VECTEURS — FICHE DE RÉVISION — SECONDE
I. Définition d'un vecteur
Un
vecteur est un segment orienté, défini par
3 caractéristiques :
- direction (la droite qui le porte)
- sens (de l'origine vers l'extrémité, indiqué par la flèche)
- norme / longueur (notée ||u||)
Notations :
AB (origine A, extrémité B) ou
u (indépendant des points).
Ex. AB a pour direction la droite (AB), pour sens « de A vers B », pour norme la longueur AB.
II. Égalité de deux vecteurs — 1re règle du parallélogramme
Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont même direction, même sens et même norme. Un même vecteur peut être tracé en plusieurs endroits du plan.
AB = CD ⇔ ABDC est un parallélogramme
Attention à l'ordre des lettres : AB = CD donne ABDC (et non ABCD) parallélogramme.
Ex. Si E, F, G, H sont tels que EF = GH, alors EFHG est un parallélogramme.
III. Vecteur nul
Le vecteur nul, noté 0, vérifie : AA = BB = 0 pour tout point. Par convention, il a toutes les directions, tous les sens, et sa norme vaut 0.
Ex. u + 0 = u ; AB + BA = AA = 0.
IV. Somme de vecteurs — Relation de Chasles
Méthode graphique : on place v à l'extrémité de u, puis on relie l'origine de u à l'extrémité de v.
Relation de Chasles : AB + BC = AC
« Quand l'extrémité du premier coïncide avec l'origine du second, on simplifie. »
Les normes ne s'ajoutent pas : u + v|| ≠ ||u|| + ||v||.
Ex. Simplifier u = MA + AE + EB : u = MA + AE + EB = ME + EB = MB.
Propriétés algébriques.
- u + v = v + u (commutative)
- (u + v) + w = u + (v + w) (associative)
- u + 0 = u (élément neutre)
2e règle du parallélogramme.
AB + AD = AC ⇔ ABCD parallélogramme
Ex. Dans un parallélogramme MNPQ : MN + MQ = MP.
V. Vecteur opposé et différence
L'opposé de u ≠ 0, noté −u, a même direction, même norme, mais sens contraire.
BA = −AB ; u + (−u) = 0
Différence : on ajoute l'opposé.
u − v = u + (−v)
Ex. MA − MB = MA + BM = BM + MA = BA.
VI. Multiplication d'un vecteur par un réel
Soient u ≠ 0 et k ≠ 0. Le vecteur ku a :
- même direction que u
- sens : identique à u si k > 0, contraire si k < 0
- norme : ||ku|| = |k| × ||u||
Convention : 0 · u = 0.
Distributivité. Pour tous réels k, l et tous vecteurs u, v :
- k(u + v) = ku + kv
- (k + l)u = ku + lu
- k(l u) = (kl) u
Ex. 3(u − 2v) + (u + v) = 3u − 6v + u + v = 4u − 5v.
VII. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires ssi ils ont la même direction. Le vecteur 0 est colinéaire à tout vecteur.
u, v non nuls colinéaires ⇔ il existe k ≠ 0 tel que v = k u
Ex. Si v = −3u, alors u et v sont colinéaires (k = −3, sens contraires, ||v|| = 3 ||u||).
Parallélisme.
(AB) // (CD) ⇔ AB et CD colinéaires
Ex. Si AB = 23 CD, alors (AB) // (CD).
Alignement.
A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires
Ex. Si AC = 2 AB, alors A, B, C sont alignés (et B est le milieu de [AC]).
Mémo — formules essentielles
| Chasles | AB + BC = AC |
| Opposé | BA = −AB ; AB + BA = 0 |
| Différence (origine commune) | MA − MB = BA |
| 1re règle du parallélogramme | AB = CD ⇔ ABDC parallélogramme |
| 2e règle du parallélogramme | AB + AD = AC ⇔ ABCD parallélogramme |
| Norme du produit | ||ku|| = |k| × ||u|| |
| Colinéarité | u, v colinéaires ⇔ ∃ k, v = k u |
| Parallélisme de droites | (AB) // (CD) ⇔ AB, CD colinéaires |
| Alignement de 3 points | A, B, C alignés ⇔ AB, AC colinéaires |
| Milieu I de [AB] | AI = 12 AB ; IA + IB = 0 |