Équation cartésienne d'une droite

Fiche pas à pas — Terminale Spé Maths — De la base jusqu'à la maîtrise

Objectif : tu sais ce qu'est un point, un vecteur, et des coordonnées. On va construire ensemble, brique par brique, ce qu'est une équation cartésienne de droite et comment ça marche. Les graphiques Desmos interactifs te permettent de vérifier visuellement chaque étape.

ÉTAPE 1 Ce que tu sais déjà : point, vecteur, coordonnées

On travaille dans un repère du plan (O ; i⃗ ; j⃗). Chaque point a deux coordonnées : A(x_A ; y_A).

Un vecteur u⃗ a aussi deux coordonnées : u⃗(α ; β). Il indique une direction et un sens.

Vecteur directeur d'une droite : un vecteur u⃗ non nul est un vecteur directeur de la droite (d) s'il est parallèle à (d). Autrement dit, si on « glisse » u⃗ le long de la droite, il reste sur la droite.
Si A et B sont deux points de (d), alors AB⃗ est un vecteur directeur de (d).

DESMOS — Visualise le vecteur directeurINTERACTIF

Déplace les points A et B. Le vecteur AB⃗ (flèche bleue) est toujours un vecteur directeur de la droite (en vert). Remarque que la direction ne change pas si tu multiplies le vecteur.

Mini-exo 1 — Vérification

Soit A(1 ; 3) et B(4 ; 7).

a) Calcule les coordonnées de AB⃗.

b) Le vecteur v⃗(6 ; 8) est-il un vecteur directeur de (AB) ? (Est-il colinéaire à AB⃗ ?)

c) Le vecteur w⃗(9 ; 12) est-il un vecteur directeur de (AB) ?

→ Vérifie sur Desmos : place A(1;3) et B(4;7), puis regarde la direction du vecteur.

ÉTAPE 2 L'idée clé : « M est sur la droite » se traduit en maths

Voici la question fondamentale :

Problème : On connaît un point A d'une droite (d) et un vecteur directeur u⃗ de (d). Comment savoir si un point M(x ; y) quelconque est sur (d) ou pas ?

Réponse : M est sur (d) si et seulement si les vecteurs AM⃗ et u⃗ sont colinéaires.

Pourquoi ? Si M est sur la droite, alors AM⃗ « suit » la direction de la droite, donc il est parallèle à u⃗.

Image mentale : La droite, c'est un rail. Le vecteur directeur donne la direction du rail. Si AM⃗ va dans la même direction que le rail, alors M est sur le rail. Sinon, M a « déraillé ».

DESMOS — M est-il sur la droite ?INTERACTIF

Déplace le point M (en rouge). Quand M est sur la droite verte, AM⃗ et u⃗ sont colinéaires (parallèles). Quand M sort de la droite, ils ne le sont plus.

Mini-exo 2 — Intuition

Soit (d) la droite passant par A(2 ; 1) et de vecteur directeur u⃗(3 ; 2).

a) Calcule AM⃗ pour M(5 ; 3). Les vecteurs AM⃗ et u⃗ sont-ils colinéaires ? M est-il sur (d) ?

b) Même question pour N(8 ; 5).

→ Vérifie sur Desmos : place M à (5;3) puis à (8;5) et regarde s'il tombe sur la droite.

ÉTAPE 3 L'outil : le déterminant (critère de colinéarité)

Pour vérifier si deux vecteurs u⃗(a ; b) et v⃗(a' ; b') sont colinéaires, on calcule leur déterminant :

det(u⃗ ; v⃗) = a × b' − b × a'

Règle : u⃗ et v⃗ sont colinéaires ⟺ det(u⃗ ; v⃗) = 0

Moyen mnémotechnique : « le déterminant, c'est croisé » → on multiplie en diagonale et on soustrait.

