Réduire et développer — 3ème — Vers le brevet
• 2x veut dire 2 × x, donc 2x = x + x
• 3x veut dire 3 × x, donc 3x = x + x + x
• 2x² veut dire 2 × x², donc 2x² = x² + x²
Vocabulaire nouveau : dans 2x, le nombre 2 s'appelle un coefficient. Dans 3x², le coefficient est 3.
• 2x n'est PAS x². Si x = 5 : 2x = 10 mais x² = 25.
• x + x = 2x (et PAS x²). Si x = 4 : x + x = 4 + 4 = 8 = 2 × 4 = 2x.
• x × x = x² (et PAS 2x). Si x = 4 : x × x = 4 × 4 = 16 = x².
« Réduire » veut dire écrire plus court. On compte combien de x il y a en tout.
2x + 3x = (x + x) + (x + x + x) = x + x + x + x + x = 5x
Astuce rapide : on additionne juste les coefficients. 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x.
| Expression | Forme réduite | Expression | Forme réduite |
|---|---|---|---|
| x + x | 4x + 2x | ||
| x + x + x | 5x + 3x | ||
| 2x + x | 6x + 4x | ||
| 3x + 2x | 7x + x |
On peut aussi soustraire les coefficients : 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x.
| Expression | Forme réduite | Expression | Forme réduite |
|---|---|---|---|
| 5x − 2x | 10x − 3x | ||
| 7x − 4x | 6x − x | ||
| 8x − 5x | 9x − 2x |
Même principe : on additionne les coefficients devant x².
2x² + 3x² = (x² + x²) + (x² + x² + x²) = 5x²
Astuce : 2x² + 3x² = (2 + 3)x² = 5x².
| Expression | Forme réduite | Expression | Forme réduite |
|---|---|---|---|
| x² + x² | 2x² + 3x² | ||
| x² + x² + x² | 4x² + x² | ||
| 3x² + x² | 5x² + 2x² | ||
| 2x² + 2x² | 6x² − 2x² |
x² et x ne sont PAS la même chose. On ne peut PAS les additionner ensemble.
x² + x reste x² + x. On ne peut pas écrire 2x ni 2x².
Vérifie avec x = 3 : x² + x = 9 + 3 = 12. Mais 2x = 6 et 2x² = 18. Aucun ne donne 12 !
Range les x² ensemble et les x ensemble. Si l'un des deux ne peut pas être réduit, recopie-le.
| Expression | Forme réduite |
|---|---|
| 2x² + 3x² + x | |
| x² + 2x + 3x | |
| 3x² + x² + 2x | |
| 2x² + 4x + 3x | |
| x² + x² + x + x + x | |
| 5x² + 2x + x² |
« Développer », c'est enlever la parenthèse en multipliant par le nombre devant.
k × (a + b) = k × a + k × b
Le nombre devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur.
2 × (x + 3) → 2 × x + 2 × 3 → 2x + 6
Vérification avec x = 5 :
• Avec parenthèses : 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16
• Sans parenthèses : 2 × 5 + 6 = 10 + 6 = 16 ✓ Même résultat.
Complète chaque ligne en suivant le modèle.
| Avec parenthèses | Distribution | Résultat |
|---|---|---|
| 2 × (x + 3) | 2 × x + 2 × 3 | 2x + 6 |
| 3 × (x + 1) | ||
| 5 × (x + 2) | ||
| 4 × (x + 7) | ||
| 2 × (x − 5) | ||
| 3 × (x − 4) |
Cette fois, écris directement le résultat. Tu peux faire le calcul dans ta tête.
| Expression | Forme développée | Expression | Forme développée |
|---|---|---|---|
| 3(x + 5) | 2(x + 8) | ||
| 4(x + 2) | 5(x − 1) | ||
| 6(x − 3) | 7(x + 1) |
Remarque : 3(x + 5) et 3 × (x + 5), c'est la même chose. Le signe × est juste sous-entendu.
Même règle, mais l'intérieur de la parenthèse contient maintenant un x².
2 × (x² + 3) → 2 × x² + 2 × 3 → 2x² + 6
| Avec parenthèses | Distribution | Résultat |
|---|---|---|
| 2 × (x² + 1) | ||
| 3 × (x² + 4) | ||
| 5 × (x² + 2) | ||
| 2 × (x² − 3) | ||
| 4 × (x² + 5) | ||
| 3 × (x² − 2) |
On va vérifier que la forme développée donne le même résultat que la forme avec parenthèses.
Expression : 2(x² + 3) = 2x² + 6
| Valeur de x | 2(x² + 3) | 2x² + 6 | Même résultat ? |
|---|---|---|---|
| x = 2 | |||
| x = 3 | |||
| x = 5 |
Aide : pour x = 2, 2(x² + 3) = 2 × (4 + 3) = 2 × 7 = 14. Et 2x² + 6 = 2 × 4 + 6 = 8 + 6 = 14. Pareil !
On applique le programme avec x, puis on développe le résultat.
Étape 1 — Départ : x
Étape 2 — Au carré : x²
Étape 3 — Ajouter 1 : x² + 1
Étape 4 — Multiplier par 3 : 3 × (x² + 1) (on met des parenthèses car on multiplie TOUT le résultat)
Étape 5 — Développer : 3 × (x² + 1) = 3x² + 3
Forme finale : 3x² + 3
On choisit x. Complète chaque étape.
Ces exercices sont du même format que ceux du brevet. Méthode : on applique d'abord aux nombres, puis on exprime avec x, puis on développe.
1. Montre que si on choisit le nombre 3, on obtient 26.
2. Quel résultat obtient-on si on choisit le nombre 5 ?
3. On choisit le nombre x. Exprime le résultat en fonction de x (avec des parenthèses).
4. Développe l'expression de la question 3. Montre que le résultat est 2x² + 8.
1. Applique le programme au nombre 4.
2. Applique le programme au nombre 6.
3. On choisit le nombre x. Exprime le résultat en fonction de x (avec des parenthèses).
4. Développe cette expression.
1. Applique le programme au nombre 2. Montre que tu obtiens 35.
2. Applique le programme au nombre 10.
3. On choisit le nombre x. Écris le résultat avec des parenthèses, puis développe-le. Montre que le résultat est 5x² + 15.