🆘 Coups de Pouce — Question par Question Bac Spé Maths — Session 2021, Sujet 0 · À consulter si tu es bloqué(e)

💡 Coup de pouce : Calcule lim u_n et lim v_n séparément. (1/4)ⁿ → 0 car |1/4| < 1. Ensuite, quel théorème s'applique quand une suite est coincée entre deux suites de même limite ?

💡 Coup de pouce : Utilise (uv)' = u'v + uv'. Pose u = x (donc u' = 1) et v = e^x². Pour v', rappelle que la dérivée de e^g(x) est g'(x)·e^g(x). Ici g(x) = x², donc g'(x) = ?

💡 Coup de pouce : Factorise numérateur et dénominateur par x² : (x²−1)/(2x²−2x+1) = (1 − 1/x²) / (2 − 2/x + 1/x²). Quand x → +∞, les termes en 1/x disparaissent.

💡 Coup de pouce : h est continue sur [0 ; 1], h(0) = 2 et h(1) = 0. Comme 1 est compris entre 0 et 2, quel théorème classique garantit l'existence d'un a ∈ [0 ; 1] tel que h(a) = 1 ?

💡 Coup de pouce : Lis le graphe de g' : sur [1 ; 2], la courbe de g' est sous l'axe des x (g' < 0 → g décroissante, pas de max). Mais sur [1 ; 2], la courbe de g' remonte (g' croissante) → g' croissante signifie que g est convexe.

💡 Coup de pouce : I = milieu de [EF]. E(0,0,1), F(1,0,1). Milieu = ((0+1)/2, (0+0)/2, (1+1)/2). Pour J symétrique de E par rapport à F : J = 2F − E.

💡 Coup de pouce : D(0,1,0), J(2,0,1) → DJ⃗ = (2−0, 0−1, 1−0) = (2, −1, 1). Fais pareil pour BI⃗ et BG⃗ avec B(1,0,0).

💡 Coup de pouce : Il suffit de calculer DJ⃗ · BI⃗ et DJ⃗ · BG⃗. Si les deux valent 0, DJ⃗ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc normal au plan.

💡 Coup de pouce : Normal = DJ⃗(2, −1, 1). Prends B(1, 0, 0) ∈ plan. L'équation est 2(x−1) − 1(y−0) + 1(z−0) = 0. Développe.

💡 Coup de pouce : d passe par F(1, 0, 1) et a pour vecteur directeur DJ⃗(2, −1, 1) (car d ⊥ plan et DJ⃗ est normal au plan).

💡 Coup de pouce : Deux vérifications : (1) Vérifie que L ∈ plan en substituant (2/3, 1/6, 5/6) dans 2x − y + z − 2 = 0. (2) Vérifie que L ∈ d en trouvant un t tel que 1 + 2t = 2/3, −t = 1/6, 1 + t = 5/6. → t = −1/6.

💡 Coup de pouce : On peut prendre la face ABI du cube comme base. Sinon, plus directement : V = (1/3) × aire(BGI) × FL. Mais il est plus simple de calculer V via le produit mixte ou de remarquer que FBGI a pour base le triangle BGI dans le plan d'équation connue, et la hauteur FL = distance de F au plan.
Distance F au plan : d = |2×1 − 0 + 1 − 2| / √(4+1+1) = |1| / √6 = 1/√6.

💡 Coup de pouce : V = (1/3) × Aire × h, donc Aire = 3V / h. Tu connais V et h = FL = 1/√6.

💡 Coup de pouce : 1er niveau : P(A) = 75/300 = 1/4, P(Ā) = 225/300 = 3/4.
2e niveau :
• Branche A : P_A(R₁) = 50/75 = 2/3, P_A(R₂) = 25/75 = 1/3. Pas de R₃ pour la conduite accompagnée.
• Branche Ā : P_Ā(R₁) = 100/225 = 4/9, P_Ā(R₂) = 75/225 = 1/3, P_Ā(R₃) = 50/225 = 2/9.

💡 Coup de pouce : Multiplie le long de la branche : P(A) × P_A(R₂) = (1/4) × (1/3).

💡 Coup de pouce : Formule des probabilités totales : P(R₂) = P(A ∩ R₂) + P(Ā ∩ R₂) = 1/12 + (3/4)×(1/3) = 1/12 + 3/12.

💡 Coup de pouce : Bayes : P_R₂(A) = P(A ∩ R₂) / P(R₂) = (1/12) / (1/3).

💡 Coup de pouce : X ∈ {1, 2, 3}. Calcule P(X=1) = P(R₁) par prob. totales : P(R₁) = (1/4)(2/3) + (3/4)(4/9).
P(X=2) = 1/3 (déjà montré). P(X=3) = 1 − P(X=1) − P(X=2) ou directement P(Ā ∩ R₃).