Exemple résolu

u⃗(3 ; 2) et v⃗(6 ; 4). Déterminant : 3 × 4 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0. → Colinéaires ✓

u⃗(3 ; 2) et w⃗(1 ; 5). Déterminant : 3 × 5 − 2 × 1 = 15 − 2 = 13 ≠ 0. → Pas colinéaires ✗

DESMOS — Colinéarité visuelle : modifie les vecteursINTERACTIF

Change les curseurs a₁, a₂, b₁, b₂ pour modifier les vecteurs u⃗ (bleu) et v⃗ (rouge). Regarde la valeur de d (le déterminant). Quand d = 0, les flèches sont parallèles = colinéaires.

Mini-exo 3 — Déterminant

Calcule le déterminant et conclus (colinéaires ou non) :

a) u⃗(4 ; −1) et v⃗(−8 ; 2) → det = →

b) u⃗(5 ; 3) et v⃗(2 ; 1) → det = →

c) u⃗(1 ; −2) et v⃗(−3 ; 6) → det = →

→ Vérifie sur Desmos : entre les coordonnées dans les curseurs et regarde si les flèches sont parallèles.

ÉTAPE 4 On fabrique l'équation cartésienne (le cœur du sujet)

On a tous les ingrédients. Maintenant, on cuisine.

Situation : Soit (d) une droite passant par A(x_A ; y_A) de vecteur directeur u⃗(α ; β).

Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. On calcule AM⃗(x − x_A ; y − y_A).

M ∈ (d) ⟺ AM⃗ et u⃗ colinéaires ⟺ det(AM⃗ ; u⃗) = 0

On développe le déterminant :

det(AM⃗ ; u⃗) = (x − x_A) × β − (y − y_A) × α = 0

β·x − β·x_A − α·y + α·y_A = 0

En posant a = β, b = −α, c = α·y_A − β·x_A, on obtient :

ax + by + c = 0 ← C'est ça, l'équation cartésienne de (d)

Ce qu'il faut comprendre : L'équation cartésienne, c'est juste le déterminant = 0 développé et simplifié. Elle traduit la condition « M est sur la droite » en une relation entre x et y.

Exemple résolu — Fabrication complète

Droite (d) passant par A(1 ; 3) de vecteur directeur u⃗(2 ; −5).

AM⃗ = (x − 1 ; y − 3). On écrit det(AM⃗ ; u⃗) = 0 :

(x − 1)(−5) − (y − 3)(2) = 0

−5x + 5 − 2y + 6 = 0

−5x − 2y + 11 = 0 (ou en multipliant par −1 : 5x + 2y − 11 = 0)

Vérification : A(1 ; 3) → 5(1) + 2(3) − 11 = 5 + 6 − 11 = 0 ✓

DESMOS — Vérifie : 5x + 2y − 11 = 0 passe par A(1;3)INTERACTIF

La droite 5x + 2y − 11 = 0 est tracée avec A(1;3). Modifie l'équation pour tester tes propres résultats. Tu peux ajouter d'autres expressions avec le « + ».

Mini-exo 4 — Fabrique toi-même l'équation

Détermine une équation cartésienne de la droite (d) passant par A(2 ; −1) de vecteur directeur u⃗(−3 ; 4).

Méthode : écris AM⃗, calcule det(AM⃗ ; u⃗) = 0, développe et simplifie.

Vérification : remplace x et y par les coordonnées de A. Tu dois trouver 0.

→ Vérifie sur Desmos : tape ton équation et regarde si la droite passe par A(2 ; −1).

ÉTAPE 5 Lire une équation : le lien entre ax + by + c = 0 et le vecteur directeur

On vient de voir que si u⃗(α ; β) est vecteur directeur, on pose a = β et b = −α.

Autrement dit : a = β et b = −α, donc α = −b et β = a.

À RETENIR

Si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0, alors u⃗(−b ; a) est un vecteur directeur de (d).

On inverse b en le mettant négatif, et a prend la place de la deuxième coordonnée.

