Calcul intégral

Fiche de révision — Terminale, spécialité mathématiques

I. Définition et interprétation graphique

Définition. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] avec a < b. L'intégrale de f entre a et b est notée :

∫_a^b f(x) dx

Les réels a et b sont les bornes. La variable x est muette : on peut la remplacer par t, u, etc.

Interprétation comme aire

Si f est continue et positive sur [a ; b] alors ∫_a^b f(x) dx est l'aire, en unités d'aire (u.a.), du domaine compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

Si f est continue et négative, ∫_a^b f(x) dx est l'opposé de cette aire (l'intégrale est ≤ 0).

Dans le cas général : l'intégrale est la somme algébrique des aires (positive au-dessus de l'axe, négative en-dessous).

II. Propriétés de l'intégrale

Soit f et g continues sur un intervalle I contenant a, b, c, et λ ∈ ℝ.

Propriété	Énoncé
Bornes égales	∫_a^a f(x) dx = 0
Inversion	∫_b^a f(x) dx = − ∫_a^b f(x) dx
Linéarité	∫_a^b (f + λg)(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + λ ∫_a^b g(x) dx
Chasles	∫_a^c f(x) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx
Positivité	si f ≥ 0 sur [a;b] et a ≤ b, alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0
Comparaison	si f ≤ g sur [a;b] et a ≤ b, alors ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

III. Primitives

Définition. Soit f continue sur un intervalle I. Une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.

Propriété. Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions x ↦ F(x) + k avec k ∈ ℝ.
Unicité conditionnelle. Pour tout x₀ ∈ I et tout y₀ ∈ ℝ, il existe une unique primitive F telle que F(x₀) = y₀.

Théorème fondamental (lien intégrale ↔ primitive)

Si F est une primitive de f sur [a;b], alors ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

IV. Primitives usuelles

f(x)	Primitive F(x)	Sur
xⁿ (n ∈ ℕ)	xⁿ⁺¹n+1	ℝ
1x	ln(x)	]0 ; +∞[
1xⁿ (n ≥ 2)	−1(n−1)xⁿ⁻¹	]0 ; +∞[ ou ]−∞ ; 0[
12√x	√x	]0 ; +∞[
e^x	e^x	ℝ
e^ax+b	1a e^ax+b (a ≠ 0)	ℝ
cos(x)	sin(x)	ℝ
sin(x)	−cos(x)	ℝ
cos(ax+b)	1a sin(ax+b)	ℝ

Primitives par formes composées

Forme de f	Primitive
u'uⁿ (n ∈ ℕ)	uⁿ⁺¹n+1
u'u (u > 0)	ln(u)
u' e^u	e^u
u'2√u (u > 0)	√u

V. Intégration par parties (IPP)

Théorème. Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a;b], dont les dérivées u' et v' sont continues sur [a;b]. Alors :

∫_a^b u'(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b − ∫_a^b u(x)v'(x) dx

Origine. Conséquence directe de (uv)' = u'v + uv' intégrée entre a et b.

Méthode — quand utiliser une IPP ?

L'intégrande est un produit dont aucune primitive directe n'est connue. On choisit u' et v de manière à ce que ∫ u v' soit plus simple que ∫ u'v.

Règles de choix usuelles :

Si l'intégrande contient ln(x) : prendre v = ln(x) (que l'on dérive : v' = 1/x).
Si l'intégrande est P(x) · e^ax+b avec P polynôme : prendre v = P(x) (que l'on dérive pour faire baisser le degré) et u' = e^ax+b.
Si l'intégrande est P(x) · cos/sin : idem, v = P(x).
Si l'intégrande est e^x · sin/cos : voir « IPP en boucle » ci-dessous.

VI. Méthode : IPP en boucle (cas e^x sin / e^x cos)

Pour les intégrales du type ∫ e^x sin(x) dx ou ∫ e^x cos(x) dx, aucun choix d'IPP ne fait disparaître le produit. On obtient une relation entre les deux intégrales qui se résout comme un système.

