Grand Oral — Spécialités Mathématiques & SVT

0:00 → 1:00 Accroche et choix de la question

posture droite, regard jury En septembre 2005, dans l'univers virtuel du jeu World of Warcraft, un bug informatique a déclenché ce que les épidémiologistes appellent aujourd'hui « l'incident du Corrupted Blood ». Un sort initialement confiné à un boss s'est propagé sans contrôle dans les villes du jeu, tuant des milliers de joueurs en quelques heures.

ton plus posé Ce qui a fasciné les chercheurs, ce n'est pas le bug lui-même, c'est que les comportements observés — la fuite vers les zones rurales, les soignants improvisés, les « super-propagateurs » — reproduisaient exactement les schémas d'une pandémie réelle. Au point que le CDC américain a contacté Blizzard pour étudier les données.

Quinze ans plus tard, en mars 2020, ce n'était plus un jeu. Et la question qui m'a marqué, en regardant tous les soirs les courbes diffusées par Santé Publique France, c'était celle-ci : derrière ces courbes, qu'est-ce qu'il y a vraiment ? Comment, à partir de simples équations, peut-on prédire qu'un confinement est nécessaire ?

J'ai choisi cette question parce qu'elle est exactement à l'intersection de mes deux spécialités : les équations différentielles que j'étudie en mathématiques, et la dynamique immunitaire que je vois en SVT, se rejoignent dans un modèle vieux de bientôt cent ans, et qui a pourtant guidé les décisions politiques pendant la pandémie.

1:00 → 1:30 Problématique et annonce du plan

marquer une pause, articuler Ma problématique sera donc la suivante : comment les mathématiques permettent-elles de modéliser la propagation d'une épidémie comme la COVID-19, et quelles sont les limites de cette modélisation ?

Je vais répondre en trois temps. D'abord, je montrerai comment on passe d'une réalité biologique à un modèle à compartiments. Ensuite, je construirai pas à pas le système d'équations différentielles et j'en tirerai un critère mathématique de déclenchement d'épidémie. Enfin, j'appliquerai ce modèle au cas français de 2020 et j'en discuterai les limites.

1:30 → 3:00 Du contexte biologique au modèle à compartiments

enchaîner sans rupture En SVT, on apprend que face à un agent infectieux, la population d'un pays se découpe en trois grands états. Il y a les individus sains et susceptibles d'être infectés : ils n'ont pas encore rencontré le virus, leur système immunitaire ne le connaît pas. Il y a les individus infectés : leurs cellules sont colonisées, ils excrètent le virus et peuvent contaminer d'autres personnes. Et il y a les individus retirés du jeu épidémique : ceux qui ont guéri et sont devenus immunisés grâce à la mémoire des lymphocytes B et T, et malheureusement, les personnes décédées.

C'est exactement l'idée qu'ont eue, dès 1927, le biochimiste Kermack et l'épidémiologiste McKendrick. Ils étudiaient la peste de Bombay et ils ont proposé de diviser la population N en trois compartiments — d'où le nom de modèle SIR, pour Susceptibles, Infectés, Rétablis.

Notons S(t), I(t) et R(t) le nombre de personnes dans chaque compartiment à l'instant t. Le principe biologique est simple : les flèches ne vont que dans un sens. Un individu susceptible peut devenir infecté, un infecté peut devenir rétabli, mais on ne revient pas en arrière — c'est l'hypothèse d'immunité durable, qui est, justement, l'une des premières limites du modèle.

3:00 → 5:30 Construction du système d'équations différentielles

ton de démonstration, plus appuyé Pour transformer ce schéma en mathématiques, on se demande : à quelle vitesse les gens passent-ils d'un compartiment à l'autre ? Et « vitesse », en mathématiques, c'est exactement ce que mesure une dérivée par rapport au temps.

Première équation, sur S. Le nombre de susceptibles diminue à cause des contacts entre susceptibles et infectés. Le principe d'action de masse, formulé dès les années 1920, dit que le nombre de nouvelles infections par unité de temps est proportionnel au produit S × I — il faut un susceptible et un infecté pour qu'il y ait contamination. On appelle β cette constante de proportionnalité, qu'on nomme taux de transmission. Donc :

dS/dt = −β·S·I

Le signe moins vient du fait que S diminue.