Exemples

Équation	a	b	Vecteur directeur (−b ; a)
3x + 2y − 7 = 0	3	2	u⃗(−2 ; 3)
−x + 4y + 1 = 0	−1	4	u⃗(−4 ; −1)
2x − 5y = 0	2	−5	u⃗(5 ; 2)
y − 3 = 0 (soit 0x + 1y − 3 = 0)	0	1	u⃗(−1 ; 0) = droite horizontale
x + 2 = 0 (soit 1x + 0y + 2 = 0)	1	0	u⃗(0 ; 1) = droite verticale

DESMOS — Les 5 droites du tableau avec leurs vecteurs directeursINTERACTIF

Les 5 droites du tableau sont tracées. Vérifie que chaque vecteur directeur est bien parallèle à sa droite. Clique sur les expressions à gauche pour les montrer/cacher.

Mini-exo 5 — Lecture du vecteur directeur

Pour chaque équation, donne un vecteur directeur :

a) 7x − 3y + 2 = 0 → u⃗( )

b) −2x + y − 5 = 0 → u⃗( )

c) 4x + 6y = 0 → u⃗( )

→ Vérifie sur Desmos : tape chaque équation et trace le vecteur pour voir s'il est parallèle à la droite.

ÉTAPE 6 Vérifier qu'un point est sur une droite

C'est la compétence la plus simple et la plus utile :

Un point M(x₀ ; y₀) appartient à la droite d'équation ax + by + c = 0 si et seulement si a·x₀ + b·y₀ + c = 0.
On remplace x par x₀ et y par y₀. Si on tombe sur 0, le point est dessus. Sinon, non.

Exemple résolu

Droite (d) : 2x − 3y + 6 = 0. Le point A(3 ; 4) est-il sur (d) ?

2(3) − 3(4) + 6 = 6 − 12 + 6 = 0 ✓ → Oui, A ∈ (d)

Le point B(1 ; 2) est-il sur (d) ?

2(1) − 3(2) + 6 = 2 − 6 + 6 = 2 ≠ 0 → Non, B ∉ (d)

DESMOS — A est dessus, B non : vérifie visuellementINTERACTIF

La droite 2x − 3y + 6 = 0 est tracée avec A(3;4) sur la droite et B(1;2) à côté. Ajoute tes propres points pour vérifier les mini-exos.

Mini-exo 6 — Appartenance

Droite (d) : 5x − 2y + 3 = 0. Parmi ces points, lesquels sont sur (d) ?

a) A(1 ; 4) → calcul : → sur (d) ?

b) B(−1 ; −1) → calcul : → sur (d) ?

c) C(3 ; 9) → calcul : → sur (d) ?

→ Vérifie : tape 5x − 2y + 3 = 0 dans Desmos et place les points pour voir.

ÉTAPE 7 Trouver l'équation à partir de deux points

Situation très fréquente : on te donne A et B, et tu dois trouver l'équation de (AB).

Méthode en 3 temps :
1. Calcule AB⃗(α ; β) → c'est le vecteur directeur.
2. L'équation est de la forme β·x − α·y + c = 0 (car a = β, b = −α).
3. Remplace x et y par les coordonnées de A (ou B) pour trouver c.

Exemple résolu

A(1 ; 2) et B(4 ; −1). Trouver une équation de (AB).

1. AB⃗ = (4−1 ; −1−2) = (3 ; −3). Vecteur directeur : u⃗(3 ; −3).

2. a = β = −3, b = −α = −3. Équation : −3x − 3y + c = 0.

3. A ∈ (d) : −3(1) − 3(2) + c = 0 → −3 − 6 + c = 0 → c = 9.

Résultat : −3x − 3y + 9 = 0, simplifié : x + y − 3 = 0.

Vérif avec B : 4 + (−1) − 3 = 0 ✓

DESMOS — La droite x + y − 3 = 0 passe bien par A(1;2) et B(4;−1)INTERACTIF

Les deux points sont bien sur la droite. Modifie l'équation pour tester tes propres résultats.

Mini-exo 7 — Équation à partir de deux points

Détermine une équation cartésienne de la droite (AB) avec A(−1 ; 3) et B(2 ; −3).

Étape 1 : AB⃗ =

Étape 2 : Forme de l'équation (a = ..., b = ...) :

Étape 3 : Trouver c avec le point A :

Équation finale :

Vérification avec B :

→ Vérifie sur Desmos : tape ton équation et regarde si elle passe par A(−1;3) et B(2;−3).

