Fiche — Fonctions de référence — Mathématiques · Mathématiques, 2nde

f(x) = x²

Fonction carré

𝑓 : ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝑥²

Ensemble de définition :

D_f = ℝ

Parité : Fonction PAIRE

f(−x) = (−x)² = x² = f(x)

Symétrie : axe des ordonnées (axe Oy)

Courbe : parabole, sommet en O(0 ; 0)

Signe : x² ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ

g(x) = x³

Fonction cube

𝑔 : ℝ → ℝ
𝑥 ↦ 𝑥³

Ensemble de définition :

D_g = ℝ

Parité : Fonction IMPAIRE

g(−x) = (−x)³ = −x³ = −g(x)

Symétrie : centre O (origine du repère)

Courbe : forme de « S », passe par O

Signe : x³ a le même signe que x

h(x) = 1/x

Fonction inverse

ℎ : ℝ\{0} → ℝ
𝑥 ↦ 1/𝑥

Ensemble de définition :

D_h = ℝ\{0}

= ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

Parité : Fonction IMPAIRE

h(−x) = 1/(−x) = −1/x = −h(x)

Symétrie : centre O (origine du repère)

Courbe : hyperbole (deux branches)

k(x) = √x

Fonction racine carrée

𝑘 : [0;+∞[ → ℝ
𝑥 ↦ √𝑥

Ensemble de définition :

D_k = [0 ; +∞[

Parité : NI PAIRE NI IMPAIRE

D_k n'est pas symétrique par rapport à 0

Courbe : demi-parabole couchée

Lien avec f : (√x)² = x et √(x²) = |x|

II. Tableaux de variation

Fonction carré f(x) = x²

x	−∞		0		+∞
f(x)	+∞	↘	0	↗	+∞

→ Décroissante sur ]−∞ ; 0] · Croissante sur [0 ; +∞[

→ Minimum : f(0) = 0

Fonction cube g(x) = x³

x	−∞		+∞
g(x)	−∞	↗	+∞

→ Strictement croissante sur ℝ (toujours !)

→ Pas de maximum ni de minimum

Fonction inverse h(x) = 1/x

x	−∞		0		+∞
h(x)	0⁻	↘	\|\|	↘	0⁺

→ Décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[

→ 0 est exclu (valeur interdite)

Fonction racine carrée k(x) = √x

x	0		+∞
k(x)	0	↗	+∞

→ Strictement croissante sur [0 ; +∞[

→ Minimum : k(0) = 0

III. Courbes représentatives

IV. Images et antécédents — Méthode

Calculer une image :

On remplace x par la valeur donnée dans la formule.

Exemple : image de −3 par f(x) = x²

→ f(−3) = (−3)² = 9

Exemple : image de 8 par g(x) = x³

→ g(8) = 8³ = 512

Image de 4 par h(x) = 1/x : h(4) = 1/4 = 0,25

Image de 9 par k(x) = √x : k(9) = √9 = 3

Trouver un antécédent :

On pose f(x) = valeur et on résout l'équation.

Ex : antécédents de 16 par f(x) = x²

→ x² = 16 → x = √16 = 4 ou x = −4

Ex : antécédents de 27 par g(x) = x³

→ x³ = 27 → x = 3 (car 3³ = 27)

Pour f(x) = x², l'équation x² = a (a > 0) a deux solutions : √a et −√a !

V. Équations et inéquations classiques

Équations avec x²

Équation	Solutions dans ℝ
x² = a, a > 0	x = √a ou x = −√a
x² = 0	x = 0 (unique solution)
x² = a, a < 0	Pas de solution dans ℝ

Inéquations avec x²

Inéquation	Solutions
x² ≤ a (a > 0)	x ∈ [−√a ; √a]
x² ≥ a (a > 0)	x ∈ ]−∞ ; −√a] ∪ [√a ; +∞[

Avec la fonction inverse

1/x = 2 → x = 1/2 | 1/x = −5 → x = −1/5

Ne jamais oublier que x ≠ 0 pour la fonction inverse !

Avec la racine carrée

√x = 4 → x = 16 (car on élève au carré)

√(x²) = |x|, pas x ! Exemple : √(−3)² = √9 = 3 ≠ −3

Comparaisons utiles (sur ℝ⁺, x ≤ 1)

Si 0 ≤ x ≤ 1 : x³ ≤ x² ≤ x ≤ √x

Si x ≥ 1 : √x ≤ x ≤ x² ≤ x³

→ Toutes les courbes se croisent en (0;0) et (1;1)

Fonction	Formule	Domaine Df	Variations	Parité	Courbe
Carré	x²	ℝ	↘ sur ]−∞;0] · ↗ sur [0;+∞[	Paire	Parabole
Cube	x³	ℝ	↗ sur ℝ (strictement croissante)	Impaire	S
Inverse	1/x	ℝ\{0}	↘ sur ]−∞;0[ et ↘ sur ]0;+∞[	Impaire	Hyperbole
Racine √	√x	[0;+∞[	↗ sur [0;+∞[ (strictement croissante)	Ni l'un ni l'autre	½ parabole

📐 Fonctions de référence — Mathématiques Seconde

I. Les quatre fonctions — Récapitulatif général

II. Tableaux de variation

Fonction carré f(x) = x²

Fonction cube g(x) = x³

Fonction inverse h(x) = 1/x

Fonction racine carrée k(x) = √x

III. Courbes représentatives

IV. Images et antécédents — Méthode

V. Équations et inéquations classiques

Équations avec x²

Inéquations avec x²

Avec la fonction inverse

Avec la racine carrée

Comparaisons utiles (sur ℝ⁺, x ≤ 1)

VI. Erreurs fréquentes à éviter