Grand Oral — Spécialités Mathématiques & SVT

0:00 → 1:15 Accroche et choix de la question

posture droite, voix posée, regard jury En septembre 2005, dans l'univers virtuel du jeu World of Warcraft, un bug informatique a déclenché ce que les épidémiologistes appellent aujourd'hui « l'incident du Corrupted Blood ». Un sort confiné à un boss s'est propagé sans contrôle, tuant des milliers de joueurs en quelques heures. Le CDC américain a contacté Blizzard pour étudier les données : les comportements de fuite, les super-propagateurs, les soignants improvisés, tout y était.

Quinze ans plus tard, en mars 2020, ce n'était plus un jeu. Et comme beaucoup d'élèves de ma génération, j'ai vécu le COVID comme un événement formateur — un confinement, un baccalauréat sous masque, et tous les soirs ces courbes sur lesquelles je ne savais pas mettre des mathématiques.

pause courte, marquer le pivot Et puis, il y a deux semaines, le 4 mai 2026, l'OMS a déclenché une alerte mondiale : un foyer d'hantavirus à bord du navire de croisière MV Hondius. Au 12 mai, l'OMS dénombrait 11 cas dont 3 décès. Une passagère française a été testée positive et hospitalisée à Bichat. Avec une létalité annoncée par les médias entre 30 et 50 %, j'ai vu, autour de moi et dans ma propre tête, ressurgir la même peur qu'en 2020.

J'ai choisi cette question parce que cette fois, contrairement à mars 2020, j'avais les outils pour réfléchir. Les équations différentielles vues en maths, et la biologie de la transmission virale vue en SVT, m'ont permis de comprendre quelque chose que je n'aurais jamais pu formaliser avant : la létalité d'un virus et son potentiel pandémique sont deux choses radicalement différentes. Et c'est précisément ce que je voudrais vous démontrer aujourd'hui.

1:15 → 1:45 Problématique et annonce du plan

articuler fort, marquer une pause Ma problématique sera donc la suivante : la létalité d'un virus suffit-elle à prédire son potentiel pandémique ?

Je vais répondre en trois temps. D'abord, je construirai pas à pas le modèle SIR à partir de la biologie de la transmission. Ensuite, j'en démontrerai mathématiquement le critère central — le seuil épidémique. Enfin, j'appliquerai ce critère à deux cas opposés : la COVID-19, où il prédit la catastrophe, et le hantavirus, où il prédit, au contraire, l'impossibilité d'une pandémie classique.

1:45 → 3:45 Construction du modèle SIR à partir de la biologie

enchaîner naturellement En SVT, on apprend qu'un agent infectieux divise la population en trois grands états biologiques. Il y a les individus susceptibles, dont le système immunitaire ne connaît pas le pathogène. Il y a les infectés, dont les cellules sont colonisées et qui peuvent contaminer. Et il y a les retirés du jeu épidémique : ceux qui ont guéri et sont immunisés grâce aux lymphocytes B et T mémoire, et malheureusement les personnes décédées.

C'est exactement l'intuition qu'ont formalisée Kermack et McKendrick en 1927 pour étudier la peste de Bombay. Ils ont écrit S(t), I(t), R(t) les effectifs de chaque compartiment, et posé que les flèches ne vont que dans un sens : S → I → R.

Pour transformer ce schéma en mathématiques, on se demande à quelle vitesse les gens changent de compartiment. Et la vitesse, en mathématiques, c'est une dérivée par rapport au temps.

Équation sur S. Le principe d'action de masse, formulé dans les années 1920, dit que le nombre de nouvelles infections par unité de temps est proportionnel à S × I — il faut un susceptible et un infecté pour qu'il y ait contamination. On note β la constante de proportionnalité, le taux de transmission :

dS/dt = −β·S·I

Équation sur R. Les rétablis augmentent à un rythme proportionnel à I, avec un coefficient γ — le taux de guérison. La quantité 1/γ représente la durée moyenne pendant laquelle un individu est contagieux.

dR/dt = γ·I

Équation sur I. Le compartiment I gagne ce que perd S et perd ce que gagne R :

dI/dt = β·S·I − γ·I

vérification, ralentir Petite vérification : si je somme mes trois dérivées, j'obtiens 0. Donc la population totale est conservée, ce qui est cohérent avec mes hypothèses. Le modèle est bien posé.

3:45 → 6:00 Démonstration du seuil épidémique

moment-clé, articuler fort, écrire au tableau si possible Je vais maintenant démontrer le résultat qui est au cœur de toute mon argumentation. C'est le théorème du seuil épidémique.

Je reprends mon équation sur I et je factorise par I :

dI/dt = I·(β·S − γ)

La question « y a-t-il épidémie ? » revient à se demander : est-ce que I est croissant ? Et I est croissant si et seulement si sa dérivée est strictement positive. Comme on suppose I(0) > 0, le signe de dI/dt est celui de β·S − γ.

