandeur 1 vaut …, la grandeur 2 vaut … »
Lecture ligne par ligne : on observe si les valeurs augmentent, diminuent, ou n'ont pas de tendance.
Exemple — Croissance d'un bébé :
Âge (en mois)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Taille (en cm)
50
60
66
70
72
76
79
82
85
87
Lecture : À 0 mois (naissance), le bébé mesure 50 cm. À 6 mois, il mesure 66 cm. À 21 mois, il mesure 82 cm.
Question : À quel âge mesure-t-il 76 cm ?
→ On cherche 76 dans la ligne « Taille ». On trouve 76 dans la colonne « 15 ». Réponse : à 15 mois.
3. La représentation graphique
On peut représenter un tableau de valeurs dans un graphique (= repère avec deux axes). C'est plus pratique pour voir d'un coup d'œil si les grandeurs augmentent, diminuent, ou se stabilisent.
Comment construire un graphique à partir d'un tableau ?
Étape 1 : L'axe horizontal (→) porte la première grandeur (souvent la cause : l'âge, la vitesse, l'altitude…).
Étape 2 : L'axe vertical (↑) porte la deuxième grandeur (l'effet : la taille, la distance, la température…).
Étape 3 : Pour chaque colonne du tableau, on place un point : on repère la valeur sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la hauteur correspondante sur l'axe vertical, on place le point.
Étape 4 : On relie les points dans l'ordre (de gauche à droite).
Comment lire un graphique ?
Pour trouver la valeur de la grandeur 2 à partir de la grandeur 1 :
1. Repérer la valeur de la grandeur 1 sur l'axe horizontal.
2. Tracer une ligne verticale jusqu'à la courbe.
3. Tracer une ligne horizontale jusqu'à l'axe vertical.
4. Lire la valeur.
Courbe croissante : quand la grandeur 1 augmente, la grandeur 2 augmente aussi.
Courbe décroissante : quand la grandeur 1 augmente, la grandeur 2 diminue.
Exemple — Lecture du graphique de la croissance bébé :
Bébé à 9 mois → on lit sur la courbe → taille = 70 cm.
Bébé mesure 82 cm → on lit sur la courbe → il a 21 mois.
La courbe est croissante : la taille augmente avec l'âge. ✓
Si la courbe est croissante, les deux grandeurs augmentent ensemble. Si elle est décroissante, quand l'une augmente, l'autre diminue.
Exercices — À toi de jouer !
Hasard et chance · Dépendance de deux grandeurs — 5ème
⭐ = facile | ⭐⭐ = moyen | ⭐⭐⭐ = difficile — Pour chaque exercice, montre tous tes calculs.
PARTIE 1 — Hasard et chance
Exercice 1 – Jeu de belote ⭐
Un jeu de belote contient 32 cartes : les valeurs 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As dans 4 couleurs (pique ♠, cœur ♥, carreau ♦, trèfle ♣). On tire une carte au hasard.
Rappel : P = (nombre de cartes qui conviennent) ÷ (nombre total de cartes)
a) Combien y a-t-il de cartes en tout ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir le dix de pique ? (Il n'y en a qu'une seule.)
c) Quelle est la probabilité d'obtenir un carreau ? (Il y a 8 carreaux.)
d) Quelle est la probabilité d'obtenir un As ? (Il y a un As par couleur.)
Exercice 2 – Lancer de deux dés, tableau des produits ⭐⭐
Octave lance deux dés à 6 faces (D1 et D2) et calcule le produit des deux faces supérieures. Rappel : le produit, c'est la multiplication. Exemple : D1 = 2 et D2 = 4 → produit = 2 × 4 = 8.
1. Complète le tableau. Quelques cases sont déjà remplies pour t'aider.
D1 \ D2
1
2
3
4
5
6
1
1
2
2
8
3
12
15
4
16
5
6
Il y a 6 × 6 = 36 cases au total (= 36 résultats possibles).
2. Pour chaque question, compte d'abord les cases qui conviennent, puis calcule la probabilité.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir le produit 12 ?
Nombre de cases « 12 » dans le tableau : P(12) = 36
b) Quelle est la probabilité d'obtenir un produit pair ? (Un nombre pair se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.)
Nombre de cases paires : P(pair) = 36
c) Quelle est la probabilité d'obtenir un produit multiple de 3 ? (Un multiple de 3 est divisible par 3 : 3, 6, 9, 12…)
Exercice 3 – Club photo : tableau à double entrée ⭐⭐
Voici la répartition des adhérents d'un club photo. On choisit une fiche au hasard.
