🆘 Coups de Pouce — Question par Question
Bac Spé Maths — 15 mars 2021, Sujet 1 · À consulter si tu es bloqué(e)
Règle : Ne lis que l'indice de la question où tu bloques. Essaie de finir seul(e) après chaque indice. Les réponses en vert = dernier recours.
Exercice 1 — Probabilités
Partie 1 — Q1 : Arbre pondéré
💡 1er niveau : P(D) = 0.10, P(D̄) = 0.90. 2e niveau depuis D : PD(A) = 0.60, PD(Ā) = 0.40. 2e niveau depuis D̄ : PD̄(A) = 0.20, PD̄(Ā) = 0.80.
Partie 1 — Q2 : P(D ∩ A)
💡 Multiplie le long de la branche D puis A : P(D) × PD(A) = 0.10 × 0.60.
✅ P(D ∩ A) = 0.06.
Partie 1 — Q3 : Montrer P(A) = 0.24
💡 Probabilités totales : P(A) = P(D ∩ A) + P(D̄ ∩ A) = 0.06 + 0.90 × 0.20.
✅ P(A) = 0.06 + 0.18 = 0.24.
Partie 1 — Q4 : PA(D̄)
💡 Bayes : PA(D̄) = P(D̄ ∩ A) / P(A) = 0.18 / 0.24.
✅ PA(D̄) = 18/24 = 3/4 = 0.75.
Partie 2 — Q1a : Paramètres de la loi binomiale
💡 7 candidats indépendants, chacun a une probabilité 0.24 d'être admis.
✅ X ~ B(7 ; 0.24).
Partie 2 — Q1b : P(X = 1)
💡 P(X = 1) = C(7,1) × 0.24¹ × 0.76⁶ = 7 × 0.24 × 0.76⁶. Calcule 0.76⁶ à la calculatrice.
🔢 0.76⁶ ≈ 0.1927. Donc P(X=1) ≈ 7 × 0.24 × 0.1927 ≈ 0.3237.
✅ P(X = 1) ≈ 0.32.
Partie 2 — Q1c : P(X ≥ 2)
💡 Complémentaire : P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1). Et P(X = 0) = 0.76⁷.
🔢 P(X = 0) = 0.76⁷ ≈ 0.1465. P(X ≥ 2) ≈ 1 − 0.1465 − 0.3237 ≈ 0.53.
✅ P(X ≥ 2) ≈ 0.53.
Partie 2 — Q2a : P(aucun admis)
💡 n candidats indépendants, chacun a probabilité 0.76 de ne pas être admis.
✅ P(aucun admis) = 0.76n.
Partie 2 — Q2b : Seuil pour P(≥ 1 admis) ≥ 0.99
💡 1 − 0.76n ≥ 0.99 ⟺ 0.76n ≤ 0.01 ⟺ n·ln(0.76) ≤ ln(0.01). Comme ln(0.76) < 0, on inverse en divisant.
🔢 n ≥ ln(0.01)/ln(0.76) = (−4.605)/(−0.2744) ≈ 16.78.
✅ À partir de n = 17.
Exercice 2 — Étude de f(x) = ex/x
Q1a — Limite en +∞
💡 Croissance comparée : ex domine toute puissance de x. Donc ex/x → +∞.
Q1b — Asymptote verticale
💡 En 0⁺ : ex → e⁰ = 1, et 1/x → +∞. Donc f(x) → +∞. Comme f(x) → +∞ quand x → 0⁺, l'axe x = 0 est asymptote verticale.
Q2 — Montrer f'(x) = ex(x−1)/x²
💡 Quotient u/v : u = ex, u' = ex, v = x, v' = 1. f'(x) = (ex·x − ex·1)/x². Factorise ex au numérateur.
Q3 — Variations
💡 Signe de f'(x) : ex > 0 et x² > 0, donc signe = celui de (x − 1). f'(x) < 0 si x < 1, f'(x) > 0 si x > 1. Minimum en x = 1, f(1) = e/1 = e.
✅ f décroissante sur ]0, 1], croissante sur [1, +∞[. Min f(1) = e. Limites : +∞ aux deux bords.
Q4 — Nombre de solutions de f(x) = m
💡 Trace mentalement une droite horizontale y = m sur le tableau de variations :
• m < e : la droite est sous le minimum → 0 solution.
• m = e : la droite touche le minimum → 1 solution (x = 1).
• m > e : la droite coupe la courbe deux fois (une fois dans la descente, une fois dans la montée) → 2 solutions.
Q5a — Montrer que a est solution de ea(a−1) + a² = 0
💡 Tangente parallèle à Δ : y = −x ⟹ pente = −1. Donc f'(a) = −1, soit ea(a−1)/a² = −1. Multiplie par a² > 0 des deux côtés.
