Fonction exponentielle
Fiche de révision — Mathématiques Terminale (Spécialité) | Programme officiel EN
I. Définition et premières propriétés
Définition (admise) : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée exp ou ex.
Conséquences immédiates :
- Pour tout x ∈ ℝ : exp(x) > 0 (la fonction ne s'annule jamais)
- exp(0) = 1 ; exp(1) = e ≈ 2,718
- (ex)′ = ex
II. Propriétés algébriques
Pour tous réels a et b :
ea + b = ea · eb
ea − b = ea / eb
(ea)n = ena
e−a = 1 / ea
Exemples : e3 · e−1 = e2 ; (e2)3 = e6 ; e5 / e2 = e3 ; ex+1 = e · ex
ea + b ≠ ea + eb ;
(ea + eb)² ≠ e2a + e2b ;
Ne pas confondre exp(a·b) et exp(a) · exp(b).
III. Résolution d'équations et inéquations
Puisque exp est une bijection strictement croissante de ℝ sur ]0 ; +∞[ :
ea = eb ⟺ a = b
ea < eb ⟺ a < b
Équation :
e2x−1 = e3
⟺ 2x − 1 = 3 ⟺ x = 2
Inéquation :
ex² < e2x
⟺ x² < 2x ⟺ x² − 2x < 0
⟺ x(x−2) < 0 ⟺ x ∈ ]0 ; 2[
Si l'équation est eu(x) = k avec k ≤ 0 : aucune solution (exp > 0 toujours).
IV. Dérivée — Règle de composition
Si u est dérivable sur ℝ : (eu(x))′ = u′(x) · eu(x)
f(x) = e3x
f′(x) = 3e3x
f(x) = ex²
f′(x) = 2xex²
f(x) = e−x
f′(x) = −e−x
Méthode — Étude de fonction avec ex :
1. Calculer f′(x) = u′(x) · eu(x)
2. Puisque eu(x) > 0 toujours, le signe de f′ est celui de u′(x) seul.
3. En déduire le tableau de variations et les extrema.
Exemple complet : f(x) = (x − 1)ex
f′(x) = ex + (x−1)ex = ex(1 + x − 1) = xex
Signe de f′ : signe de x. → minimum en x = 0 : f(0) = −1.
V. Limites et croissances comparées
Limites fondamentales
| x → −∞ | x → +∞ |
|---|
| ex → 0 | ex → +∞ |
| e−x → +∞ | e−x → 0 |
limx→0 (ex − 1)/x = 1
Croissances comparées
limx→+∞ ex/xn = +∞
limx→−∞ xnex = 0
L'exponentielle l'emporte sur toute puissance en +∞.
En −∞, xnex → 0 quelle que soit la puissance n.
VI. Tableau de variations et courbe
| x |
−∞ |
|
0 |
|
+∞ |
| ex′ = ex |
|
+ |
|
| ex |
0 |
↗ |
1 |
↗ |
+∞ |
• Strictement croissante sur ℝ
• Courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e)
• Asymptote horizontale en −∞ : axe des abscisses
VII. Primitives
∫ ex dx = ex + C
∫ eax dx = (1/a)eax + C
∫ u′eu dx = eu + C
Exemple : ∫ 2xex² dx = ex² + C (car (x²)′ = 2x)
📌 À retenir absolument
- exp′ = exp ; exp(0) = 1
- ea+b = ea·eb ; ena = (ea)n
- ea = eb ⟺ a = b
- ea < eb ⟺ a < b
- (eu)′ = u′eu
- exp > 0 toujours → ex = k avec k ≤ 0 : sans solution
- Signe de (u·ev)′ = signe du facteur sans e
- limx→−∞ ex = 0 ; limx→+∞ ex = +∞
- limx→+∞ ex/xn = +∞
- limx→−∞ xnex = 0
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