💡 Coup de pouce : On tire n personnes avec remise. P(R₃) = 1/6 pour chaque tirage. P(aucune R₃ parmi n) = (5/6)ⁿ. Donc 1 − (5/6)ⁿ = P(« au moins une personne parmi les n a réussi à la 3e présentation »).

💡 Coup de pouce : Le while tourne tant que 1 − (5/6)ⁿ ≤ 0.9, c'est-à-dire (5/6)ⁿ ≥ 0.1. On résout (5/6)ⁿ < 0.1 ⟹ n·ln(5/6) < ln(0.1) ⟹ n > ln(0.1)/ln(5/6).
ln(0.1) ≈ −2.303, ln(5/6) ≈ −0.1823 → n > 12.63.

💡 Coup de pouce : T_A est horizontale → f'(1/e) = 0. T_B passe par (1, 2) et (3, 0) → pente = (0−2)/(3−1) = −1 → f'(1) = −1.

💡 Coup de pouce : T_B passe par B(1, 2) avec pente −1 : y = −1(x − 1) + 2 = −x + 3.

💡 Coup de pouce : f(1/e) = (2 + ln(1/e))/(1/e) = (2 − 1)/(1/e) = 1·e = e ✓. f(1) = (2 + ln 1)/1 = 2 ✓. Pour f(x) = 0 : 2 + ln x = 0 → ln x = −2 → x = e⁻².

💡 Coup de pouce : En 0⁺ : ln(x) → −∞ et 1/x → +∞, donc (2 + ln x)/x est une forme indéterminée. Écris f(x) = 2/x + ln(x)/x. 2/x → +∞ et ln(x)/x → −∞. Pour trancher, pose X = 1/x (x→0⁺ ⟹ X→+∞) : f = (2 − ln X)·X = 2X − X ln X → −∞.

💡 Coup de pouce : Quotient u/v avec u = 2 + ln x, v = x. u' = 1/x, v' = 1.
f'(x) = (u'v − uv')/v² = ((1/x)·x − (2 + ln x)·1) / x² = (1 − 2 − ln x)/x².

💡 Coup de pouce : f'(x) = 0 ⟺ −1 − ln x = 0 ⟺ ln x = −1 ⟺ x = 1/e. Signe de f' : x² > 0 toujours, et −1 − ln x > 0 ⟺ ln x < −1 ⟺ x < 1/e. Donc f croît sur ]0, 1/e] et décroît sur [1/e, +∞[. Maximum f(1/e) = e.

💡 Coup de pouce : f convexe ⟺ f''(x) ≥ 0 ⟺ (1 + 2 ln x)/x³ ≥ 0. Comme x³ > 0, il faut 1 + 2 ln x ≥ 0, soit ln x ≥ −1/2, soit x ≥ 1/√e.

💡 Température à la sortie du four = 225°C, donc f(0) = 225.

💡 Coup de pouce : Solution générale de y' + ay = b : y = Ce^−at + b/a. Ici a = 6, b = 150, donc b/a = 25.

💡 f(0) = 225 → C·e⁰ + 25 = 225 → C = 200.

💡 Coup de pouce : Deux choses à vérifier. (1) f est décroissante : calcule f'(t) = −1200e^−6t < 0 pour tout t ≥ 0. (2) f tend vers 25 : lim_t→+∞ 200e^−6t = 0, donc lim f(t) = 25 = température ambiante. ✓

💡 Coup de pouce : f est continue et strictement décroissante sur [0, +∞[, f(0) = 225, lim f = 25. Comme 40 ∈ ]25, 225[, par le TVI + monotonie stricte, l'équation f(t) = 40 a exactement une solution.

💡 Coup de pouce : Sur le graphique, lis l'abscisse t où la courbe croise la droite horizontale y = 40. En calcul exact : t = −ln(3/40)/6 = ln(40/3)/6 ≈ 0.44 h ≈ 26 min.

💡 Coup de pouce : D₀ = f(0) − f(1/60) = 225 − (200e^−6/60 + 25) = 200(1 − e^−0.1). Calcule e^−0.1 ≈ 0.9048. D₀ ≈ 200 × 0.0952 ≈ 19.0. C'est la baisse de température (en °C) pendant la première minute.

💡 Coup de pouce : D_n = f(n/60) − f((n+1)/60). Les « +25 » se simplifient. Il reste 200[e^−n/10 − e^−(n+1)/10] = 200·e^−n/10·(1 − e^−1/10).
C'est de la forme α·rⁿ avec r = e^−0.1 ∈ ]0, 1[. Donc D_n est décroissante (positive × raison < 1) et converge vers 0.