Fiche méthode avec exercice corrigé pas à pas — 3ème
À quoi sert cette fiche ? Dans un problème type brevet, on te propose plusieurs tarifs (avec ou sans abonnement) et on te demande lequel est le plus intéressant. Cette fiche te montre comment t'y prendre, question par question, sur un exemple complet.
Énoncé
Le cinéma Le Studio propose à ses spectateurs trois tarifs au choix pour la saison. On note x le nombre de séances que le spectateur regarde dans la saison (x est un entier positif).
Tarif
Description
Tarif A Plein tarif
8 € par séance, sans abonnement.
Tarif B Carte CinéSaison
Une carte à 20 € à acheter en début de saison, puis 4 € par séance.
Tarif C Forfait illimité
60 € pour la saison, donnant droit à un nombre illimité de séances.
On note PA(x), PB(x) et PC(x) le prix payé en euros pour x séances dans la saison avec respectivement les tarifs A, B et C.
Questions :
Compléter le tableau de valeurs pour x = 2, 5, 8, 12.
Exprimer PA(x), PB(x) et PC(x) en fonction de x.
Préciser la nature de chaque fonction.
Représenter les trois fonctions dans un même repère.
Lire graphiquement à partir de combien de séances le tarif B est plus avantageux que le tarif A.
Retrouver ce résultat par le calcul.
À partir de combien de séances le tarif C devient-il le plus avantageux ?
Quel tarif conseiller selon le nombre de séances envisagé ?
Avant de commencer : la méthode générale
Sur ce type de problème, l'élève doit faire 4 choses, dans cet ordre :
Traduire chaque tarif en fonction : un prix fixe + un prix par séance → c'est une fonction affine (f(x) = ax + b). Pas de prix fixe → fonction linéaire. Prix qui ne dépend pas du nombre de séances → fonction constante.
Tracer les droites : chaque fonction est représentée par une droite. Pour la tracer, il suffit de placer 2 points (par exemple x = 0 et x = 10) puis de relier.
Lire les intersections : le point où deux droites se croisent est le moment où les deux tarifs coûtent la même chose. Avant ce point, l'un est moins cher ; après, c'est l'autre.
Confirmer par le calcul : on résout l'équation PA(x) = PB(x) pour vérifier la lecture graphique.
Question 1 — Compléter un tableau de valeurs
Calculer le prix payé avec chaque tarif pour x = 2, 5, 8, 12 séances.
Comment je m'y prends
Pour chaque tarif, je traduis la phrase en calcul, puis je remplace x par la valeur demandée.
Tarif A : 8 € par séance → prix = 8 × x.
Tarif B : 20 € + 4 € par séance → prix = 20 + 4 × x.
Tarif C : 60 € peu importe le nombre de séances → prix = 60.
Rédaction
Pour x = 5 :
PA(5) = 8 × 5 = 40 €
PB(5) = 20 + 4 × 5 = 20 + 20 = 40 €
PC(5) = 60 €
(On répète le calcul pour les autres valeurs de x.)
Nombre de séances x
2
5
8
12
Tarif A : PA(x) (€)
16
40
64
96
Tarif B : PB(x) (€)
28
40
52
68
Tarif C : PC(x) (€)
60
60
60
60
Piège fréquent. Pour le tarif B, beaucoup d'élèves oublient les 20 € de la carte et écrivent seulement 4 × x. Il faut toujours ajouter le prix fixe de l'abonnement.
Question 2 — Exprimer les fonctions
Exprimer PA(x), PB(x) et PC(x) en fonction de x.
Comment je m'y prends
C'est exactement ce que j'ai déjà écrit à la question 1, mais sans remplacer x par une valeur. Je laisse x.
Rédaction
Pour x séances dans la saison :
• Tarif A : PA(x) = 8x
• Tarif B : PB(x) = 4x + 20
• Tarif C : PC(x) = 60
Question 3 — Nature de chaque fonction
Préciser la nature (linéaire, affine ou constante) de chacune des trois fonctions.
Comment je m'y prends
Je regarde la forme de l'expression :
Forme ax seul → fonction linéaire.
Forme ax + b avec b ≠ 0 → fonction affine (mais pas linéaire).
Pas de x du tout (juste un nombre) → fonction constante.
Rédaction
• PA(x) = 8x est de la forme ax avec a = 8, donc PA est une fonction linéaire.
• PB(x) = 4x + 20 est de la forme ax + b avec a = 4 et b = 20, donc PB est une fonction affine.
• PC(x) = 60 ne dépend pas de x, donc PC est une fonction constante.
Question 4 — Représenter les trois fonctions
Tracer dans un même repère les représentations graphiques des trois fonctions.
