DEVOIR COMMUN — MATHÉMATIQUES

Classe de Seconde générale — Durée : 2 heures
Nom : ________________________ Prénom : ________________________
Classe : _________ Date : _________________ Note : _______ / 20
La calculatrice est autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements et le soin apporté à la copie seront pris en compte dans l'évaluation. Les cinq exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre de votre choix. Toute trace de recherche, même incomplète, sera valorisée.

Exercice 1 — Calcul numérique/ 4 points

  1. (1 pt) Calculer en donnant le résultat sous forme de fraction irréductible :
    A = 34 − 56 × 23
  2. (1 pt) Donner l'écriture scientifique du nombre :
    B = (2 × 10−3) × (3 × 105)4 × 102
  3. (1 pt) Simplifier l'expression suivante en utilisant les propriétés des puissances :
    C = 23 × 5222 × 54 × 53
  4. (1 pt) Écrire sous la forme a√b, avec b entier le plus petit possible :
    D = √75 + 2√12 − √48

Exercice 2 — Calcul littéral/ 4 points

  1. (1 pt) Développer et réduire l'expression :
    E(x) = (2x − 3)2 − (x + 1)(x − 1)
  2. (1,5 pt) Factoriser les expressions suivantes :
    a) F(x) = (3x − 2)(x + 5) − (3x − 2)(2x − 1)
    b) G(x) = 4x2 − 25
    c) H(x) = x2 + 6x + 9
  3. (1,5 pt) Résoudre dans ℝ l'équation suivante :
    (2x − 6)(x + 4) = 0

Exercice 3 — Pourcentages/ 3 points

Un commerçant vend un article à un prix initial de 80 €.

  1. (1 pt) Il décide d'augmenter ce prix de 15 %. Calculer le nouveau prix de l'article.
  2. (1 pt) Quelques mois plus tard, il propose une promotion : il diminue le nouveau prix obtenu à la question 1 de 20 %. Calculer le prix final de l'article.
  3. (1 pt) Quel est le taux d'évolution global, exprimé en pourcentage, entre le prix initial et le prix final ? Le commerçant a-t-il réellement réalisé une remise par rapport au prix initial ? Justifier.

Exercice 4 — Fonctions/ 5 points

Partie A — Lecture graphique (2 points)

On donne ci-dessous la représentation graphique Cf d'une fonction f définie sur l'intervalle [−3 ; 4] dans un repère orthogonal.

-3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 0 x y Cf
  1. (0,5 pt) Donner l'image de −2, de 0 et de 3 par la fonction f.
  2. (0,5 pt) Résoudre graphiquement l'équation f(x) = 2.
  3. (1 pt) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur [−3 ; 4].
Partie B — Étude d'une fonction (3 points)

Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) = x2 − 4x + 1

  1. (1 pt) Calculer les images de 0, 3 et −1 par la fonction g.
  2. (1 pt) Démontrer que pour tout réel x, on a : g(x) = (x − 2)2 − 3.
  3. (1 pt) En déduire le minimum de la fonction g sur ℝ et préciser pour quelle valeur de x il est atteint. Justifier.

Exercice 5 — Vecteurs/ 4 points

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). On considère les points suivants :

A(−2 ; 1)B(3 ; 4)C(5 ; −1)D(0 ; −4)E(8 ; 7)
  1. (1 pt) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC.
  2. (1 pt) Que peut-on en déduire sur la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
  3. (1 pt) Calculer la longueur AB. Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième près.
  4. (1 pt) Les vecteurs AB et AE sont-ils colinéaires ? Que peut-on en déduire pour les points A, B et E ? Justifier la réponse par un calcul.
— Fin du sujet —
Pensez à relire votre copie avant de la rendre.