But. Cette fiche n'est pas une note. Elle sert à localiser tes points forts et tes points fragiles avant la spé. Les marqueurs ★ signalent des questions exigeantes (raisonnement, démonstration, abstraction) : ce sont elles qui discriminent. Tu n'es pas censé tout finir en 1 h 30 — avance dans l'ordre que tu veux, et note le temps passé par section. Là où tu ralentis ou bloques, c'est l'information utile. Rédige les justifications, pas seulement les résultats.
A. Calcul algébrique & (in)équations ~15 min · /5
/2A1 — Factoriser le plus complètement possible.
$9x^2 - 25$
$(2x-1)^2 - (x+3)^2$
$4x^2 + 12x + 9$
$x^3 - x$
$(x+2)(3x-1) - (x+2)^2$
/1A2 — Simplifier pour $x \neq -2$ : $\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}$.
/2A3 — Résoudre dans $\mathbb{R}$ (tableau de signes attendu en b et c).
$(2x-3)(x+5) = 0$
$(x-1)(x+4) \le 0$
$\dfrac{x-2}{x+1} \ge 0$ (préciser l'ensemble de définition)
B. Fonctions ~25 min · /6
/2B1 — Lecture graphique. Ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,4]$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3\,;\,4]$.
/1B2 — Soit $f(x) = \dfrac{x-1}{x+2}$. Donner l'ensemble de définition, puis calculer $f(0)$, $f(3)$ et le(s) antécédent(s) de $1$.
/2B3 — ★ Démonstration du sens de variation. Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Sans utiliser de dérivée, démontrer que $f$ est strictement croissante sur $[2\,;\,+\infty[$ en étudiant le signe de $f(b)-f(a)$ pour $2 \le a < b$.
/1B4 — Résoudre dans $\mathbb{R}$, en t'appuyant sur les fonctions de référence (sans calculatrice) :
$x^2 \le 9$
$\dfrac{1}{x} > 2$ (attention au signe de $x$)
C. Géométrie repérée & vecteurs ~20 min · /5
Dans un repère orthonormé : $A(-1\,;\,2)$, $B(3\,;\,4)$, $C(1\,;\,-2)$.
/1.5C1 — Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, la longueur $AB$, et les coordonnées du milieu $I$ de $[BC]$.
/1.5C2 — ★ Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ? Justifier par un argument de colinéarité.
/1C3 — Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
/1C4 — Déterminer une équation de la droite $(AB)$. Le point $E(7\,;\,6)$ appartient-il à $(AB)$ ?
D. Trigonométrie ~10 min · /3
/1D1 — Donner les valeurs exactes de $\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)$, $\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$, $\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)$, $\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
/1D2 — Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ : $AB = 3$, $AC = 4$. Calculer $BC$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{ABC}$.
/1D3 — ★ Sur le cercle trigonométrique, placer les points associés à $\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{4}$, puis résoudre $\cos x = \frac{1}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi]$.
E. Probabilités & statistiques ~10 min · /3
/2E1 — Dans un lycée, 60 % des élèves sont externes, les autres demi-pensionnaires. Parmi les externes, 30 % font du sport en club ; parmi les demi-pensionnaires, 50 %.
Construire un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard soit externe et fasse du sport en club ?
Quelle est la probabilité qu'il fasse du sport en club ?
/1E2 — Série : $4,\ 7,\ 7,\ 9,\ 10,\ 13$. Calculer la moyenne et la médiane. Indiquer ce que mesure l'écart-type (sans le calculer).
F. Algorithmique & Python ~10 min · /3
/1.5F1 — On considère la fonction suivante.
def mystere(n):
s = 0
for k in range(1, n+1):
s = s + k
return s
Que renvoie mystere(4) ? Détailler les étapes.
Exprimer mystere(n) en fonction de $n$.
/1.5F2 — ★ Écrire une fonction Python solutions(a, b, c) qui prend les coefficients de $ax^2+bx+c=0$ (avec $a \neq 0$) et affiche le nombre de solutions réelles. (On suppose le discriminant connu : $\Delta = b^2 - 4ac$.)
G. Approfondissement ~10 min · /5
/2G1 — ★ Raisonnement. Démontrer que pour tout réel $x$, $\;x^2 - 6x + 10 > 0$. (Indication : forme canonique.) En déduire le signe de $\dfrac{1}{x^2-6x+10}$.
/1.5G2 — ★ Logique. Soit la proposition $P$ : « pour tout entier $n$, si $n^2$ est pair alors $n$ est pair ».
Écrire la négation de $P$.
$P$ est-elle vraie ou fausse ? Justifier (preuve ou contre-exemple).
/1.5G3 — ★ Problème ouvert. Un rectangle a un périmètre de 20. On note $x$ la longueur d'un côté. Exprimer l'aire $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$, préciser l'intervalle des valeurs possibles de $x$, et déterminer la valeur de $x$ qui rend l'aire maximale (justifier sans dérivée).
Grille de diagnostic à remplir après correction
A = acquis · EC = en cours · NA = non acquis. Cette grille relie chaque exercice à une compétence porteuse pour la première spé.
Domaine
Ex.
Compétence ciblée
Prérequis pour (1re spé)
A / EC / NA
A. Calcul algébrique
A1
Factoriser (facteur commun, identités)
Second degré, polynômes
A2
Simplifier un quotient
Fonctions rationnelles, dérivation
A3
Équations / inéquations, tableau de signes
Signe d'un trinôme, inéquations
B. Fonctions
B1
Lecture graphique (variations, signe)
Toute l'analyse
B2
Domaine, image, antécédent
Étude de fonctions
B3
Démontrer un sens de variation
Dérivation (nombre dérivé)
B4
Fonctions de référence
Variations, comparaisons
C. Géométrie repérée
C1
Coordonnées, norme, milieu
Produit scalaire
C2
Colinéarité, alignement
Vecteurs, géométrie analytique
C3
Construction vectorielle
Calcul vectoriel
C4
Équation de droite
Droites, systèmes
D. Trigonométrie
D1
Valeurs remarquables
Fonctions trigonométriques
D2
Trigo dans le triangle rectangle
Géométrie
D3
Cercle trigo, radians
Fonctions trigonométriques
E. Probas / stats
E1
Arbre pondéré, probabilités
Probabilités conditionnelles
E2
Indicateurs statistiques
Variables aléatoires, stats
F. Algorithmique
F1
Lire / tracer une boucle
Suites, listes
F2
Écrire une fonction conditionnelle
Programmation, second degré
G. Approfondissement
G1
Forme canonique, raisonnement
Second degré, signe
G2
Logique, négation, preuve
Vocabulaire ensembliste et logique
G3
Modélisation, optimisation
Fonctions polynômes du 2nd degré
Lecture du profil. Les sections A, B et G pèsent le plus pour la spé (algèbre + analyse + raisonnement). Une fragilité localisée en C, D, E ou F se rattrape vite ; une fragilité en A ou B se travaille en priorité. Les items ★ non traités par manque de temps ≠ non acquis : noter à part « pas eu le temps » vs « bloqué ».
Temps passé par section — A : ____ · B : ____ · C : ____ · D : ____ · E : ____ · F : ____ · G : ____