1. Complète les cases vides (lignes et colonnes « Total »).
12 ans
13 ans
14 ans
15 ans
Total
Filles
5
7
12
1
Garçons
3
4
13
5
Total
2. Indique si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Montre le calcul à chaque fois.
a) « Il y a une chance sur deux que ce soit une fille. »
b) « Il y a 22 % de chances que ce soit un jeune de 13 ans. » (Aide : calcule nombre de 13 anstotal puis multiplie par 100 pour obtenir un %)
c) « Il y a 28 chances sur 100 que ce soit un garçon de moins de 14 ans. » (Aide : « moins de 14 ans » = 12 ans ou 13 ans.)
Exercice 4 – Diagramme de Venn : 3 sports ⭐⭐⭐
Sur 50 jeunes dans un stage sportif :
5 pratiquent le football, le basket et le handball (les 3 en même temps).
8 pratiquent le basket et le handball en tout (y compris ceux qui font aussi le football).
10 pratiquent le basket et le football en tout.
4 pratiquent le football et le handball en tout.
5 ne pratiquent que le football (et rien d'autre).
12 ne pratiquent que le handball (et rien d'autre).
Rappel de la méthode : commence toujours par le centre (les 3 sports à la fois), puis les zones à 2 sports, puis les zones à 1 sport seul. Pour les zones à 2 sports : soustraire les 5 du centre.
1. Calcule l'effectif de chaque zone. Détaille chaque calcul.
Zone
Calcul
Résultat
Football + Handball + Basket (centre)
Donné directement
5
Basket + Handball seulement (sans football)
Basket + Football seulement (sans handball)
Football + Handball seulement (sans basket)
Football seul
Donné directement
5
Handball seul
Donné directement
12
Basket seul
Aucun sport
2. Complète le diagramme de Venn avec tes résultats :
3. On choisit un jeune au hasard. Calcule la probabilité qu'il pratique :
a) les 3 sports à la fois :
b) le football seulement :
c) le basket et le handball, mais pas le football :
d) aucun des 3 sports :
Exercice 5 – Dé à 20 faces (QCM) ⭐
On lance un dé à 20 faces, numérotées de 1 à 20. Entoure la bonne réponse et justifie dans la case.
Question
a
b
c
Justification
Probabilité d'obtenir le 10 :
1020
120
12
Probabilité d'obtenir un nombre ≤ 10 :
1020
120
12
Probabilité d'obtenir un multiple de 3 : (liste les multiples de 3 entre 1 et 20)
13
620
310
PARTIE 2 — Dépendance de deux grandeurs
Exercice 6 – Croissance d'un bébé ⭐
Âge (mois)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Taille (cm)
50
60
66
70
72
76
79
82
85
87
1. Quelle est la taille à la naissance ? À 3 mois ? À 12 mois ?
2. À quel âge ce bébé mesure-t-il 66 cm ? 82 cm ? 85 cm ?
3. Combien de centimètres le bébé gagne-t-il entre 0 et 12 mois ? Entre 12 et 24 mois ?
4. Est-ce que la taille augmente toujours du même nombre de cm à chaque mois ? Que remarques-tu ?
Exercice 7 – Température en montagne : construire un graphique ⭐⭐
Voici la température relevée à différentes altitudes lors d'une randonnée :
Altitude (en m)
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
Température (en °C)
20
17
14
11
8
5
1. Place les 6 points dans le repère ci-dessous, puis relie-les avec une courbe. Aide : le premier point est (altitude = 0, température = 20). Place-le dans le coin bas-gauche du repère.
2. La courbe est-elle croissante ou décroissante ? Qu'est-ce que cela veut dire concrètement ?
3. En utilisant ton graphique, estime la température à 750 m d'altitude.
4. La température dépend-elle de l'altitude ? Justifie.
Exercice 8 – Vrai ou faux ? ⭐
Pour chaque situation, dis si les deux grandeurs sont dépendantes ou non, et explique pourquoi en une phrase.
Situation
Dépendantes ?
Explication
La distance parcourue à vélo et la vitesse.
L'aire d'un carré et la longueur de son côté.
Le prix d'un billet de train et la taille du voyageur.
La température et l'altitude en montagne.
Le prénom d'une personne et son âge.
5ème — Hasard et chance · Dépendance de deux grandeurs