FICHE D'AIDE — Contrôle commun 5ème

Méthodes, formules et exemples pour chaque exercice
Conseils avant de commencer : lis l'énoncé deux fois. Note ce que tu sais, ce que tu cherches. Si tu bloques sur une question, passe à la suivante et reviens après. Détaille toujours tes calculs.

EX 1 Calculs et priorités opératoires

Règle des priorités (à connaître par cœur)

Ordre à respecter dans un calcul :
  1. Parenthèses en premier (les plus intérieures d'abord).
  2. Ensuite multiplications (×) et divisions (÷), de gauche à droite.
  3. Enfin additions (+) et soustractions (−), de gauche à droite.
Exemple résolu : Calculer 20 − 3 × 5 + 2
Étape 1 (×) : 20 − 15 + 2    Étape 2 (de gauche à droite) : 5 + 2 = 7

Fractions : addition et soustraction

Si les dénominateurs sont identiques : on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur.
ad + bd = a + bd
Si les dénominateurs sont différents : on met d'abord les fractions au même dénominateur, puis on additionne.
Exemple : 56 − 13 : on transforme 13 en 26 (on multiplie haut et bas par 2).
Donc : 56 − 26 = 36 = 12 (on simplifie par 3).

Fractions : multiplication

ab × cd = a × cb × d
→ on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.

EX 2 Nombres relatifs

Comparer des nombres relatifs

Additionner deux nombres relatifs

Cas 1 : mêmes signes → on additionne les valeurs et on garde le signe commun.
Exemple : (−3) + (−5) = −8
Cas 2 : signes différents → on soustrait la plus petite valeur de la plus grande, et on garde le signe du plus grand en valeur.
Exemple : (−8) + (+5) : 8 − 5 = 3, et le plus grand en valeur est 8 (négatif), donc résultat = −3.

Soustraire un nombre relatif

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.
Exemple : (−6) − (−10) = (−6) + (+10) = +4.
Astuce : deux signes identiques qui se suivent (+ + ou − −) → donnent +.
Deux signes différents (+ − ou − +) → donnent −.

EX 3 Calcul littéral

Réduire une expression

On regroupe les termes "qui se ressemblent" :
Exemple : 7y + 4 − 3y + 6
On regroupe : (7y − 3y) + (4 + 6) = 4y + 10.
→ Attention : on ne peut PAS additionner 4y et 10 (ils ne sont pas du même type).

Distributivité

k × (a + b) = k × a + k × b
   
k × (a − b) = k × a − k × b

→ Le nombre devant la parenthèse multiplie chaque terme à l'intérieur.
Exemple : 4(x + 7) = 4 × x + 4 × 7 = 4x + 28.
Exemple : 6(2a − 3) = 6 × 2a − 6 × 3 = 12a − 18.

Substitution (remplacer une lettre par un nombre)

  1. Recopie l'expression.
  2. Remplace la lettre par le nombre donné, en mettant le nombre entre parenthèses.
  3. Calcule en respectant les priorités.
Exemple : Calculer E = 3x + 5 pour x = 4.
E = 3 × (4) + 5 = 12 + 5 = 17.

EX 4 Proportionnalité et pourcentages

Tableau de proportionnalité

Un tableau est de proportionnalité si on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre (= coefficient de proportionnalité).
→ Méthode : calcule le rapport pour chaque colonne. Si tous sont égaux, c'est proportionnel.

Calculer un pourcentage

p % d'un nombre N = p100 × N
Exemple : 25 % de 320 = 25100 × 320 = 25 × 320100 = 8000100 = 80.
Réduction sur un prix : on calcule la réduction, puis on la soustrait du prix de départ. Ex : 320 − 80 = 240 €.

Produit en croix (4ème proportionnelle)

Quand un tableau est de proportionnalité et qu'il manque une valeur :
valeur manquante = (a × d) ÷ b
(en croisant les valeurs connues)
Exemple : 240 km en 3 h. Combien en 5 h ?
(240 × 5) ÷ 3 = 1 200 ÷ 3 = 400 km.

EX 5 Statistiques

Moyenne

Moyenne = Somme de toutes les valeurs ÷ Nombre de valeurs
Méthode pas à pas :
  1. Additionne toutes les notes (pose-les si besoin).
  2. Compte combien il y a de notes.
  3. Divise la somme par ce nombre.

Fréquence (en %)

Fréquence = (Effectif ÷ Effectif total) × 100

→ "strictement supérieure à 10" : ne pas compter les notes égales à 10.

EX 6 Géométrie : triangles, angles, symétrie

Somme des angles d'un triangle

Dans un triangle : angle A + angle B + angle C = 180°

→ Si on connaît 2 angles, on calcule le 3ème : 180° − (les deux angles connus).
Exemple : A = 65°, B = 48°. Alors C = 180° − 65° − 48° = 67°.

Inégalité triangulaire

Pour pouvoir construire un triangle : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.
grand côté < côté + côté
Exemple : côtés 4 cm, 5 cm, 12 cm. Le plus grand est 12. On regarde si 12 < 4 + 5.
4 + 5 = 9. Or 12 > 9, donc l'inégalité n'est pas vérifiée → triangle impossible.

Symétrique d'un point par rapport à un point O

Méthode pour trouver le symétrique de A par rapport à O :
  1. Trace la droite qui passe par A et O.
  2. Mesure la distance OA avec ta règle.
  3. Reporte cette distance de l'autre côté de O, sur la même droite.
  4. Le point obtenu est A'. Code OA = OA' avec des petits traits.
→ Pour le triangle DEF : on fait la construction pour D, puis pour E, puis pour F. On relie D'E'F'.
Vérification : O doit être le milieu de [DD'], [EE'] et [FF'].

EX 7 Aires et volumes (pavé droit)

Volume d'un pavé droit

V = Longueur × largeur × hauteur

→ Les unités doivent être les mêmes ! Si tout est en cm, le volume est en cm³.
Exemple : L = 60 cm, l = 30 cm, h = 40 cm.
V = 60 × 30 × 40
Astuce : on peut faire 60 × 30 = 1 800, puis 1 800 × 40 = 72 000 cm³.

Conversion volume ↔ litres

1 L = 1 000 cm³    1 dm³ = 1 L

Pour passer de cm³ à L : on divise par 1 000.
Exemple : 72 000 cm³ = 72 000 ÷ 1 000 = 72 L.

Prendre une fraction d'une quantité

Pour calculer "45 de 72 L" :
  1. On multiplie : 45 × 72 = 4 × 725 = 2885
  2. On effectue la division : 288 ÷ 5 = 57,6 L.
→ Autre méthode : 72 ÷ 5 = 14,4 puis 14,4 × 4 = 57,6.

Aire d'un rectangle

Aire = Longueur × largeur
Exemple : 60 × 30 = 1 800 cm².

Conversion d'aires

1 dm² = 100 cm²

Pour passer de cm² à dm² : on divise par 100.
Exemple : 1 800 cm² = 1 800 ÷ 100 = 18 dm².
Rappel important : dans une réponse, écris toujours une phrase avec l'unité. Exemple : « L'aquarium contient 72 L d'eau. ».