Durée : 55 min. La calculatrice est autorisée. Les résultats doivent être justifiés sauf mention contraire.
Exercice 1 — Calculs algébriques / 4 pts
Simplifier les expressions suivantes. Donner le résultat sous la forme ek ou un nombre.
1.a) (2 pts) Simplifier : e3 × e−1 ; e5 / e2 ; (e2)4 ; ex+2 / ex
Calculs :
1.b) (1 pt) Montrer que A = (e2x + ex) / ex = ex + 1
Calculs :
1.c) (1 pt) Montrer que B = e2x − 1 se factorise en (ex − 1)(ex + 1).
Calculs :
Exercice 2 — Équations et inéquations / 4 pts
Résoudre dans ℝ. Justifier chaque étape.
2.a) (1 pt) e3x−2 = e4
Calculs :
2.b) (1 pt) ex²−1 = 1
2.c) (1 pt) e2x < ex+3
2.d) (1 pt) ex = −2 (Justifier sans calcul pourquoi cette équation n'a pas de solution.)
Exercice 3 — Dérivée et variations / 7 pts
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = (2x − 1)ex
3.a) (1 pt) Calculer f′(x). Factoriser le résultat.
Calculs :
3.b) (1 pt) Étudier le signe de f′(x). Préciser pourquoi ex ne change pas de signe.
Calculs :
3.c) (1,5 pt) Dresser le tableau de variations complet de f sur ℝ. On précisera les limites en ±∞.
Tableau de variations :
3.d) (1 pt) La fonction f admet-elle un minimum ? un maximum ? Donner la valeur exacte.
3.e) (1,5 pt) Calculer f(0) et f(1). En déduire une équation de la tangente à la courbe de f en x = 0.
Calculs :
3.f) (1 pt) Calculer limx→+∞ f(x) et limx→−∞ f(x). (On pourra utiliser les croissances comparées pour la limite en −∞.)
Exercice 4 — Problème (Modélisation) / 5 pts
Une population de bactéries est modélisée par la fonction N définie sur [0 ; 10] par :
N(t) = 500 · e0,3t
où t est le temps en heures et N(t) le nombre de bactéries (en milliers).
4.a) (0,5 pt) Quelle est la population initiale (à t = 0) ?
4.b) (1 pt) Calculer N′(t). Interpréter le signe de N′(t) dans le contexte du problème.
Calculs :
4.c) (1 pt) Calculer N(5). Arrondir à l'unité. Que représente ce résultat ?
Calculs :
4.d) (1,5 pt) À quel instant t (en heures) la population atteint-elle 2 000 (milliers) de bactéries ?
On exprimera t à l'aide du logarithme népérien (rappel : ln(ea) = a). Arrondir à 0,01 h.
Calculs :
4.e) (1 pt) On considère la valeur moyenne de N sur [0 ; 5] définie par :
V = (1/5) ∫05 N(t) dt
Calculer V exactement, puis arrondir à l'unité.
Calculs :
Total : / 20
Imprimer : Fichier → Imprimer (A4, sans marges de navigateur)