ÉVALUATION — Équations différentielles
Note : / 20
La calculatrice est autorisée. Toute réponse doit être justifiée. La qualité de la rédaction et de la présentation sera prise en compte.
Exercice 1 — Résolutions directes / 5 points
Résoudre sur ℝ chacune des équations différentielles suivantes.
1. y′ = 4y (1 pt)
2. y′ + 3y = 0 (1 pt)
3. y′ = −y + 2 (1,5 pt)
4. 2y′ − 6y + 10 = 0 (1,5 pt)
Exercice 2 — Conditions initiales / 4 points
Déterminer la solution de chaque équation différentielle vérifiant la condition initiale donnée.
1. y′ = 5y, f(0) = 3 (1,5 pt)
2. y′ = −2y + 8, f(0) = 1 (2,5 pt)
Exercice 3 — Vérification et identification / 4 points
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2e−3x + 1.
Montrer que f est solution de l'équation différentielle y′ = −3y + 3. (2 pt)
2. On considère l'équation différentielle (E) : y′ + 4y = 12.
a) Déterminer la solution constante de (E). (0,5 pt)
b) Résoudre (E) sur ℝ. (1 pt)
c) En déduire la limite en +∞ de toute solution de (E). Justifier. (0,5 pt)
Exercice 4 — Problème de modélisation / 5 points
On étudie la température T(t) (en °C) d'un objet placé dans une pièce maintenue à 20 °C. La loi de refroidissement de Newton donne :
T′(t) = −0,1 · T(t) + 2
où t est le temps en minutes et T(0) = 80.
1. Montrer que cette équation est de la forme y′ = ay + b. Préciser les valeurs de a et b. (0,5 pt)
2. Déterminer la solution constante de cette équation. Interpréter physiquement ce résultat. (1 pt)
3. Résoudre l'équation différentielle et déterminer T(t) sachant que T(0) = 80. (2 pt)
4. Au bout de combien de minutes la température de l'objet sera-t-elle inférieure à 25 °C ? (1,5 pt)
Exercice 5 — Bonus / 2 points
Soit (E) l'équation différentielle y′ = 3y − 6.
1. Résoudre (E) et déterminer l'unique solution f vérifiant f(1) = 2. (1 pt)
2. Étudier le signe de f(x) − 2 pour tout x ∈ ℝ. En déduire la position de la courbe de f par rapport à la droite y = 2. (1 pt)