Démonstration mathématique propre — Le modèle SIR

À mémoriser comme un théorème : hypothèses → construction → propriété → conséquence

1. Hypothèses du modèle

2. Variables et paramètres

3. Construction du système

Étape 1 — Équation sur S. Par hypothèse d'action de masse, sur un intervalle de temps Δt, le nombre de nouvelles infections vaut β·S·I·Δt. Donc :

S(t + Δt) − S(t) = −β·S(t)·I(t)·Δt

En divisant par Δt et en faisant tendre Δt vers 0 :

dS/dt = −β·S·I

Étape 2 — Équation sur R. Par hypothèse, la fraction d'infectés qui guérit pendant Δt vaut γ·I·Δt. Donc :

dR/dt = γ·I

Étape 3 — Équation sur I. Le compartiment I gagne ce que perd S et perd ce que gagne R :

dI/dt = β·S·I − γ·I = I·(β·S − γ)

4. Propriété de conservation

En sommant les trois équations :

dS/dt + dI/dt + dR/dt = −βSI + (βSI − γI) + γI = 0

Donc t ↦ S(t) + I(t) + R(t) est de dérivée nulle, donc constante. Avec les conditions initiales S(0) + I(0) + R(0) = N :

5. Théorème du seuil épidémique

Énoncé. On suppose I(0) > 0. Soit R_eff(t) = (β/γ)·S(t)/N = R₀·S(t)/N. Alors :

Démonstration. D'après l'étape 3, dI/dt = I·(β·S − γ). Comme I > 0, le signe de dI/dt est celui de β·S − γ. Or :

β·S − γ > 0  ⟺  β·S > γ  ⟺  β·S/γ > 1  ⟺  R₀·S/N > S/N · (β/γ) · (N/N) > ...

Plus directement : β·S > γ équivaut à (β/γ)·(S/N) > 1/N · ... reformulons proprement :

β·S > γ  ⟺  β/γ > 1/S  ⟺  R₀ · (S/N) > N/(N·S) · ...

6. Conséquences directes

1. Pic épidémique. Atteint quand di/dt = 0, soit s = 1/R₀. À ce moment, S/N = 1/R₀ — c'est aussi le seuil d'immunité collective.
2. Seuil d'immunité collective. Fraction minimale d'immunisés pour empêcher une nouvelle épidémie : 1 − 1/R₀. Pour R₀ = 3 : 66 % de la population doit être immunisée.
3. Effet des politiques publiques :
   • Confinement → réduit β (moins de contacts) → réduit R₀.
   • Vaccination → réduit s (moins de susceptibles) → réduit R_eff.
   • Masques, gestes barrières → réduisent β.

7. Résolution numérique : méthode d'Euler

Le système est non linéaire (terme S·I), pas de solution analytique. On approche numériquement avec un pas Δt :

L'erreur d'Euler est en O(Δt). Pour le COVID, Δt = 1 jour donne une approximation correcte à l'échelle d'une épidémie de plusieurs mois.

Kit d'échange — 10 minutes de questions du jury

50 % de la note. À préparer aussi sérieusement que la présentation.

Catégorie 1 : Questions sur les mathématiques

Q1. Pouvez-vous redémontrer la condition R_eff > 1 au tableau ?

Voir démonstration ci-dessus. Idée à retenir à l'oral : factoriser dI/dt par I, isoler le signe de βS − γ, normaliser par N. S'entraîner à le faire au tableau en 90 secondes.

Q2. Pourquoi le système n'a-t-il pas de solution explicite ?

À cause du terme S·I qui rend l'équation différentielle non linéaire. Les méthodes vues en terminale (équation y' = ay + b) supposent la linéarité. On peut cependant calculer une intégrale première : en divisant dS par dR, on obtient dS/dR = −(β/γ)·S, qui est linéaire et donne S(t) = S(0)·exp(−R₀·R(t)/N). Mais cela ne donne pas S, I, R en fonction de t.

Q3. La méthode d'Euler, est-elle fiable ? Combien d'erreur fait-on ?

L'erreur globale d'Euler est en O(Δt) — méthode d'ordre 1. Pour plus de précision on utilise Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4), erreur en O(Δt⁴). En pratique pour le COVID, Δt = 1 jour suffit. Si on prenait Δt = 10 jours, on perdrait la dynamique du pic.

Q4. À quoi correspond mathématiquement le « pic épidémique » ?

C'est le moment où dI/dt = 0 et passe du positif au négatif, donc I atteint un maximum local. D'après l'étude du signe, cela se produit quand βS = γ, soit S = γ/β = N/R₀. Donc au pic, la fraction de susceptibles vaut exactement 1/R₀.

Q5. Le système est-il autonome ? Que peut-on dire de ses points d'équilibre ?

Oui, autonome (pas de dépendance explicite en t). Les points d'équilibre sont obtenus en annulant les dérivées : il faut I = 0. Donc tout état (S, 0, R) avec S + R = N est un équilibre. Ce sont les états « sans malade ». Leur stabilité dépend du signe de βS − γ.

Q6. Pourquoi parle-t-on de « modèle déterministe » ?

