Fiche Méthode — Géométrie dans l'espace
Ce dont tu as besoin pour finir l'exercice 2 (questions 1c → 3b)
Méthode 1 — Montrer qu'un vecteur est normal à un plan
→ Question 1c
Rappel : Un vecteur n est normal au plan (P) s'il est perpendiculaire à tous les vecteurs de ce plan.
Méthode pas à pas
Pour montrer que n est normal au plan (P) défini par 3 points (ici B, G, I) :
- Trouver deux vecteurs du plan (P) qui ne sont pas colinéaires.
→ Ici : BI et BG (ils partent tous les deux de B, qui est dans le plan).
- Vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires (= pas proportionnels).
→ Un coup d'œil suffit : BI(−½ ; 0 ; 1) et BG(0 ; 1 ; 1) ne sont clairement pas proportionnels.
- Calculer les deux produits scalaires :
• n · BI = ?
• n · BG = ?
- Si les deux valent 0 → n est orthogonal aux deux → n est normal au plan.
Produit scalaire en coordonnées :
u(x₁ ; y₁ ; z₁) · v(x₂ ; y₂ ; z₂) = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
Application à l'exercice :
On a DJ(2 ; −1 ; 1), BI(−½ ; 0 ; 1), BG(0 ; 1 ; 1).
• DJ · BI = 2×(−½) + (−1)×0 + 1×1 = −1 + 0 + 1 = 0 ✓
• DJ · BG = 2×0 + (−1)×1 + 1×1 = 0 − 1 + 1 = 0 ✓
Donc DJ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI), donc DJ est normal au plan (BGI).
Il ne suffit pas de vérifier un seul produit scalaire. Il en faut deux, avec deux vecteurs non colinéaires du plan.
Méthode 2 — Trouver l'équation cartésienne d'un plan
→ Question 1d
Méthode pas à pas
- Tu connais un vecteur normal n(a ; b ; c) au plan → l'équation est de la forme :
ax + by + cz + d = 0
→ Les coefficients devant x, y, z sont directement les coordonnées du vecteur normal !
- Pour trouver d : tu prends un point du plan et tu remplaces x, y, z par ses coordonnées.
Application à l'exercice :
n = DJ(2 ; −1 ; 1) → l'équation est : 2x − y + z + d = 0
Le point B(1 ; 0 ; 0) est dans le plan (BGI). On remplace :
2×1 − 0 + 0 + d = 0 → 2 + d = 0 → d = −2
Équation du plan : 2x − y + z − 2 = 0
Tu peux vérifier ton résultat en testant les autres points du plan. Par exemple G(1;1;1) : 2(1) − 1 + 1 − 2 = 0 ✓
Méthode 3 — Écrire la représentation paramétrique d'une droite
→ Question 2a
Ce dont tu as besoin
Pour écrire la représentation paramétrique d'une droite, il faut :
- Un point de la droite : appelons-le P(x₀ ; y₀ ; z₀)
- Un vecteur directeur de la droite : u(a ; b ; c)
x = x₀ + a·t
y = y₀ + b·t , t ∈ ℝ
z = z₀ + c·t
Idée clé : La droite d est orthogonale au plan (BGI). Un vecteur normal au plan est aussi un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire à ce plan.
Application à l'exercice :
La droite d passe par F(1 ; 0 ; 1) et est orthogonale au plan (BGI).
Vecteur directeur = DJ(2 ; −1 ; 1) (c'est le vecteur normal au plan).
Donc :
x = 1 + 2t
y = −t , t ∈ ℝ
z = 1 + t
Méthode 4 — Trouver le point d'intersection droite / plan
→ Question 2b
Méthode pas à pas
- Montrer que le point L est sur la droite : chercher un t qui donne les coordonnées de L dans la représentation paramétrique.
- Montrer que le point L est dans le plan : remplacer les coordonnées de L dans l'équation du plan et vérifier qu'on obtient 0.
- S'il est sur les deux → c'est le point d'intersection.
Application à l'exercice : L(⅔ ; ⅙ ; ⅚)
L ∈ d ? On cherche t :
De y = −t et y_L = ⅙ → t = −⅙.
Vérification : x = 1 + 2(−⅙) = 1 − ⅓ = ⅔ ✓ z = 1 + (−⅙) = ⅚ ✓
L ∈ plan (BGI) ?
2(⅔) − ⅙ + ⅚ − 2 = 4/3 − 1/6 + 5/6 − 2 = 4/3 + 4/6 − 2 = 4/3 + 2/3 − 2 = 2 − 2 = 0 ✓
Méthode 5 — Volume d'une pyramide et aire d'un triangle
→ Questions 3a et 3b
Volume d'une pyramide = ⅓ × Aire de la base × hauteur
Question 3a : calculer le volume
L'astuce est de bien choisir la base et la hauteur. Ici on prend :
- Base = triangle rectangle FBG
- Hauteur = IF (la distance de I à la base FBG)
Calcul :
• Le triangle FBG est rectangle en F. Ses côtés : FB = 1, FG = 1.
→ Aire(FBG) = FB × FG / 2 = 1 × 1 / 2 = ½
• I est le milieu de [EF], donc IF = ½.
→ V = ⅓ × ½ × ½ = 1/12
Pour vérifier que le triangle FBG est rectangle, calcule FB · FG. Si c'est 0, c'est rectangle en F.
FB(0;0;−1), FG(0;1;0) → FB·FG = 0 ✓
Question 3b : en déduire l'aire du triangle BGI
On utilise la même pyramide FBGI, mais avec un autre choix de base :
- Base = triangle BGI (c'est l'aire qu'on cherche, on l'appelle A)
- Hauteur = distance de F au plan (BGI) = FL
Étapes
- Calculer FL (distance F au plan) avec la formule de distance entre deux points :
FL = √[(x_L − x_F)² + (y_L − y_F)² + (z_L − z_F)²]
- Écrire : V = ⅓ × A × FL
- On connaît V = 1/12 et FL → résoudre pour trouver A.
Calcul :
FL² = (⅔ − 1)² + (⅙ − 0)² + (⅚ − 1)² = (−⅓)² + (⅙)² + (−⅙)² = 1/9 + 1/36 + 1/36 = 4/36 + 1/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6
Donc FL = 1/√6
On pose : 1/12 = ⅓ × (1/√6) × A
→ A = (1/12) × 3 × √6 = 3√6/12 = √6/4
Pourquoi FL est la hauteur ? Parce que L est le projeté orthogonal de F sur le plan (BGI) (c'est l'intersection de la perpendiculaire au plan passant par F avec le plan). La distance d'un point à un plan, c'est exactement ça.
Résumé : ce qu'il faut retenir
1. Vecteur normal au plan → produit scalaire nul avec 2 vecteurs non colinéaires du plan.
2. Équation du plan : les coordonnées du vecteur normal donnent les coefficients. On trouve d avec un point.
3. Droite ⊥ plan → son vecteur directeur = le vecteur normal du plan.
4. Intersection droite/plan → vérifier que le point est sur les deux.
5. Volume de pyramide = ⅓ × Base × h. On peut utiliser deux choix de base différents pour la même pyramide.