Procédure

Poser I = ∫ e^x sin(x) dx et J = ∫ e^x cos(x) dx.
Faire une IPP sur I en posant u' = e^x, v = sin(x). Obtenir une relation faisant intervenir J.
Faire une seconde IPP sur I avec le choix opposé : u' = sin(x), v = e^x. Obtenir une autre relation faisant intervenir J.
Résoudre le système de deux équations à deux inconnues.

Variante : on peut aussi faire une IPP sur I puis une IPP sur l'intégrale J qui apparaît, ce qui donne une équation où I revient (« I = ... + kI »), équation que l'on résout.

VII. Aire entre deux courbes

Soient f et g continues sur [a;b] avec f ≥ g sur [a;b]. L'aire, en u.a., du domaine compris entre C_f, C_g et les droites x = a, x = b est :

A = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx

Attention. Toujours justifier quelle courbe est au-dessus avant d'écrire l'intégrale. Si les courbes se croisent, utiliser Chasles pour découper l'intervalle.

VIII. Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction f continue sur [a;b] (avec a < b) est :

m = 1b − a ∫_a^b f(x) dx

Interprétation : m est la hauteur du rectangle de base [a;b] qui a même aire que le domaine sous C_f.

IX. Application — résolution de l'exercice 10

Soit I = ∫₀^π/2 e^x sin(x) dx et J = ∫₀^π/2 e^x cos(x) dx.

1. Établir I = 1 + J et I = e^π/2 − J

Première IPP sur I : on pose u'(x) = sin(x) et v(x) = e^x, donc u(x) = −cos(x) et v'(x) = e^x. Les fonctions u et v sont dérivables, dérivées continues sur [0 ; π/2].

I = [−cos(x) e^x]₀^π/2 − ∫₀^π/2 (−cos(x)) e^x dx
= (−cos(π/2) e^π/2) − (−cos(0) · 1) + ∫₀^π/2 e^x cos(x) dx
= (0) − (−1) + J = 1 + J.

Seconde IPP sur I : on pose u'(x) = e^x et v(x) = sin(x), donc u(x) = e^x et v'(x) = cos(x).

I = [e^x sin(x)]₀^π/2 − ∫₀^π/2 e^x cos(x) dx
= e^π/2 sin(π/2) − e⁰ sin(0) − J
= e^π/2 · 1 − 0 − J = e^π/2 − J.

2. En déduire I = (1 + e^π/2) / 2

En additionnant les deux relations : I + I = (1 + J) + (e^π/2 − J) = 1 + e^π/2, donc :

I = 1 + e^π/22

3. Aire du domaine entre C_f et C_g sur [0 ; π/2]

Avec f(x) = e^x sin(x) et g(x) = x. Position des courbes : sur [0 ; π/2], on observe sur le graphique que C_f est au-dessus de C_g (à justifier rigoureusement par étude du signe de f − g ou par lecture graphique selon ce qui est admis dans l'énoncé). L'aire vaut donc :

A = ∫₀^π/2 [f(x) − g(x)] dx = ∫₀^π/2 e^x sin(x) dx − ∫₀^π/2 x dx = I − [x²2]₀^π/2

A = 1 + e^π/22 − π²8 u.a.

À retenir / erreurs fréquentes

Une intégrale n'est pas nécessairement une aire : seulement quand la fonction est positive.
L'unité d'intégrale dépend du repère : unité d'aire, pas cm² (sauf si le repère est précisé).
IPP : penser à justifier la régularité de u et v (dérivables, dérivées continues).
IPP en boucle : ne pas oublier qu'il faut faire deux IPP avec des choix opposés pour obtenir un système.
Aire entre deux courbes : justifier la position avant d'écrire f − g.
Bornes : ne pas oublier le crochet [F(x)]_a^b = F(b) − F(a) (bien dans cet ordre).
Linéarité : ∫(fg) ≠ ∫f · ∫g. Idem ∫(f/g) ≠ ∫f / ∫g.