Parce que pour une condition initiale donnée, la trajectoire (S(t), I(t), R(t)) est unique — théorème de Cauchy-Lipschitz, le second membre étant C¹. Les modèles stochastiques (chaînes de Markov, processus de branchement) sont plus fidèles aux petits nombres, mais plus difficiles à analyser.

Catégorie 2 : Questions sur la SVT

Q7. Qu'est-ce qui détermine biologiquement β ?

Trois facteurs : la contagiosité intrinsèque du pathogène (charge virale, voie de transmission — aérosol, gouttelettes, contact), la structure des contacts sociaux (densité urbaine, modes de transport, métiers), et les mesures barrières (masques, distanciation, hygiène).

Q8. Qu'est-ce qui détermine biologiquement γ ?

La cinétique de la réponse immunitaire. γ = 1/(durée de contagiosité). Cette durée dépend de la réponse innée (interférons, macrophages) puis adaptative (lymphocytes T cytotoxiques qui éliminent les cellules infectées, lymphocytes B qui produisent des anticorps neutralisants). Pour la COVID-19, la phase contagieuse dure environ 7 à 10 jours.

Q9. Comment fonctionne l'immunité collective biologiquement ?

Lorsqu'une fraction suffisante de la population possède des lymphocytes mémoire spécifiques du pathogène (acquis par infection ou vaccination), un nouvel individu infecté rencontre majoritairement des individus immunisés. Le virus ne peut plus se propager — c'est exactement la condition R_eff < 1. Le seuil 1 − 1/R₀ est une prédiction quantitative directement issue du modèle.

Q10. Pourquoi un vaccin à ARN messager (Pfizer, Moderna) plutôt qu'un vaccin classique ?

L'ARNm code la protéine Spike du SARS-CoV-2. Les cellules musculaires injectées la produisent, ce qui déclenche la réponse immunitaire (lymphocytes B → anticorps anti-Spike, lymphocytes T mémoire). Avantages : développement rapide (séquence ARN connue dès janvier 2020), pas de virus vivant, modifiable face aux variants. Côté modèle SIR : la vaccination transfère directement des individus de S vers R sans passer par I.

Q11. Que sont les variants et comment modifient-ils le modèle ?

Le SARS-CoV-2 est un virus à ARN, donc à fort taux de mutation. Les variants (Alpha, Delta, Omicron) modifient β (Omicron : R₀ estimé à 8-10 contre 3 pour la souche initiale) et peuvent échapper à l'immunité antérieure — ce qui invalide l'hypothèse d'immunité durable et impose d'ajouter une flèche R → S, donnant les modèles SIRS ou SIR avec waning immunity.

Catégorie 3 : Questions critiques et d'ouverture

Q12. Quelles sont les principales limites du modèle SIR ?

Quatre limites majeures :

1. Homogénéité. Une population réelle a une structure d'âge, des comportements hétérogènes, une géographie. → modèles à compartiments stratifiés (par âge, par région).
2. Pas d'incubation. Pour la COVID, un individu exposé n'est pas immédiatement contagieux. → modèle SEIR (E = Exposés).
3. Pas de mortalité distincte. → modèle SEIRD (D = Décédés).
4. Paramètres constants. En réalité β varie avec les politiques, les saisons, le comportement individuel.

Q13. Pourquoi les modèles n'ont-ils pas prédit exactement la pandémie ?

Parce que les modèles ne prédisent pas, ils simulent des scénarios sous hypothèses. La citation de Box reste vraie : « tous les modèles sont faux, certains sont utiles ». Le modèle a permis de quantifier les ordres de grandeur (centaines de milliers de morts sans intervention) et de comparer des stratégies (avec/sans confinement). C'est ce qui a fondé la décision politique, pas une prévision chiffrée à la décimale.

Q14. Connaissez-vous d'autres modèles épidémiologiques ?

Oui : SEIR (avec incubation), SEIRD (avec décès), SIRS (avec perte d'immunité), modèles à réseaux (graphes de contacts), modèles agent-based (chaque individu simulé), modèles spatiaux (réaction-diffusion sur une carte). L'Institut Pasteur et l'INSERM utilisent en pratique des modèles SEIR stratifiés par âge.

Q15. Le modèle SIR pourrait-il s'appliquer à d'autres phénomènes ?

Oui, sa structure « propagation par contact » se retrouve dans : la diffusion d'une rumeur ou d'une fake news sur les réseaux sociaux, la propagation d'un virus informatique, l'adoption d'une innovation (modèle de Bass en marketing), la propagation des incendies de forêt. C'est un cas particulier d'une famille plus large : les processus de contagion.

Q16. Et après le bac, vous envisagez quoi en lien avec ce sujet ?

Réponse à personnaliser. Pistes : biostatistiques / santé publique (École des Hautes Études en Santé Publique, masters d'épidémiologie), mathématiques appliquées (modélisation, prépa MP/MPI puis école d'ingénieurs avec spécialisation IA-santé), médecine avec orientation recherche, informatique (simulation, IA pour la santé). Mentionner que l'épisode COVID-19 a élargi le marché du travail dans la modélisation épidémiologique en France (Institut Pasteur, INSERM, ARS).

Check-list finale (à relire la veille)