DEVOIR DE MATHÉMATIQUES — SECONDE

Nom : ................................................. Prénom : ................................................. Note : ......... / 20
Durée : 1 h. Calculatrice autorisée. La rédaction et la clarté des justifications seront prises en compte. Toute réponse doit être justifiée par un calcul ou un théorème. Le barème est donné à titre indicatif.
EXERCICE 1 — Calcul numérique/ 2 points
Calculer en détaillant les étapes et donner le résultat sous la forme la plus simple possible.
1. A = 56 − 34 × 89 (1 pt)
2. B = √75 − 2√12 + √48 (1 pt)
EXERCICE 2 — Pourcentages/ 2 points
1. Le prix d'un article augmente de 20 % puis diminue de 15 %. Quel est le pourcentage d'évolution global ? L'article est-il plus cher ou moins cher qu'avant les deux modifications ? (1 pt)
2. Après une remise de 35 %, un article est vendu 78 €. Quel était son prix initial ? (1 pt)
EXERCICE 3 — Calcul littéral et factorisation/ 6 points
Rappel — Identités remarquables : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2   |   (a − b)2 = a2 − 2ab + b2   |   (a + b)(a − b) = a2 − b2
1. Développer et réduire les expressions suivantes : (1,5 pt)
a) A(x) = (3x − 2)(2x + 5)
b) B(x) = (4x − 3)2
c) C(x) = (5x + 2)(5x − 2)
2. Factoriser les expressions suivantes : (3 pts)
a) D(x) = 49x2 − 16
b) E(x) = 9x2 + 12x + 4
c) F(x) = x2 − 14x + 49
d) G(x) = (3x − 1)(x + 4) − (3x − 1)(2x − 5)
e) H(x) = (2x + 3)2 − (x − 1)2
3. Résoudre dans ℝ les équations suivantes en utilisant une factorisation : (1,5 pt)
a) x2 − 25 = 0
b) (2x − 1)2 − 9 = 0
EXERCICE 4 — Fonctions/ 4 points
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [−2 ; 4] par :
f(x) = x2 − 2x − 3
1. Calculer f(−2), f(0) et f(3). (1 pt)
2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : (1 pt)
x −2 −1 0 1 2 3 4
f(x)              
3. Tracer la courbe représentative Cf dans un repère orthonormé sur la copie (unité : 1 cm). (1 pt)
4. Résoudre l'équation f(x) = 0 :
a) graphiquement (lecture sur le repère),
b) par le calcul, en factorisant f(x). (1 pt)
EXERCICE 5 — Vecteurs/ 6 points
Partie A — Calcul vectoriel (3 pts)
1. Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : (1,5 pt)
a) u = AB + BC + CD
b) v = MN − MP
c) w = AC + DB − DC
2. ABCD est un parallélogramme de centre O. (1,5 pt)
a) Citer un vecteur égal à AB autre que lui-même. Justifier brièvement.
b) Compléter, en justifiant : AB + AD = ............
c) Démontrer que OA + OC = 0.
Partie B — Colinéarité et parallélisme (3 pts)
Soit ABC un triangle. On définit les points I et J par :
AI = 23 AB   et   AJ = 23 AC
1. Faire une figure en plaçant correctement les points I et J. (0,5 pt)
2. Démontrer que IJ = 23 BC. (1,5 pt)
3. En déduire que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. Énoncer précisément le théorème utilisé. (1 pt)
Question bonus (+ 1 pt — n'augmente pas la note au-delà de 20)
Reprendre les notations de l'exercice 5, partie B. Soit K le milieu de [BC]. Démontrer que les points A, K et le milieu L de [IJ] sont alignés.