Chapitre 7 – Fractions : inverse, multiplication et division

Fiche de révision – Mathématiques – 4ème

Ce que je dois savoir : trouver l'inverse d'un nombre non nul ; multiplier deux fractions ; diviser deux fractions.

Ce que je dois savoir faire : simplifier un résultat fractionnaire ; enchaîner des opérations ; résoudre un problème avec des fractions.

I. L'inverse d'un nombre

Définitions

Définition 1.  L'inverse d'un nombre non nul a est le nombre 1a, car a × 1a = 1.

Définition 2.  L'inverse de la fraction ab est la fraction ba (on échange numérateur et dénominateur).

Remarque : 0 n'a pas d'inverse (on ne peut pas diviser par 0).

Exemples :

Inverse de 5 = 15  car 5 × 15 = 1

Inverse de 23 = 32  car 23 × 32 = 1

Inverse de −74 = 4−7 = −47

⚠ Attention : inverse ≠ opposé

Nombre Opposé (somme = 0) Inverse (produit = 1)
7 −7 17
35 −35 53
−29 29 −92

II. Multiplication de fractions

Propriété

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

ab × cd = a × cb × d    (b ≠ 0 et d ≠ 0)

Méthode – Calculer un produit de fractions

  1. Écrire les deux fractions côte à côte avec le signe ×.
  2. Simplifier avant de calculer si possible (diviser un numérateur et un dénominateur par le même nombre).
  3. Multiplier numérateur × numérateur et dénominateur × dénominateur.
  4. Vérifier que la fraction obtenue est irréductible.

Exemples :

Exemple 1 (sans simplification) :

37 × 25 = 3 × 27 × 5 = 635

Exemple 2 (avec simplification) :

94 × 815 = 3 × 21 × 5 = 65

(9 et 15 simplifiés par 3 ; 4 et 8 simplifiés par 4)

Exemple 3 (avec nombres négatifs) :

−56 × 310 = −5 × 36 × 10 = −1560 = −14   (simplifié par 15)

III. Division de fractions

Propriété

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse :

ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c    (b, c, d ≠ 0)

Méthode – Calculer un quotient de fractions

  1. Transformer la division en multiplication : remplacer ÷ par × et inverser la 2ème fraction.
  2. Simplifier avant de calculer si possible.
  3. Multiplier numérateur × numérateur et dénominateur × dénominateur.
  4. Vérifier que le résultat est irréductible.

Exemples :

Exemple 1 :

34 ÷ 98 = 34 × 89 = 23

(3 et 9 par 3 ; 4 et 8 par 4)

Exemple 2 (entier ÷ fraction) :

−3 ÷ 14 = −31 × 41 = −12

Exemple 3 (nombres négatifs) :

−27 ÷ 45 = −27 × 54 = −2 × 57 × 4 = −1028 = −514   (÷ 2)

✗ Erreurs fréquentes à éviter

❌ Confondre inverse et opposé :

L'inverse de 35 n'est PAS −35 mais 53

❌ Diviser numérateur ET dénominateur :

34 ÷ 25 ≠ 3 ÷ 24 ÷ 5  → on multiplie par l'inverse !

❌ Inverser les deux fractions :

34 ÷ 25 ≠ 43 × 52  → on inverse UNIQUEMENT la 2ème.

❌ Oublier de simplifier :

Le résultat doit être une fraction irréductible.

📌 À RETENIR

INVERSE

Inverse de ab = ba

(a et b non nuls)

MULTIPLICATION

ab × cd = a×cb×d

DIVISION

ab ÷ cd = ab × dc