Comment je m'y prends
Chaque fonction est représentée par une droite. Pour tracer une droite, il me suffit de 2 points. Je les choisis dans le tableau de la question 1 (par exemple x = 0 et x = 10).
x = 0
x = 10
Tarif A
0
80
Tarif B
20
60
Tarif C
60
60
Je choisis pour le repère : 1 cm pour 1 séance en abscisse, 1 cm pour 10 € en ordonnée.
À noter sur le tracé. Les 3 points marqués sont les intersections : ce sont les nombres de séances pour lesquels deux tarifs coûtent exactement la même chose. Ces points partagent le graphique en zones où chaque tarif est le moins cher.
Question 5 — Lecture graphique : seuil entre A et B
Lire graphiquement à partir de combien de séances le tarif B devient plus avantageux que le tarif A.
Comment je m'y prends
Je cherche le point d'intersection entre les droites (dA) et (dB). À ce point, les deux tarifs coûtent la même chose. Avant ce point, l'un est moins cher ; après, c'est l'autre. Je regarde sur le graphique quelle droite est en dessous avant et après — la droite en dessous représente le tarif moins cher.
Rédaction
Sur le graphique, les droites (dA) et (dB) se croisent au point de coordonnées (5 ; 40) : pour 5 séances, les deux tarifs coûtent 40 €.
• Avant 5 séances, la droite (dA) est en dessous de (dB) : le tarif A est moins cher.
• Après 5 séances, la droite (dB) est en dessous de (dA) : le tarif B est moins cher.
Conclusion : à partir de 6 séances, le tarif B devient plus avantageux que le tarif A.
Piège fréquent. À 5 séances exactement, les deux tarifs coûtent la même chose (40 €). Ce n'est donc pas "à partir de 5". On dit "à partir de 6" parce qu'à 6 séances strictement, B coûte moins cher (44 €) que A (48 €).
Question 6 — Vérification par le calcul
Retrouver ce résultat par le calcul.
Comment je m'y prends
Je résous l'équation PA(x) = PB(x). La solution donne le nombre de séances pour lequel les deux tarifs coûtent pareil.
Rédaction
On résout l'équation PA(x) = PB(x) :
8x = 4x + 20
8x − 4x = 20 (je passe le 4x à gauche)
4x = 20
x = 20 ÷ 4
x = 5
Pour 5 séances, les deux tarifs coûtent la même chose. Pour vérifier qui est moins cher après, je teste avec une valeur plus grande, par exemple x = 6 :
PA(6) = 8 × 6 = 48 €
PB(6) = 4 × 6 + 20 = 24 + 20 = 44 €
Comme 44 < 48, le tarif B est bien moins cher à partir de 6 séances. Cela confirme la lecture graphique.
Question 7 — Quand le tarif C devient-il le plus avantageux ?
À partir de combien de séances le tarif C devient-il le plus avantageux ?
Comment je m'y prends
Le tarif C (60 €) est intéressant quand il coûte moins cher que les deux autres. Pour beaucoup de séances, c'est sûrement le cas. Je dois trouver à partir de quand C bat aussi B (puisque B bat déjà A après 5 séances). Donc je résous PB(x) = PC(x).
Rédaction
On résout l'équation PB(x) = PC(x) :
4x + 20 = 60
4x = 60 − 20
4x = 40
x = 10
À 10 séances, les tarifs B et C coûtent la même chose (60 €). Pour x = 11, PB(11) = 44 + 20 = 64 € alors que PC(11) = 60 €. Donc à partir de 11 séances, le tarif C devient le plus avantageux. (On lit aussi ce résultat sur le graphique : intersection au point (10 ; 60).)
Question 8 — Conclusion : quel tarif choisir ?
Quel tarif conseiller selon le nombre de séances envisagé ?
Rédaction
D'après les questions précédentes :
Pour 1 à 5 séances : le tarif A est le moins cher (ou égal à B en x = 5).
Pour 6 à 10 séances : le tarif B est le moins cher (ou égal à C en x = 10).
Pour 11 séances ou plus : le tarif C est le moins cher.
Phrase de conclusion : on conseille le tarif A à un spectateur qui va peu au cinéma (au plus 5 fois), le tarif B s'il y va régulièrement (entre 6 et 10 fois) et le tarif C s'il y va souvent (11 fois ou plus dans la saison).
Méthode à retenir pour ce type de problème
Traduire chaque tarif en fonction : prix par séance × x + prix fixe.
Identifier la nature de chaque fonction (linéaire, affine, constante).
Tracer les droites en utilisant 2 points par droite (un tableau de valeurs aide beaucoup).
Lire les points d'intersection sur le graphique.
Vérifier par le calcul en résolvant l'équation f(x) = g(x).
Tester avec une valeur après l'intersection pour savoir quel tarif est le moins cher.
Conclure par une phrase claire en français.
Astuce : "à partir de combien" signifie qu'on cherche la première valeur entière de x pour laquelle l'inégalité stricte est vérifiée. Si l'intersection est en x = 5, alors la réponse est "à partir de 6", pas de 5.