ÉTAPE 8 Le lien avec y = mx + p (équation réduite)

Tu connais déjà y = mx + p depuis la seconde. C'est un cas particulier d'équation cartésienne !

Passage cartésienne → réduite : Si b ≠ 0, on isole y : by = −ax − c → y = −(a/b)x − c/b
Donc : m = −a/b et p = −c/b.

Passage réduite → cartésienne : On passe tout à gauche : y = mx + p → mx − y + p = 0

Attention : L'équation réduite y = mx + p ne marche pas pour les droites verticales (genre x = 3). L'équation cartésienne, elle, marche toujours. C'est pour ça qu'on l'utilise.

DESMOS — Joue avec m et p : vois la droite bougerINTERACTIF

Modifie m (pente) et p (ordonnée à l'origine) avec les curseurs. La droite y = mx + p bouge en temps réel. Active la droite verticale x = k pour voir ce que y = mx + p ne peut pas faire.

Mini-exo 8 — Conversions

a) Passe en équation cartésienne : y = −2x + 5

b) Passe en équation réduite : 6x − 3y + 9 = 0

c) L'équation x = −4 est-elle une équation cartésienne ? Si oui, quels sont a, b, c ?

→ Vérifie sur Desmos : tape les deux formes, elles doivent donner la même droite.

RÉCAPITULATIF — Tout sur une page

LES 5 CHOSES À RETENIR

1. Ce que c'est : L'équation cartésienne ax + by + c = 0 est une condition sur (x ; y). Si elle est vérifiée, le point est sur la droite. Sinon, non.

2. D'où ça vient : C'est le déterminant = 0 entre AM⃗ et le vecteur directeur, développé et simplifié.

3. Vecteur directeur : Si l'équation est ax + by + c = 0, alors u⃗(−b ; a) est un vecteur directeur.

4. Trouver l'équation : Vecteur directeur u⃗(α ; β) + point A → l'équation est β·x − α·y + c = 0, on trouve c avec A.

5. Lien y = mx + p : Si b ≠ 0, y = −(a/b)x − c/b. Les droites verticales n'ont pas d'équation réduite.

Erreurs fréquentes à éviter

Erreur	Correction
« 3x + 2y + 1 = 0, donc vecteur directeur (3 ; 2). »	Non ! C'est (−b ; a) = (−2 ; 3).
Oublier de vérifier avec un point connu.	Toujours remplacer par un point de la droite → on doit trouver 0.
Penser que l'équation est unique.	2x + y − 1 = 0 et 4x + 2y − 2 = 0 = même droite (on a multiplié par 2).
Se tromper dans le calcul croisé du déterminant.	det = a·b' − b·a' → 1^re coord du 1^er × 2^e coord du 2^e, moins l'inverse.

Exercices de synthèse

Exercice A — Point + vecteur directeur

(d) passe par A(−2 ; 5) de vecteur directeur u⃗(1 ; −4).

1) Équation cartésienne de (d) :

2) P(0 ; −3) est-il sur (d) ?

3) Équation réduite de (d) :

Exercice B — Deux points

A(3 ; 1) et B(−1 ; 5).

1) Équation cartésienne de (AB) :

2) C(7 ; −3) est-il aligné avec A et B ?

Exercice C — Lecture inverse

Droite (d) : 3x − 6y + 12 = 0.

1) Vecteur directeur : 2) Un point de (d) :

3) Équation réduite :

Exercice D — Droites parallèles

(d₁) : 2x − y + 3 = 0 et (d₂) : −4x + 2y − 1 = 0.

1) Vecteurs directeurs :

2) Parallèles ? Justifie :

DESMOS — Bac à sable : vérifie TOUS tes exercices de synthèseINTERACTIF

Graphique vierge. Tape tes équations, place tes points, vérifie tout. Clique sur « + » pour ajouter des expressions.

Tu maîtrises les 8 étapes et les exercices de synthèse ? Bravo, le sujet est acquis.