Cours — Methodes spe 2021 sujet0 · Mathématiques

Mode d'emploi : Lis cette fiche exercice par exercice. Pour chaque exercice, tu trouveras les points de cours indispensables (définitions, théorèmes, formules) et la méthode générale (comment aborder ce type d'exercice). Prends 20–25 min pour tout relire, puis attaque le sujet.

📖 Théorème des gendarmes (Q1)

Si pour tout n, u_n ≤ w_n ≤ v_n, et si lim u_n = lim v_n = ℓ, alors lim w_n = ℓ.

Si (1/4)ⁿ → 0, alors u_n = 1 − (1/4)ⁿ → 1 et v_n = 1 + (1/4)ⁿ → 1.

⚠️ Une suite géométrique a la forme a · rⁿ. Ici, u_n = 1 − (1/4)ⁿ n'est pas géométrique (c'est une somme).

📖 Dérivée d'un produit et composition (Q2)

(uv)' = u'v + uv'

Si f(x) = x · e^x², pose u(x) = x et v(x) = e^x².
Pour dériver e^g(x) : la dérivée est g'(x) · e^g(x). Ici g(x) = x², donc g'(x) = 2x.
Ainsi v'(x) = 2x · e^x², et f'(x) = 1 · e^x² + x · 2x · e^x² = (1 + 2x²) e^x².

📖 Limite d'une fraction rationnelle (Q3)

Pour lim_x→+∞ P(x)/Q(x), on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

lim_x→+∞ (x² − 1)/(2x² − 2x + 1) = lim x²/2x² = 1/2

📖 Théorème des valeurs intermédiaires (Q4)

Si f est continue sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.

h continue sur [0 ; 1], h(0) = 2, h(1) = 0. Comme 1 est entre 0 et 2, ∃ a ∈ [0 ; 1], h(a) = 1.

⚠️ Le TVI garantit l'existence, pas l'unicité (sauf si f est strictement monotone). On ne peut pas conclure « exactement deux solutions » sans info supplémentaire.

📖 Lire le graphe de g' pour conclure sur g (Q5)

g croissante ⟺ g'(x) ≥ 0 (courbe de g' au-dessus de l'axe des abscisses)
g convexe ⟺ g' croissante (la courbe de g' monte)
g admet un extremum en a ⟺ g' change de signe en a

🎯 Méta QCM

Pour chaque question : élimine d'abord les réponses manifestement fausses. Vérifie les contre-exemples : si une seule valeur de n contredit une affirmation, elle est fausse. Pour Q5, trace mentalement les zones + et − de g'.

📖 Coordonnées dans un repère orthonormé du cube

Repère (A ; AB, AD, AE). Le cube a côté 1 :
A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1).
I milieu de [EF] : I(½, 0, 1). J symétrique de E par rapport à F : J(2, 0, 1).

📖 Vecteur normal à un plan

n⃗ est normal au plan (P) contenant les vecteurs u⃗ et v⃗ ⟺ n⃗ · u⃗ = 0 et n⃗ · v⃗ = 0

Pour montrer que DJ⃗ est normal au plan (BGI), calcule DJ⃗ · BI⃗ et DJ⃗ · BG⃗. Si les deux produits scalaires sont nuls, c'est fait.

📖 Équation cartésienne d'un plan

Si n⃗(a, b, c) est normal au plan et M₀(x₀, y₀, z₀) ∈ plan, alors : a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0

Prends un point connu du plan (par ex. B) et développe.

📖 Représentation paramétrique d'une droite

Droite passant par F, dirigée par n⃗ (car orthogonale au plan) :
x = x_F + a·t, y = y_F + b·t, z = z_F + c·t, t ∈ ℝ

📖 Volume d'une pyramide & distance point-plan

V = (1/3) × B × h d(M, plan) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Pour FBGI : la base est BGI (triangle), la hauteur est FL (distance de F au plan). Une fois V et h connus, on déduit l'aire de BGI par B = 3V/h.

🎯 Méta géométrie dans l'espace

Lire les coordonnées directement depuis la figure + définitions (milieu, symétrique).
Calculer les vecteurs par différence de coordonnées.
Vérifier la normalité par produit scalaire = 0.
Écrire l'équation du plan avec un point + le vecteur normal.
Droite = point + direction (ici la direction est le vecteur normal).
Intersection droite/plan : substituer les paramètres dans l'équation du plan, résoudre en t.
Volume = (1/3) × aire base × hauteur. Jouer avec la formule pour déduire l'aire.

📖 Arbre pondéré et formule des probabilités totales

On construit l'arbre en deux niveaux : 1er niveau = type de formation (A ou Ā), 2e niveau = nombre de présentations (R₁, R₂, R₃).

P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A)·P_A(B) + P(Ā)·P_Ā(B)

Données : 300 personnes, 75 conduite accompagnée, 225 traditionnelle. Les probabilités se lisent comme des fréquences (ex : P(A) = 75/300 = 1/4).

