Le Coefficient Directeur d'une Droite

Fiche de cours — Mathématiques Seconde Bac Pro

1. La formule

m = (yB − yA) ÷ (xB − xA)
A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points quelconques de la droite  ·  m est le coefficient directeur
En clair : le coefficient directeur, c'est la variation en y divisée par la variation en x entre deux points de la droite.
On dit aussi : « montée sur avancée » — combien la droite monte (ou descend) quand on avance de 1 vers la droite.

2. Méthode pas à pas

1
Repérer deux points sur la droite dont on connaît les coordonnées exactes.
2
Calculer la différence des ordonnées (y) : yB − yA
3
Calculer la différence des abscisses (x) : xB − xA
4
Diviser : m = (différence des y) ÷ (différence des x). Attention à l'ordre : B avant A, dans les deux différences.
5
Vérifier le signe : droite qui monte → m > 0 ; droite qui descend → m < 0.

3. Exemples résolus

Exemple 1 — Droite montante
Points : A(1 ; 2) et B(4 ; 8)
Étape 2 : yB − yA = 8 − 2 = 6
Étape 3 : xB − xA = 4 − 1 = 3
Étape 4 : m = 6 ÷ 3 = m = 2
✔ m > 0 : la droite monte bien. Pour chaque pas de +1 en x, y augmente de 2.
Exemple 2 — Droite descendante
Points : A(0 ; 6) et B(3 ; 0)
Étape 2 : yB − yA = 0 − 6 = −6
Étape 3 : xB − xA = 3 − 0 = 3
Étape 4 : m = −6 ÷ 3 = m = −2
✔ m < 0 : la droite descend bien. Pour chaque pas de +1 en x, y diminue de 2.
Exemple 3 — Résultat décimal
Points : C(2 ; 5) et D(6 ; 7)
Étape 2 : 7 − 5 = 2
Étape 3 : 6 − 2 = 4
Étape 4 : m = 2 ÷ 4 = m = 0,5
Pente faible : la droite monte doucement.
Exemple 4 — Droite horizontale
Points : E(1 ; 4) et F(5 ; 4)
Étape 2 : 4 − 4 = 0
Étape 3 : 5 − 1 = 4
Étape 4 : m = 0 ÷ 4 = m = 0
m = 0 : droite horizontale, y ne change pas.

4. Ce que le signe de m indique

Valeur de m Allure de la droite Interprétation
m > 0 (positif) ↗ Monte de gauche à droite Quand x augmente, y augmente
m < 0 (négatif) ↘ Descend de gauche à droite Quand x augmente, y diminue
m = 0 → Horizontale y ne change pas
|m| grand Pente raide La droite est presque verticale
|m| proche de 0 Pente douce La droite est presque horizontale

5. Erreurs fréquentes à éviter

✗ Erreur 1 — Inverser numérateur et dénominateur : écrire (xB−xA) ÷ (yB−yA) au lieu de l'inverse. → Toujours Δy en haut, Δx en bas.
✗ Erreur 2 — Mélanger l'ordre : faire yB−yA mais xA−xB. → Même ordre dans les deux soustractions (B−A ou A−B, pas un mélange).
✗ Erreur 3 — Oublier le signe négatif quand y diminue. → Vérifier que le signe de m correspond à l'allure visuelle de la droite.
✗ Erreur 4 — Prendre des points dont les coordonnées sont approximatives (lus sur un graphique flou). → Choisir des points qui tombent exactement sur un croisement de la grille.
⬛ À RETENIR
m = (yB − yA) ÷ (xB − xA)
• Δy en haut (différence des ordonnées)  ·  Δx en bas (différence des abscisses)
• m > 0 → droite montante  ·  m < 0 → droite descendante  ·  m = 0 → droite horizontale
• Le résultat ne dépend pas du choix des deux points : n'importe quelle paire de points de la droite donne le même m.