Les puissances — Introduction
Mathématiques — Classe de 4ème — Fiche de leçon
Objectifs de la leçon
- Comprendre ce qu'est une puissance et savoir l'écrire.
- Reconnaître la base et l'exposant.
- Calculer une puissance d'un nombre entier.
- Déterminer le signe d'une puissance d'un nombre relatif.
I. Définition d'une puissance
Soit a un nombre et n un nombre entier supérieur ou égal à 1.
La
puissance n-ième de a, notée
an, est le produit de
n facteurs tous égaux à a :
an = a × a × a × ... × a (n facteurs)
Vocabulaire :
- a s'appelle la base.
- n s'appelle l'exposant.
- an se lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Exemples :
• 53 = 5 × 5 × 5 = 125 (base : 5, exposant : 3)
• 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 (base : 2, exposant : 4)
• 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
⚠ Attention : an n'est pas égal à a × n.
Par exemple, 23 = 8, et non 2 × 3 = 6.
II. Cas particuliers et lectures à connaître
| Notation | Lecture | Exemple |
|---|
| a1 | a | 71 = 7 |
| a2 | a au carré | 62 = 36 |
| a3 | a au cube | 43 = 64 |
| 1n | toujours égal à 1 | 110 = 1 |
| 0n | toujours égal à 0 (pour n ≥ 1) | 05 = 0 |
III. Signe d'une puissance d'un nombre relatif
Le rôle des parenthèses
Les parenthèses changent complètement le résultat :
• (−3)2 = (−3) × (−3) = +9 → la base est −3.
• −32 = −(3 × 3) = −9 → la base est 3, le signe « − » s'applique au résultat.
Règle du signe
Pour un nombre négatif élevé à la puissance n :
- Si n est pair : (−a)n est positif.
- Si n est impair : (−a)n est négatif.
Exemples :
• (−2)4 = 16 (4 est pair → résultat positif)
• (−2)5 = −32 (5 est impair → résultat négatif)
• (−1)100 = 1 • (−1)101 = −1
IV. Méthode pour calculer une puissance
Étape 1. Repérer la base et l'exposant.
Étape 2. Écrire le produit avec autant de facteurs que l'exposant.
Étape 3. Si la base est négative, déterminer le signe (parité de l'exposant).
Étape 4. Calculer le produit.
Exemple appliqué : calculer (−5)3.
1. Base : −5. Exposant : 3.
2. (−5)3 = (−5) × (−5) × (−5).
3. Exposant impair → résultat négatif.
4. (−5) × (−5) × (−5) = 25 × (−5) = −125.
À retenir
an = a × a × ... × a (n facteurs)
- a1 = a | a2 : carré | a3 : cube
- (−a)pair est positif | (−a)impair est négatif
- Toujours faire attention aux parenthèses : −32 ≠ (−3)2
V. Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre an et a × n. (23 = 8, pas 6.)
- Oublier les parenthèses autour d'un nombre négatif.
- Se tromper de signe quand l'exposant est pair ou impair.
- Confondre la base et l'exposant : dans 72, on multiplie le 7 deux fois, pas le 2 sept fois.