Je normalise maintenant en proportions, en posant s = S/N. La condition β·S > γ s'écrit β·N·s > γ, soit :

(β·N/γ) · s > 1

Je pose alors R₀ = β·N/γ et R_eff = R₀ · s = R₀ · S/N. La condition d'épidémie devient :

Et c'est là que le miracle se produit. R₀ a une interprétation biologique simple : c'est le nombre moyen de personnes qu'un seul malade contamine, dans une population entièrement susceptible. Si R₀ > 1, chaque malade en contamine plus d'un, et l'épidémie explose en cascade exponentielle. Si R₀ < 1, chaque malade en contamine moins d'un en moyenne, et l'épidémie s'éteint d'elle-même.

prendre du recul, lever la tête Ce que je viens de démontrer est puissant. Avec une seule équation différentielle, on a un critère quantitatif et opérationnel pour décider si un virus est pandémiquement dangereux. Pas en termes de létalité, pas en termes de symptômes : en termes de capacité à se propager. Et c'est exactement la grille de lecture que je vais maintenant appliquer.

6:00 → 7:00 Application 1 — COVID-19

ton plus dynamique, contextualiser Pour la COVID-19, les estimations de l'Institut Pasteur au printemps 2020 donnent un R₀ initial autour de 3, avec une période contagieuse d'environ 7 jours, soit γ ≈ 1/7. La population française étant presque entièrement susceptible début 2020, S/N ≈ 1.

Donc R_eff = R₀ · 1 ≈ 3. Très largement supérieur à 1.

Concrètement : chaque malade en contamine 3 en moyenne, qui en contaminent 9, puis 27, puis 81 — c'est la croissance exponentielle qu'on a vue dans les hôpitaux. Le modèle, sans intervention, prédisait plusieurs centaines de milliers de morts en quelques mois. Les politiques publiques découlent directement du modèle : le confinement réduit β en limitant les contacts, et la vaccination réduit s en retirant des susceptibles. Les deux convergent vers le même but mathématique : faire passer R_eff sous 1.

7:00 → 9:15 Application 2 — Hantavirus

marquer un net changement de ton, plus calme J'arrive maintenant au cas qui m'a fait choisir cette question. Le hantavirus. Famille des Hantaviridae, 38 souches identifiées, présentes sur tous les continents. En France, environ 100 cas par an de fièvre hémorragique à syndrome rénal, surtout dans le quart nord-est. Létalité variable, de 1 % à 50 % selon la souche. Et pour la souche en cause sur le MV Hondius, le virus Andes — létalité historique entre 21 et 50 %.

Sur le papier, c'est terrifiant. Bien plus létal que la COVID-19. Et pourtant l'OMS, dans son communiqué du 4 mai, écrit que le risque pandémique reste « faible, sans commune mesure avec la pandémie de COVID-19 ». Pourquoi ?

arriver au cœur de l'argument Parce que le hantavirus est une zoonose. Sur les 38 souches connues, la transmission se fait par les rongeurs : déjections, urine, salive, principalement par aérosolisation lors du nettoyage de granges. Pour 37 souches sur 38, aucune transmission interhumaine n'a jamais été documentée.

Et c'est là que mon modèle SIR donne la réponse mathématique. Pour les hantavirus classiques, le taux de transmission interhumaine β est nul. Donc :

R₀ = β·N/γ = 0

Et donc R_eff = 0, qui est strictement inférieur à 1. Le théorème du seuil démontre qu'aucune épidémie humaine n'est mathématiquement possible, quelle que soit la létalité. C'est, je trouve, un résultat extraordinaire : la même équation qui a justifié le confinement de 2020 démontre, ici, qu'il faut rester calme.

nuancer, c'est le point d'esprit critique Avec une exception. Le virus Andes, celui du MV Hondius, est le seul hantavirus pour lequel une transmission interhumaine a été documentée, depuis l'épidémie nosocomiale de 1996 en Argentine. L'étude de référence parue dans le New England Journal of Medicine en 2020, sur l'épidémie d'Epuyén de 2018-2019, estime un R global de 1,19 — donc tout juste au-dessus du seuil. Mais avec un point essentiel : avant les mesures d'isolation, R valait 2,1, et après isolation, il passait sous 1. Le modèle ne se contente pas de décrire, il dit aussi quoi faire.

Et c'est ce qu'on observe sur le MV Hondius : isolement immédiat, traçage des contacts, débarquement contrôlé à Tenerife. Le modèle prescrit, les autorités exécutent.

9:15 → 10:00 Conclusion et ouverture

retour à la problématique, regard partagé Pour répondre à ma problématique : non, la létalité d'un virus ne suffit pas à prédire son potentiel pandémique. Ce qui compte, c'est R₀, c'est-à-dire la structure mathématique de sa transmission. La COVID-19 a fait des millions de morts avec une létalité de 1 % parce que R₀ ≈ 3. Le hantavirus tue jusqu'à un patient sur deux mais ne pourra pas faire de pandémie classique, parce que pour 37 souches sur 38, β = 0.

ouverture, plus posé Ce qui m'a marqué, c'est que les mathématiques ne servent pas seulement à alarmer. Elles servent aussi à calibrer la peur. Et elles ouvrent vers une question plus large que j'aimerais évoquer : si le hantavirus circule chez les rongeurs et passe parfois à l'homme, peut-être faut-il modéliser non pas une, mais deux populations couplées — c'est l'approche dite One Health, qui devient centrale aujourd'hui dans le contexte du changement climatique et de l'expansion des aires de répartition des rongeurs. Et c'est probablement là, et non sur un bateau de croisière, que se jouera le prochain grand débat épidémiologique.