Fiche — Équations différentielles · Mathématiques, Terminale

Objectifs / Attendus du programme :

Résoudre l'équation différentielle y′ = ay (a réel)
Résoudre l'équation différentielle y′ = ay + b (a, b réels, a ≠ 0)
Déterminer la solution vérifiant une condition initiale
Connaître l'allure des courbes solutions
Trouver la solution particulière constante de y′ = ay + b

I. Notion d'équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui fait intervenir cette fonction et sa dérivée. On note l'inconnue y et sa dérivée y′.

Exemple :

L'équation y′ = 3y − 5 est une équation différentielle. Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les fonctions f dérivables sur ℝ telles que pour tout x ∈ ℝ : f′(x) = 3f(x) − 5.

Solution : On appelle solution d'une équation différentielle sur un intervalle I toute fonction dérivable sur I vérifiant l'égalité pour tout x de I.

II. Équation différentielle y′ = ay

Théorème fondamental

Les solutions de l'équation différentielle y′ = ay (a ∈ ℝ) sont les fonctions définies sur ℝ par :
f(x) = Ce^ax où C ∈ ℝ

Méthode — Résoudre y′ = ay :

Mettre l'équation sous la forme y′ = ay (isoler y′ d'un côté, avec coefficient 1)
Identifier la valeur de a
Écrire la solution générale : f(x) = Ce^ax, C ∈ ℝ

Exemple 1 :

Résoudre y′ − 2y = 0.
On réécrit : y′ = 2y. Ici a = 2.
Les solutions sont : f(x) = Ce^2x, C ∈ ℝ.

Exemple 2 :

Résoudre 3y′ + 6y = 0.
On divise par 3 : y′ + 2y = 0, soit y′ = −2y. Ici a = −2.
Les solutions sont : f(x) = Ce^−2x, C ∈ ℝ.

⚠ Erreurs fréquentes :

• Oublier de ramener le coefficient de y′ à 1 avant d'identifier a.
• Confondre le signe : dans y′ + 5y = 0, on a y′ = −5y donc a = −5 (pas +5).
• Oublier que C = 0 est autorisé (la fonction nulle est toujours solution).

III. Équation différentielle y′ = ay + b

Solution particulière constante

Propriété : Si a ≠ 0, l'équation y′ = ay + b admet une unique solution constante : y₀ = −b/a.
Vérification : si y est constante, y′ = 0, donc 0 = ay₀ + b, d'où y₀ = −b/a.

Théorème de résolution

Les solutions de l'équation différentielle y′ = ay + b (a ≠ 0, b ∈ ℝ) sont les fonctions :
f(x) = Ce^ax − b/a où C ∈ ℝ

Méthode — Résoudre y′ = ay + b :

Mettre l'équation sous la forme standard y′ = ay + b
Identifier a et b
Calculer la solution particulière constante : y₀ = −b/a
Écrire la solution générale : f(x) = Ce^ax + y₀ = Ce^ax − b/a

Exemple :

Résoudre y′ = 3y − 6.
Ici a = 3, b = −6.
Solution constante : y₀ = −(−6)/3 = 2.
Solutions : f(x) = Ce^3x + 2, C ∈ ℝ.

IV. Condition initiale — Problème de Cauchy

Méthode — Déterminer C avec une condition initiale :

Écrire la solution générale : f(x) = Ce^ax − b/a
Remplacer x par x₀ et f(x₀) par y₀
Résoudre l'équation en C : y₀ = Ce^ax₀ − b/a, donc C = (y₀ + b/a) · e^−ax₀
Reporter la valeur de C dans la solution générale

Exemple :

Résoudre y′ = −2y + 4 avec f(0) = 5.
• a = −2, b = 4. Solution constante : y₀ = −4/(−2) = 2.
• Solution générale : f(x) = Ce^−2x + 2.
• Condition : f(0) = C · 1 + 2 = 5, donc C = 3.
• Solution : f(x) = 3e^−2x + 2.

V. Allure des courbes solutions

Cas a > 0

Ce^ax → +∞ ou −∞ selon le signe de C quand x → +∞.

Les courbes s'éloignent de l'asymptote y = −b/a.

Croissance exponentielle (si C > 0).

Cas a < 0

Ce^ax → 0 quand x → +∞.

Les courbes se rapprochent de l'asymptote y = −b/a.

Décroissance exponentielle vers −b/a.

Asymptote : Pour y′ = ay + b avec a < 0, la droite y = −b/a est asymptote horizontale en +∞ pour toute solution.

VI. Équations à réécrire

Méthode — Réécriture sous forme canonique :

Certaines équations ne sont pas directement sous la forme y′ = ay + b. Il faut les y ramener.

Isoler y′ (coefficient 1 devant y′)
Regrouper les termes en y d'un côté
Identifier a et b

Exemple :

Résoudre 2y′ + y = 3.
On divise par 2 : y′ + y/2 = 3/2, soit y′ = −y/2 + 3/2.
Ici a = −1/2, b = 3/2. Solution constante : −(3/2)/(−1/2) = 3.
Solutions : f(x) = Ce^−x/2 + 3, C ∈ ℝ.

À RETENIR

Équation	Solutions sur ℝ
y′ = ay	f(x) = Ce^ax, C ∈ ℝ
y′ = ay + b (a ≠ 0)	f(x) = Ce^ax − b/a, C ∈ ℝ
Solution constante de y′ = ay + b	y₀ = −b/a
Unicité (condition initiale)	∃! solution telle que f(x₀) = y₀

⚠ Pièges classiques au bac :

• Ne pas oublier la solution particulière constante dans y′ = ay + b (le « −b/a » à la fin).
• Bien vérifier le signe de a après réécriture (attention aux divisions par un négatif).
• Condition initiale : remplacer x par x₀ dans e^ax, pas seulement dans Ce^ax.
• Pour l'allure : si a < 0, les solutions convergent vers −b/a ; si a > 0, elles divergent.