📖 Probabilité conditionnelle (formule de Bayes)

P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)

« Sachant que R₂, quelle probabilité d'avoir fait la conduite accompagnée ? » → P_R₂(A) = P(A ∩ R₂) / P(R₂).

📖 Variable aléatoire : loi, espérance

X prend les valeurs 1, 2, 3. On calcule P(X=k) par probabilités totales.

E(X) = Σ x_i · P(X = x_i) = 1·P(X=1) + 2·P(X=2) + 3·P(X=3)

Interprétation : E(X) est le nombre moyen de présentations pour réussir.

📖 Schéma de Bernoulli et loi binomiale

On répète n fois, indépendamment, la même épreuve (ici : tirer une personne, succès = R₃).

P(« au moins un succès ») = 1 − P(« aucun succès ») = 1 − (1 − p)ⁿ

Avec p = P(R₃) = 1/6 : P(≥ 1 succès) = 1 − (5/6)ⁿ.

🎯 Méta probas

Construire l'arbre avec les fréquences données. Vérifier que les branches somment à 1.
Multiplier le long des branches, additionner les chemins (formule des prob. totales).
Bayes = intersection / marginale.
Loi de X : tableau des valeurs et probabilités. Vérifier que la somme vaut 1.
Lire le programme Python ligne par ligne : identifier la variable, la condition du while, la sortie.

⚠️ Piège Python

La fonction seuil(0.9) cherche le plus petit n tel que 1 − (5/6)ⁿ > 0.9, c'est-à-dire (5/6)ⁿ < 0.1. On peut le résoudre avec ln : n > ln(0.1)/ln(5/6) ≈ 12.6, donc n = 13.

📖 Lecture graphique de f'(a)

f'(a) = coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse a.
Tangente horizontale ⟹ f'(a) = 0. Tangente passant par (1, 2) et (3, 0) ⟹ pente = (0−2)/(3−1) = −1.

📖 Rappels sur ln

ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(1/e) = −1
(ln u)' = u'/u
lim_x→0⁺ x ln(x) = 0 (croissance comparée)
lim_x→+∞ ln(x)/x = 0 (croissance comparée)

📖 Dérivée d'un quotient

(u/v)' = (u'v − uv') / v²

Pour f(x) = (2 + ln x)/x : u = 2 + ln x, u' = 1/x, v = x, v' = 1.

📖 Convexité et dérivée seconde

f convexe sur I ⟺ f''(x) ≥ 0 sur I

Résoudre f''(x) ≥ 0, c'est-à-dire (1 + 2 ln x)/x³ ≥ 0. Comme x³ > 0 pour x > 0, il suffit que 1 + 2 ln x ≥ 0, soit ln x ≥ −1/2, soit x ≥ e^−1/2 = 1/√e.

🎯 Méta analyse de fonction

Partie I = lecture graphique pure. Pente = Δy/Δx entre deux points de la tangente.
Partie II : vérifier les points A et B en substituant dans f(x). Intersection axe Ox : f(x) = 0.
Limites : factoriser, utiliser les croissances comparées.
Tableau de variations : signe de f'(x), valeurs limites et maximum.
Convexité : signe de f''(x), résoudre l'inéquation.

📖 Résolution de y' + ay = b

Solution générale : y(t) = C·e^−at + b/a

Ici a = 6, b = 150 : y(t) = C·e^−6t + 25. La condition initiale f(0) = 225 donne C = 200.

📖 Propriétés de l'exponentielle

e^−6t > 0 pour tout t, et lim_t→+∞ e^−6t = 0
f(t) = 200e^−6t + 25 est décroissante (dérivée = −1200e^−6t < 0)
lim f(t) = 25 (température ambiante)

📖 Résoudre f(t) = k

200e^−6t + 25 = 40 ⟹ e^−6t = 15/200 = 3/40 ⟹ t = −ln(3/40)/6

Unicité : e^−6t est strictement décroissante, donc l'équation a exactement une solution.

📖 Suite géométrique pour D_n

D_n = f(n/60) − f((n+1)/60). En développant avec f(t) = 200e^−6t + 25, les « +25 » s'annulent.

D_n = 200·e^−n/10·(1 − e^−1/10)

C'est de la forme D_n = D₀ · (e^−1/10)ⁿ → suite géométrique de raison e^−0.1 ≈ 0.905, décroissante, de limite 0.

🎯 Méta éq. diff.

Écrire la solution générale de y' + ay = b.
Déterminer C avec la condition initiale.
Vérifier la cohérence physique : décroissance + limite = température ambiante.
Résoudre f(t) = 40 par passage au ln. Justifier l'unicité par la monotonie.
Pour D_n : développer, simplifier, identifier la forme géométrique.

Bon courage ! Tu as 4 heures. Gère ton temps : ~45 min par exercice, + 15 min de relecture. Commence par l'exercice où tu es le plus à l'aise.

📘 Rappels de Cours & Méthodes Bac Spé Maths — Session 2021, Sujet 0 · À lire AVANT de commencer