Quadrilatères particuliers

Fiche de révision — Mathématiques 5ème — Vidyalaya

Ce que je dois savoir faire

• Connaître les définitions du parallélogramme, du rectangle, du losange et du carré.
• Connaître les propriétés de chaque figure (côtés, angles, diagonales).
• Utiliser les propriétés directes (je sais que c'est un losange → j'en déduis ses propriétés).
• Utiliser les propriétés réciproques (je vérifie des propriétés → j'en déduis la nature de la figure).
• Construire ces figures à la règle et au compas.

I. Le parallélogramme — La figure de base

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Propriétés (ce que je peux en déduire) :
Si ABCD est un parallélogramme, alors :
• Les côtés opposés sont de même longueur : AB = DC et AD = BC.
• Les angles opposés sont égaux.
• Les diagonales se coupent en leur milieu (point O).
A B C D O // //
Pour reconnaître un parallélogramme, il suffit de vérifier une seule de ces conditions : côtés opposés parallèles, côtés opposés de même longueur, diagonales qui se coupent en leur milieu, ou un couple de côtés à la fois parallèles et de même longueur.

II. Le rectangle

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Ce qu'il faut retenir :
• Un rectangle est un parallélogramme particulier → il a toutes les propriétés du parallélogramme.
• Propriété en plus : ses diagonales sont de même longueur (AC = BD).
A B C D O
Comment démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle ?
  1. Montrer que c'est un parallélogramme (d'abord !).
  2. Puis montrer une des conditions : — il a un angle droit, — ses diagonales sont de même longueur.

III. Le losange

Définition : Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.
Ce qu'il faut retenir :
• Un losange est un parallélogramme particulier → il a toutes les propriétés du parallélogramme.
• Propriété en plus : ses diagonales sont perpendiculaires.
A B C D O
Comment démontrer qu'un quadrilatère est un losange ?
  1. Montrer que c'est un parallélogramme (d'abord !).
  2. Puis montrer une des conditions : — il a deux côtés consécutifs de même longueur, — ses diagonales sont perpendiculaires.

IV. Le carré

Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
Ce qu'il faut retenir :
• Un carré est à la fois un rectangle ET un losange.
• Il cumule toutes les propriétés : diagonales de même longueur, perpendiculaires, qui se coupent en leur milieu.
Un carré = un rectangle dont les côtés sont tous égaux = un losange qui a un angle droit.

V. Le grand tableau récapitulatif

Parallélogramme Rectangle Losange Carré
Côtés opposés parallèles ✓✓✓✓
Côtés opposés de même longueur ✓✓✓✓
Diagonales se coupent en leur milieu ✓✓✓✓
4 angles droits ✓✓
Diagonales de même longueur ✓✓
4 côtés de même longueur ✓✓
Diagonales perpendiculaires ✓✓

VI. Méthode pas à pas : démontrer la nature d'un quadrilatère

⚠ LA RÈGLE D'OR ⚠ Pour montrer qu'un quadrilatère est un rectangle, un losange ou un carré :
Étape 1 → Montrer d'abord que c'est un parallélogramme.
Étape 2 → Ajouter la propriété supplémentaire (angle droit, côtés égaux, diagonales...).
Exemple rédigé :
« ABCD est un parallélogramme et on sait que AC = BD. Quelle est la nature de ABCD ? »

Rédaction :
On sait que ABCD est un parallélogramme.
De plus, on sait que AC = BD, donc ses diagonales sont de même longueur.
Or, un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle. ∎

VII. Erreurs fréquentes à éviter

❌ Erreur n°1 : Dire « ABCD est un rectangle car ses diagonales sont de même longueur » sans avoir d'abord montré que c'est un parallélogramme. Il existe des quadrilatères non-parallélogrammes avec des diagonales de même longueur (ex : trapèze isocèle).
❌ Erreur n°2 : Confondre propriété directe et réciproque.
— Propriété directe : « Je sais que c'est un losange → ses diagonales sont perpendiculaires. »
— Réciproque : « Ses diagonales sont perpendiculaires + c'est un parallélogramme → c'est un losange. »
❌ Erreur n°3 : Oublier que le carré est un cas particulier. Si on démontre qu'un quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, c'est un carré.

VIII. Constructions — rappels

Construire un losange ABCD de côté 4 cm et d'angle 60° :
  1. Tracer le segment [AB] = 4 cm.
  2. Avec le rapporteur, tracer un angle de 60° en A.
  3. Au compas, reporter 4 cm sur cette demi-droite → point D.
  4. Au compas : pointe en B, écartement 4 cm, tracer un arc. Pointe en D, écartement 4 cm, tracer un arc. L'intersection donne C.
  5. Relier B–C et D–C.
Construire un rectangle ABCD avec AB = 5 cm et BC = 3 cm :
  1. Tracer le segment [AB] = 5 cm.
  2. À l'équerre, tracer un angle droit en B.
  3. Reporter 3 cm sur cette perpendiculaire → point C.
  4. À l'équerre, tracer un angle droit en A. Reporter 3 cm → point D.
  5. Vérifier que DC = 5 cm.