Nombres rationnels — Multiplication, division, inverse
Fiche de révision — Classe de 4ème
Objectifs — À la fin de ce chapitre, tu dois savoir :
- Donner l'inverse d'un nombre (entier ou fraction)
- Multiplier deux fractions et simplifier le résultat
- Diviser deux fractions en utilisant l'inverse
- Simplifier une fraction avant ou après le calcul
- Enchaîner plusieurs opérations dans le bon ordre
I. Rappel : qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction ab, où a et b sont des nombres entiers relatifs et b ≠ 0.
Exemples :
35 ;
−72 ;
4 (car 4 = 41) ;
0,5 (car 0,5 = 12)
II. Simplifier une fraction
Règle : Une fraction ne change pas de valeur si on multiplie (ou si on divise) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul.
ab =
a × kb × k =
a ÷ kb ÷ k
(avec b ≠ 0 et k ≠ 0)
Méthode pour simplifier :
- Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
- Diviser les deux par ce diviseur.
- Recommencer jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun (sauf 1).
Exemple : Simplifier 2436.
On divise par 4 : 2436 = 69.
Puis par 3 : 69 = 23. (forme simplifiée)
III. L'inverse d'un nombre
Définition : L'inverse d'un nombre x non nul est le nombre qui, multiplié par x, donne 1.
L'inverse de ab est ba (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)
On échange le numérateur et le dénominateur.
Exemples :
- L'inverse de 37 est 73. Vérification : 37 × 73 = 2121 = 1 ✓
- L'inverse de 5 est 15 (car 5 = 51).
- L'inverse de −29 est 9−2 = −92.
Attention : 0 n'a pas d'inverse (on ne peut jamais diviser par 0).
IV. Multiplication de deux fractions
Règle : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
ab × cd = a × cb × d
(avec b ≠ 0 et d ≠ 0)
Astuce importante : Il vaut mieux simplifier avant de multiplier plutôt qu'après. Les calculs sont plus faciles.
Exemple sans simplification préalable :
49 × 38 = 4 × 39 × 8 = 1272 = 16
Même calcul avec simplification avant :
49 × 38 = 4 × 39 × 8
On remarque que 4 et 8 se divisent par 4 (4 ÷ 4 = 1 et 8 ÷ 4 = 2).
On remarque que 3 et 9 se divisent par 3 (3 ÷ 3 = 1 et 9 ÷ 3 = 3).
= 1 × 13 × 2 = 16
V. Division de deux fractions
Règle fondamentale : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c
(avec b, c, d ≠ 0)
Méthode pas à pas :
- On identifie le diviseur (la fraction qui est après le signe ÷).
- On écrit son inverse (on échange numérateur et dénominateur).
- On remplace ÷ par × et on calcule comme une multiplication.
- On simplifie si possible (avant ou après).
Exemple : Calculer 56 ÷ 103.
56 ÷ 103 = 56 × 310 = 5 × 36 × 10 = 1560 = 14
VI. Erreurs fréquentes à éviter
- Ne pas confondre multiplication et addition. Pour additionner, il faut le même dénominateur. Pour multiplier, non.
- Pour diviser, on inverse seulement la deuxième fraction (le diviseur), jamais la première.
- Penser à simplifier le résultat : une réponse comme 1218 n'est pas une forme finale.
- Attention aux signes : −34 × 2−5 = −6−20 = 620 = 310 (moins par moins = plus).
À retenir absolument
Inverse
inv(ab) = ba |
Multiplication
ab × cd = acbd |
Division
ab ÷ cd = ab × dc |