📘 Rappels de Cours & Méthodes
Bac Spé Maths — 15 mars 2021, Sujet 1 · À lire AVANT de commencer
Mode d'emploi : Pour chaque exercice, tu trouveras les rappels de cours indispensables et la stratégie d'attaque. Lis tout (20–25 min), puis lance-toi. Le sujet comporte 3 exercices obligatoires + 1 au choix (A ou B).
📖 Arbre pondéré et probabilités totales (Partie 1)
On modélise par un arbre à deux niveaux. 1er niveau : D (sélectionné sur dossier) ou D̄. 2e niveau : A (admis) ou Ā.
Données : P(D) = 0,10, P
D(A) = 0,60, P
D̄(A) = 0,20.
P(A) = P(D ∩ A) + P(D̄ ∩ A) = P(D)·PD(A) + P(D̄)·PD̄(A)
Probabilité conditionnelle (Bayes) : PA(D̄) = P(D̄ ∩ A) / P(A)
📖 Loi binomiale (Partie 2)
Quand on répète
n épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès
p, le nombre de succès
X suit la loi B(n, p).
P(X = k) = C(n,k) · pk · (1−p)n−k
- P(X = 1) : appliquer directement avec n = 7, p = 0.24, k = 1.
- P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) (complémentaire).
📖 Problème de seuil avec ln
P(aucun admis parmi n) = (0,76)
n. On veut P(≥ 1 admis) ≥ 0,99, soit 1 − (0,76)
n ≥ 0,99.
(0,76)n ≤ 0,01 ⟹ n·ln(0,76) ≤ ln(0,01) ⟹ n ≥ ln(0,01)/ln(0,76)
⚠️ On divise par ln(0,76) < 0, donc l'inégalité
s'inverse.
🎯 Méta exo 1
- Construire l'arbre, multiplier le long des branches (P(D∩A) = 0.10 × 0.60).
- Prob. totales pour P(A). Bayes pour la conditionnelle inverse.
- Identifier la loi binomiale (n, p). Utiliser le complémentaire pour « au moins ».
- Seuil : poser l'inéquation, passer au ln, attention au sens de l'inégalité.
📖 Limites de ex/x
- En +∞ : ex croît beaucoup plus vite que x → lim = +∞ (croissance comparée).
- En 0+ : ex → 1, et 1/x → +∞ → lim = +∞. Asymptote verticale x = 0 (axe des ordonnées).
Croissance comparée : limx→+∞ ex/x = +∞
📖 Dérivée d'un quotient u/v
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
Pour f(x) = e
x/x : u = e
x, u' = e
x, v = x, v' = 1.
f'(x) = (e
x·x − e
x·1) / x² = e
x(x − 1) / x².
📖 Signe de f' et variations
x² > 0 et e
x > 0 toujours. Donc le signe de f'(x) est celui de (x − 1) :
f' < 0 sur ]0, 1[ (f décroissante), f' > 0 sur ]1, +∞[ (f croissante). Minimum en x = 1 : f(1) = e.
📖 Nombre de solutions de f(x) = m
En lisant le tableau de variations :
- Si m < e : aucune solution (le minimum vaut e).
- Si m = e : exactement une solution (x = 1).
- Si m > e : exactement deux solutions (une dans ]0, 1[, une dans ]1, +∞[).
📖 Tangente parallèle à une droite
La tangente en x = a est parallèle à Δ : y = −x ⟺ f'(a) = −1 (même pente).
f'(a) = −1 ⟺ ea(a−1)/a² = −1 ⟺ ea(a−1) + a² = 0
On pose g(x) = e
x(x−1) + x². Pour montrer l'existence et l'unicité de la solution, on étudie les variations de g (signe de g'), puis on applique le TVI + monotonie.
🎯 Méta exo 2
- Limites : croissance comparée en +∞, comportement de 1/x en 0⁺.
- Dérivée quotient, factoriser ex.
- Tableau de variations avec limites et minimum.
- Nombre de solutions = lecture horizontale du tableau.
- Tangente parallèle : f'(a) = pente de Δ → équation à résoudre → étude de g → TVI.
📖 Droites coplanaires ou non
Deux droites sont
coplanaires si elles sont soit sécantes, soit parallèles. Elles sont
non coplanaires si elles ne sont ni parallèles, ni sécantes (elles « se croisent » dans l'espace).
Méthode : deux droites (d₁) et (d₂) sont coplanaires ssi les vecteurs directeurs
u⃗,
v⃗ et le vecteur
AB⃗ (reliant un point de chaque droite) sont coplanaires, c'est-à-dire si le déterminant (ou produit mixte) des trois vecteurs est nul.
Non coplanaires ⟺ det(u⃗, v⃗, AB⃗) ≠ 0
📖 Coordonnées dans le repère (I ; IC⃗, IB⃗, IS⃗)
I(0,0,0), A(−1,0,0), B(0,1,0), C(1,0,0), D(0,−1,0), S(0,0,1).
Milieu : M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2).
K = milieu [SD] = ((0+0)/2, (−1+0)/2, (0+1)/2) = (0, −1/2, 1/2).
L = milieu [SC] = (1/2, 0, 1/2). M = milieu [SB] = (0, 1/2, 1/2).
📖 Vecteur, droite, plan — rappels rapides
- Vecteur : AS⃗ = S − A = (0−(−1), 0−0, 1−0) = (1, 0, 1).
- Droite (AS) : passe par A(−1,0,0), dirigée par AS⃗(1,0,1) → x = −1+t, y = 0, z = t.
- Équation de plan : ax + by + cz + d = 0. On vérifie en substituant les 3 points du plan.