Q5b — g'(x) et variations de g
💡 g(x) = ex(x − 1) + x². Dérive avec la règle du produit :
g'(x) = ex(x − 1) + ex·1 + 2x = ex·x + 2x = x(ex + 2).
🔢 Pour x ≥ 0 : x ≥ 0 et (ex + 2) > 0, donc g'(x) ≥ 0. g est croissante sur [0, +∞[. g'(0) = 0 puis g' > 0 pour x > 0.
Q5c — Existence et unicité du point A
💡 g(0) = e⁰(0 − 1) + 0 = −1 < 0. Et limx→+∞ g(x) = +∞. Comme g est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[, par le TVI, g s'annule exactement une fois sur [0, +∞[. Donc il existe un unique a > 0 tel que g(a) = 0.
Exercice 3 — QCM Géométrie dans l'espace
Q1 — Droites non coplanaires
💡 Teste chaque paire. (DK) et (SD) : K est sur [SD], donc ces droites sont dans le même plan → coplanaires. (AS) et (IC) : A, S, I, C — vérifie si les 4 points sont dans un même plan. (AC) et (SB) : A, C sont sur la base, S, B dans un plan différent — vérifie avec les coordonnées si les vecteurs directeurs + vecteur de liaison sont coplanaires.
🔢 Test rapide : (LM) et (AD) : L(1/2, 0, 1/2), M(0, 1/2, 1/2), direction LM⃗ = (−1/2, 1/2, 0). A(−1, 0, 0), D(0, −1, 0), direction AD⃗ = (1, −1, 0). LM⃗ et AD⃗ sont colinéaires (LM⃗ = −(1/2)·AD⃗) → droites parallèles → coplanaires.
(AC) et (SB) : AC⃗ = (2, 0, 0), SB⃗ = (0, 1, −1). Vecteur AS⃗ = (1, 0, 1). Det = 2(1·1 − (−1)·0) − 0 + 0 = 2 ≠ 0.
✅ Réponse : c — (AC) et (SB) ne sont pas coplanaires.
Q2 — Milieu N de [KL]
💡 K = milieu [SD] = ((0+0)/2, (−1+0)/2, (0+1)/2) = (0, −1/2, 1/2).
L = milieu [SC] = ((0+1)/2, (0+0)/2, (1+0)/2) = (1/2, 0, 1/2).
N = milieu [KL] = ((0+1/2)/2, (−1/2+0)/2, (1/2+1/2)/2).
✅ Réponse : b — N(1/4, −1/4, 1/2).
Q3 — Vecteur AS⃗
💡 AS⃗ = S − A = (0−(−1), 0−0, 1−0).
✅ Réponse : b — AS⃗ = (1, 0, 1).
Q4 — Paramétrique de (AS)
💡 Passe par A(−1, 0, 0) avec direction AS⃗(1, 0, 1). Pour t = 0 on doit retrouver A. Vérifie chaque proposition.
🔢 Proposition c : x = t, y = 0, z = 1 + t. Pour t = 0 : (0, 0, 1) = S, pas A. Pour t = −1 : (−1, 0, 0) = A ✓. Direction (1, 0, 1) ✓. Mais la proposition b : t = 0 → (−1, 0, 1) ≠ A et direction (2, 0, 2) = 2·AS⃗ ✓ colinéaire... Vérifie si un t donne A : −1 + 2t = −1 → t = 0, z = 1 ≠ 0. Non.
Proposition c passe par A (t = −1) et S (t = 0), direction (1, 0, 1) = AS⃗. ✓
✅ Réponse : c — x = t, y = 0, z = 1 + t.
Q5 — Équation du plan (SCB)
💡 Substitue S(0,0,1), C(1,0,0), B(0,1,0) dans chaque proposition :
a) y + z − 1 : S → 0+1−1 = 0 ✓, C → 0+0−1 = −1 ✗. Non.
b) x+y+z−1 : S → 0+0+1−1 = 0 ✓, C → 1+0+0−1 = 0 ✓, B → 0+1+0−1 = 0 ✓.
✅ Réponse : b — x + y + z − 1 = 0.
Exercice A — Suites
Q1 — Calculer u₁ et u₂
💡 u₁ = (3/4)×1 + (1/4)×0 + 1 = 3/4 + 0 + 1 = 7/4. u₂ = (3/4)×(7/4) + (1/4)×1 + 1.
✅ u₁ = 7/4. u₂ = 21/16 + 4/16 + 16/16 = 41/16.
Q2a — Formule tableur
💡 B3 contient u₁ à partir de u₀ en B2 et n = 0 en A2. La formule traduit un+1 = (3/4)un + (1/4)n + 1.