Deuxième équation, sur R. Les rétablis augmentent à un rythme proportionnel au nombre d'infectés présents, avec un coefficient γ appelé taux de guérison. Concrètement, 1/γ représente la durée moyenne pendant laquelle une personne est contagieuse.

dR/dt = γ·I

Troisième équation, sur I. Le compartiment des infectés gagne ce que perd S, et perd ce que gagne R. Donc :

dI/dt = β·S·I − γ·I

vérification, ralentir Petite vérification mathématique : si je somme mes trois dérivées, j'obtiens dS/dt + dI/dt + dR/dt = −βSI + βSI − γI + γI = 0. La dérivée de S + I + R est nulle, donc cette somme est constante, égale à N. Ce qui est cohérent : on retrouve la conservation de la population, et ça prouve que le modèle est bien posé.

5:30 → 7:00 Étude qualitative : le seuil épidémique et R₀

moment-clé, articuler fort Le résultat que je veux maintenant démontrer est le cœur de tout. C'est ce qu'on appelle le seuil épidémique.

Je reprends mon équation sur I et je factorise par I :

dI/dt = I·(β·S − γ)

La question « y a-t-il épidémie ? » revient à se demander : est-ce que I est croissant ? Et I est croissant si et seulement si sa dérivée est positive, donc si et seulement si β·S − γ > 0, c'est-à-dire si :

S > γ/β   ⟺   (β/γ)·(S/N) > 1   pour un population N

On pose alors R₀ = β/γ. Et le taux de reproduction effectif est R_eff = R₀ × S/N. La condition d'épidémie s'écrit alors :

Interprétation biologique : R₀ représente le nombre moyen de personnes qu'un malade contamine dans une population entièrement susceptible. Si R₀ > 1, chaque malade en contamine plus d'un, et l'épidémie explose en cascade. Si R₀ < 1, chaque malade en contamine moins d'un, et l'épidémie s'éteint d'elle-même.

Et quand on autorise, comme dans la réalité, S à diminuer, on voit que R_eff finit toujours par passer sous 1 : c'est l'immunité collective, atteinte mathématiquement quand S/N = 1/R₀.

7:00 → 9:00 Résolution numérique et application au COVID-19

transition, plus dynamique Évidemment, ce système d'équations différentielles n'a pas de solution explicite simple — il est non linéaire à cause du terme S·I. On le résout donc numériquement, et c'est là que la méthode d'Euler, vue en terminale, devient un outil concret de santé publique.

Le principe est de discrétiser le temps avec un pas Δt (un jour, par exemple) et d'écrire :

Avec ces trois lignes, codables en cinq minutes en Python, on peut simuler n'importe quel scénario.

application concrète Pour le COVID-19 en France au printemps 2020, les estimations de l'Institut Pasteur donnaient un R₀ initial autour de 3, avec une période contagieuse d'environ 7 jours, soit γ ≈ 1/7 et donc β ≈ 3/7. Avec ces valeurs, le modèle prédisait, sans intervention, plusieurs centaines de milliers de morts en quelques mois — un scénario que ni le système hospitalier français, ni aucun système au monde, ne pouvait absorber.

Les politiques publiques découlent directement du modèle. Le confinement agit sur β : en réduisant les contacts physiques, on divise le taux de transmission, parfois par un facteur 3 ou 4. La vaccination, elle, agit sur S : elle retire des individus du compartiment des susceptibles avant qu'ils ne soient infectés. Les deux stratégies convergent vers le même objectif mathématique : faire passer R_eff sous 1.

9:00 → 10:00 Limites, conclusion, ouverture

prise de recul critique Ce modèle, je l'ai présenté avec ses succès, mais il faut être honnête sur ses limites. Premièrement, il suppose une population homogène et bien mélangée, ce qui est faux à l'échelle d'un pays : un cluster en EHPAD et un cluster dans une école n'ont pas la même dynamique. Deuxièmement, il suppose l'immunité durable, ce que les variants du SARS-CoV-2 ont régulièrement démenti. Troisièmement, il n'intègre pas la phase d'incubation — d'où les extensions SEIR, SEIRD qui ajoutent un compartiment « Exposés » et un compartiment « Décédés ».

retour à la problématique Pour répondre à ma problématique : oui, les mathématiques permettent de modéliser une épidémie, et le SIR fournit même un critère explicite — R_eff > 1 — qui guide les décisions politiques. Mais ce modèle ne prédit pas l'avenir, il compare des scénarios. Sa vraie valeur n'est pas dans ses chiffres exacts, c'est dans ce qu'il révèle de la structure d'une épidémie.

ouverture, regarder les deux jurés Et c'est ce qui me fascine : avec trois équations, écrites en 1927 pour une peste indienne, on a tenu en respect un virus que personne n'avait vu venir un siècle plus tard. C'est peut-être ça, finalement, la définition même de la modélisation mathématique : une économie de moyens au service de l'urgence du monde.