Datation absolue et relative

L'essentiel en deux lignes

La datation relative classe les événements géologiques dans l'ordre (avant / après) grâce à des principes stratigraphiques : elle ne donne aucun âge en années. La datation absolue (radiochronologie) utilise la désintégration radioactive pour attribuer un âge numérique à une roche ou à un fossile. Les deux méthodes sont complémentaires.

Datation relative : les 6 principes

• Superposition (Sténon) : dans une série non perturbée, les couches profondes sont plus anciennes.
• Horizontalité initiale : les sédiments se déposent horizontalement ; toute inclinaison est postérieure.
• Continuité latérale : une même couche est contemporaine sur toute son étendue.
• Recoupement : toute structure (filon, faille) qui en recoupe une autre lui est postérieure.
• Inclusion : des fragments inclus dans une roche sont plus anciens qu'elle.
• Biostratigraphie : les fossiles stratigraphiques (courte durée de vie, large répartition) permettent de corréler des couches éloignées.

Datation absolue : la seule formule à connaître

Fraction restante de l'isotope radioactif : \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\), où \(n = \dfrac{t}{T_{1/2}}\) est le nombre de demi-vies écoulées.

Âge de l'échantillon : \(t = n \times T_{1/2}\).

Les demi-vies du programme

L'exemple type, à savoir refaire en 30 secondes

Un fossile contient \(\dfrac{1}{8}\) de son \({}^{14}\text{C}\) initial. Quel est son âge ?

• \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\) donc \(n = 3\) demi-vies.
• \(t = 3 \times 5\,730\), soit \(t = 17\,190\) ans.

Trois pièges qui coûtent des points

• Ne pas confondre \(N_0\) (quantité initiale) et \(N(t)\) (quantité restante) : le rapport \(N(t)/N_0\) est toujours strictement inférieur à 1.
• Le \({}^{14}\text{C}\) ne sert pas pour des roches de millions d'années : il est indétectable au-delà de ≈ 50 000 ans.
• La datation relative ne donne pas d'âge en années, seulement un ordre.

1. Deux questions différentes

Devant une coupe géologique, deux questions se posent, et elles n'appellent pas la même méthode.

• « Dans quel ordre tout cela s'est-il produit ? » → datation relative : elle classe les événements (avant / après) grâce à des principes stratigraphiques, sans fournir d'âge en années.
• « Quel âge, en années ? » → datation absolue (radiochronologie) : elle utilise la désintégration radioactive pour attribuer un âge numérique à une roche ou à un fossile.

Les deux méthodes ne s'opposent pas : elles sont complémentaires. L'une donne l'ordre, l'autre les années.

2. La datation relative : mettre les événements en ordre

Six principes suffisent. Chacun sert à conclure « ceci est antérieur / postérieur à cela ».

• Superposition (Sténon) — dans une série non perturbée, les couches profondes sont plus anciennes. C'est le principe de base : on lit la coupe du bas vers le haut, du plus ancien au plus récent.
• Horizontalité initiale — les sédiments se déposent horizontalement ; toute inclinaison est donc postérieure au dépôt. Une couche inclinée raconte deux événements : le dépôt, puis la déformation.
• Continuité latérale — une même couche est contemporaine sur toute son étendue. Ce qu'on date en un point vaut pour la couche entière.
• Recoupement — toute structure (filon, faille) qui en recoupe une autre lui est postérieure. Pour recouper quelque chose, il faut que ce quelque chose existe déjà.
• Inclusion — des fragments inclus dans une roche sont plus anciens qu'elle. Le fragment existait avant que la roche qui le contient ne se forme.
• Biostratigraphie — les fossiles stratigraphiques permettent de corréler des couches éloignées. Un bon fossile stratigraphique a une courte durée de vie (il ne marque qu'un bref intervalle de temps) et une large répartition (on le retrouve loin).

3. La datation absolue : la loi de décroissance radioactive

Un isotope radioactif se désintègre : au bout d'une durée fixe appelée demi-vie \(T_{1/2}\), il n'en reste que la moitié. Après deux demi-vies, la moitié de la moitié, et ainsi de suite.

En notant \(N_0\) la quantité initiale et \(N(t)\) la quantité restante après une durée \(t\) :

\(\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) avec \(n = \dfrac{t}{T_{1/2}}\), d'où \(t = n \times T_{1/2}\).

\(n\) est le nombre de demi-vies écoulées : c'est le pivot du calcul. On le lit dans le rapport \(N(t)/N_0\), puis on le convertit en années en le multipliant par \(T_{1/2}\).

4. Méthode — calculer un âge par radiochronologie

1. Identifier la paire isotopique utilisée et relever sa demi-vie \(T_{1/2}\).
2. Déterminer le rapport \(\dfrac{N(t)}{N_0}\) à partir des données de l'énoncé.
3. Exprimer ce rapport sous la forme \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) pour trouver \(n\).
4. Calculer \(t = n \times T_{1/2}\).
5. Vérifier que \(T_{1/2}\) est du même ordre de grandeur que l'âge estimé.

La dernière étape n'est pas décorative : elle est là pour repérer qu'on a choisi le mauvais chronomètre.

5. Exemple entièrement traité

Énoncé. Un fossile contient \(\dfrac{1}{8}\) de son \({}^{14}\text{C}\) initial. On donne \(T_{1/2} = 5\,730\) ans. Quel est son âge ?

Étape 1. Isotope : \({}^{14}\text{C}\), donc \(T_{1/2} = 5\,730\) ans.