✅ =3/4*B2 + 1/4*A2 + 1
Q2b — Conjecture
✅ La suite (un) semble croissante (les valeurs augmentent).
Q3a — Récurrence : n ≤ un ≤ n + 1
💡 Hérédité : Suppose n ≤ un ≤ n + 1. Multiplie par 3/4 : (3/4)n ≤ (3/4)un ≤ (3/4)(n+1). Ajoute (1/4)n + 1 : (3/4)n + (1/4)n + 1 ≤ un+1 ≤ (3/4)(n+1) + (1/4)n + 1. Simplifie les deux côtés.
🔢 Côté gauche : (3/4)n + (1/4)n + 1 = n + 1. ✓
Côté droit : (3/4)n + 3/4 + (1/4)n + 1 = n + 7/4 ≤ n + 2. ✓ Donc n+1 ≤ un+1 ≤ n + 2.
Q3b — Sens de variation et limite
💡 De n ≤ un ≤ n + 1, on déduit que un → +∞ (car n → +∞, théorème des gendarmes pour la divergence).
Croissance : un+1 − un = (3/4)un + (1/4)n + 1 − un = −(1/4)un + (1/4)n + 1 = −(1/4)(un − n) + 1 = −(1/4)vn + 1. Comme vn = (3/4)n ≤ 1, on a un+1 − un ≥ −1/4 + 1 = 3/4 > 0.
✅ (un) est strictement croissante et diverge vers +∞.
Q3c — lim un/n = 1
💡 De n ≤ un ≤ n + 1, divise par n (> 0 pour n ≥ 1) : 1 ≤ un/n ≤ 1 + 1/n. Comme 1 + 1/n → 1, par le théorème des gendarmes : un/n → 1.
Q4a — vn = un − n géométrique
💡 vn+1 = un+1 − (n+1) = (3/4)un + (1/4)n + 1 − n − 1 = (3/4)un − (3/4)n = (3/4)(un − n) = (3/4)vn.
✅ vn+1 = (3/4)vn, v₀ = u₀ − 0 = 1. Suite géométrique de premier terme 1 et raison 3/4.
Q4b — Formule explicite
✅ vn = (3/4)n, donc un = vn + n = (3/4)n + n.
Exercice B — Logarithme & Convexité
Q1 — Limite en +∞
💡 f(x) = x + 4 − 4ln(x) − 3/x. Terme dominant : x. Les autres : −4ln(x)/x → 0 (croissances comparées), −3/x → 0, 4/x → 0. Donc f(x) → +∞.
Q2 — Montrer f'(x) = (x² − 4x + 3)/x²
💡 Dérive terme à terme : f'(x) = 1 − 4/x + 3/x². Mets au même dénominateur x² : (x² − 4x + 3)/x².
Q3a — Tableau de variations
💡 Numérateur x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3). Racines 1 et 3.
Signe : + sur ]0, 1[, − sur ]1, 3[, + sur ]3, +∞[.
f croît sur ]0, 1], décroît sur [1, 3], croît sur [3, +∞[.
🔢 f(1) = 1 + 4 − 4ln1 − 3 = 2. f(3) = 3 + 4 − 4ln3 − 1 = 6 − 4ln3.
Limites : f(0⁺) = −∞ (donné), f(+∞) = +∞.
Q3b — Nombre de solutions de f(x) = 5/3
💡 Compare 5/3 ≈ 1.667 aux extremums. f(1) = 2 (max local), f(3) = 6 − 4ln3 ≈ 6 − 4.394 ≈ 1.606 (min local). Comme f(3) ≈ 1.606 < 5/3 < 2 = f(1) :
🔢 La droite y = 5/3 coupe la courbe : une fois dans la montée avant x = 1 (entre 0 et 1), une fois dans la descente entre 1 et 3, une fois dans la montée après x = 3.
✅ L'équation f(x) = 5/3 admet 3 solutions.
Q4 — Convexité et point d'inflexion
💡 f'(x) = 1 − 4x−1 + 3x−2. Dérive : f''(x) = 4x−2 − 6x−3 = (4x − 6)/x³.
🔢 f''(x) = 0 ⟺ x = 3/2. Pour x > 0, x³ > 0 donc signe de f'' = signe de (4x − 6).
x < 3/2 : f'' < 0 → concave. x > 3/2 : f'' > 0 → convexe.
Point d'inflexion en x = 3/2 : f(3/2) = 3/2 + 4 − 4ln(3/2) − 2 = 7/2 − 4ln(3/2).
✅ f concave sur ]0, 3/2[, convexe sur ]3/2, +∞[. Point d'inflexion : (3/2 ; 7/2 − 4ln(3/2)).
Rappel : Un seul indice suffit souvent pour se débloquer. Si tu as fini avec un seul coup de pouce par question, c'est un bon signe. 💪