🎯 Méta QCM géométrie
- Q1 (non coplanaires) : tester chaque paire. Deux droites dans un même plan de la pyramide sont coplanaires. Chercher celles qui « se croisent ».
- Q2 (milieu de KL) : calculer K et L d'abord, puis leur milieu.
- Q3 (vecteur AS⃗) : simple soustraction de coordonnées.
- Q4 (paramétrique) : vérifier que le point A est sur la droite (t = 0) et que la direction est colinéaire à AS⃗.
- Q5 (plan SCB) : substituer S, C, B dans chaque équation proposée. Celle qui donne 0 pour les trois est la bonne.
⚠️ Astuce pour Q5
Plutôt que de chercher le vecteur normal, teste directement chaque réponse : S(0,0,1), C(1,0,0), B(0,1,0). Par exemple, pour « x + z − 1 = 0 » : S → 0+1−1 = 0 ✓, C → 1+0−1 = 0 ✓, B → 0+0−1 = −1 ✗. Éliminé. Continue avec les autres.
📖 Suite définie par récurrence : un+1 = (3/4)un + (1/4)n + 1
Ce n'est ni arithmétique, ni géométrique directement. On calcule les premiers termes pour conjecturer, puis on utilise une
suite auxiliaire pour obtenir une formule explicite.
📖 Raisonnement par récurrence
Pour montrer P(n) : « n ≤ u
n ≤ n + 1 » pour tout n ∈ ℕ :
Initialisation : Vérifier P(0) : 0 ≤ u₀ = 1 ≤ 1 ✓
Hérédité : Supposer P(n) vraie (n ≤ un ≤ n+1). Montrer P(n+1) (n+1 ≤ un+1 ≤ n+2).
Conclusion : Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ∈ ℕ.
Technique pour l'hérédité : partir de n ≤ u
n ≤ n+1, multiplier par 3/4, ajouter (1/4)n + 1, et vérifier que le résultat donne n+1 ≤ u
n+1 ≤ n+2.
📖 Suite auxiliaire géométrique
On pose v
n = u
n − n. Pour montrer que (v
n) est géométrique de raison 3/4, il faut montrer que v
n+1 = (3/4)·v
n.
vn+1 = un+1 − (n+1) = (3/4)un + (1/4)n + 1 − n − 1 = (3/4)un − (3/4)n = (3/4)(un − n) = (3/4)vn
Donc v
n = v₀·(3/4)
n = 1·(3/4)
n, d'où u
n = (3/4)
n + n.
📖 Limite de un/n
un/n = (3/4)n/n + 1. Comme (3/4)n → 0 et donc (3/4)n/n → 0, on a lim un/n = 1.
🎯 Méta exo suites
- Calculer u₁ et u₂ (application directe de la formule).
- Formule tableur : traduire la relation de récurrence en formule Excel.
- Récurrence : écrire les 3 étapes (init, hérédité, conclusion). L'hérédité = calcul.
- Suite auxiliaire : poser vn, montrer géométrique, en déduire la formule explicite de un.
- Théorème des gendarmes (via l'encadrement n ≤ un ≤ n+1) pour la limite.
📖 Rappels ln et dérivation
- (ln x)' = 1/x | (1/x)' = −1/x²
- limx→+∞ ln(x)/x = 0 (croissance comparée : x domine ln x)
- limx→0⁺ ln(x) = −∞
📖 Dérivée de f(x) = x + 4 − 4ln(x) − 3/x
f'(x) = 1 − 4/x + 3/x² = (x² − 4x + 3)/x²
Numérateur : x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Racines : x = 1 et x = 3.
Signe : positif sur ]0, 1], négatif sur [1, 3], positif sur [3, +∞[.
→ Maximum local en x = 1 : f(1) = 1 + 4 − 0 − 3 = 2.
→ Minimum local en x = 3 : f(3) = 3 + 4 − 4ln3 − 1 = 6 − 4ln3.
📖 Convexité et point d'inflexion
f convexe ⟺ f''(x) ≥ 0 | f concave ⟺ f''(x) ≤ 0
Point d'inflexion = point où f'' change de signe
f'(x) = 1 − 4x
−1 + 3x
−2, donc f''(x) = 4x
−2 − 6x
−3 = (4x − 6)/x³.
f''(x) = 0 ⟺ 4x − 6 = 0 ⟺ x = 3/2. Comme x³ > 0 :
f'' < 0 sur ]0, 3/2[ (concave) et f'' > 0 sur ]3/2, +∞[ (convexe). Point d'inflexion en x = 3/2.
🎯 Méta exo analyse/convexité
- Limite en +∞ : le terme dominant est x → +∞.
- Dériver terme à terme, réduire au même dénominateur x².
- Factoriser le numérateur (trinôme), signe, tableau de variations.
- Nombre de solutions de f(x) = 5/3 : tracer la droite y = 5/3 sur le tableau. Comparer 5/3 aux extremums (f(1) = 2, f(3) = 6 − 4ln3 ≈ 1.61).
- Convexité : dériver f' pour obtenir f'', chercher le signe, identifier le point d'inflexion.
⚠️ Piège : nombre de solutions de f(x) = 5/3
f(1) = 2 et f(3) = 6 − 4ln3 ≈ 1.61. On a 5/3 ≈ 1.67. Il faut comparer 5/3 au minimum f(3). Si 5/3 > f(3), il y a 3 solutions (une avant 1, une entre 1 et 3, une après 3). Si 5/3 < f(3), il y en a 1 seule (avant 1). Calcule f(3) exactement.
Bon courage ! 4 heures — ~45 min par exercice + 15 min de relecture. Commence par celui où tu es le plus à l'aise.