Étape 2. Le rapport est donné : \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{1}{8}\).

Étape 3. \(\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\), donc \(n = 3\) demi-vies.

Étape 4. \(t = 3 \times 5\,730 = 17\,190\) ans.

Étape 5. \(17\,190\) ans est bien du même ordre de grandeur que \(5\,730\) ans, et reste en deçà de la limite de ≈ 50 000 ans du \({}^{14}\text{C}\) : le chronomètre est adapté.

À retenir

• Relative = ordre, absolue = années ; complémentaires.
• Six principes : superposition, horizontalité initiale, continuité latérale, recoupement, inclusion, biostratigraphie.
• Une formule : \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\), \(n = \dfrac{t}{T_{1/2}}\), \(t = n \times T_{1/2}\).
• Toujours finir par le contrôle de l'ordre de grandeur.

1. Deux méthodes, deux réponses

La datation relative classe les événements dans l'ordre (avant / après) grâce à des principes stratigraphiques, sans fournir d'âge en années. La datation absolue, ou radiochronologie, utilise la désintégration radioactive pour attribuer un âge numérique à une roche ou à un fossile. Elles sont complémentaires : la première construit la chronologie, la seconde y place des années.

2. Les principes de la datation relative

3. Le fossile stratigraphique

Tous les fossiles ne se valent pas pour dater. Un fossile stratigraphique cumule deux qualités :

• une courte durée de vie : l'espèce n'a existé que pendant un intervalle de temps bref, donc sa présence désigne un moment précis ;
• une large répartition : on la retrouve dans des régions éloignées, donc elle permet la corrélation entre affleurements distants.

Sans la première qualité, le fossile daterait une période trop longue pour être utile ; sans la seconde, il ne permettrait aucune corrélation.

4. Exercice traité 1 — chronologie relative d'une coupe

Énoncé. Sur une coupe on observe, de bas en haut, trois couches sédimentaires A, B puis C, aujourd'hui inclinées. Une faille F décale A, B et C. Un filon G recoupe à la fois les trois couches et la faille F. Au-dessus, une couche D, horizontale, n'est ni décalée ni recoupée, et contient des fragments du filon G. Établir la chronologie.

Étape 1 — les couches entre elles. Par superposition (série non perturbée au moment du dépôt) : A est plus ancienne que B, elle-même plus ancienne que C.

Étape 2 — la déformation. Par horizontalité initiale, A, B et C se sont déposées horizontalement : leur inclinaison actuelle est un événement postérieur au dépôt de C.

Étape 3 — la faille. F recoupe A, B et C : par recoupement, F est postérieure à C.

Étape 4 — le filon. G recoupe les couches et la faille F : par recoupement encore, G est postérieur à F.

Étape 5 — la couche du dessus. D contient des fragments de G : par inclusion, ces fragments — donc G — existaient avant la formation de D. Et D n'est pas recoupée par G, ce qui confirme que D est postérieure.

Réponse. A → B → C, puis le basculement, la faille F, le filon G, et enfin D : du plus ancien au plus récent. Une précision utile : le basculement est postérieur au dépôt de C et antérieur à celui de D, restée horizontale, mais la coupe ne permet pas de dire s'il a précédé ou suivi F — seule la succession F puis G est démontrée, par recoupement. Aucun de ces événements n'est daté en années : la datation relative donne un ordre, rien d'autre.

Prolongement. Si la couche C contient un fossile stratigraphique retrouvé dans une couche d'un affleurement éloigné, la biostratigraphie permet d'affirmer que ces deux couches sont contemporaines ; la continuité latérale étend ce résultat à toute l'étendue de la couche.

5. La loi de décroissance radioactive

Un isotope radioactif se désintègre au cours du temps. La demi-vie \(T_{1/2}\) est la durée au bout de laquelle il n'en reste que la moitié. Le processus se répète à l'identique : après chaque nouvelle demi-vie, la quantité restante est encore divisée par deux.

\(\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) avec \(n = \dfrac{t}{T_{1/2}}\), et donc \(t = n \times T_{1/2}\).

Les rapports à reconnaître immédiatement :

6. Choisir le bon chronomètre

Le critère de choix est celui de la dernière étape de la méthode : la demi-vie doit être du même ordre de grandeur que l'âge cherché. Trop courte, l'isotope a disparu ; trop longue, la fraction désintégrée est trop faible pour être exploitée.

7. Méthode — calculer un âge par radiochronologie

1. Identifier la paire isotopique et relever \(T_{1/2}\).
2. Déterminer le rapport \(\dfrac{N(t)}{N_0}\).
3. Exprimer ce rapport sous la forme \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) pour trouver \(n\).
4. Calculer \(t = n \times T_{1/2}\).
5. Vérifier que \(T_{1/2}\) est du même ordre de grandeur que l'âge estimé.

8. Exercice traité 2 — un fossile au \({}^{14}\text{C}\)

Énoncé. Un fossile contient \(\dfrac{1}{8}\) de son \({}^{14}\text{C}\) initial ; \(T_{1/2} = 5\,730\) ans.

1. Isotope \({}^{14}\text{C}\) : \(T_{1/2} = 5\,730\) ans.

2. \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{1}{8}\).

3. \(\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\) donc \(n = 3\).

4. \(t = 3 \times 5\,730 = 17\,190\) ans.

5. \(17\,190\) ans reste très inférieur à ≈ 50 000 ans : le \({}^{14}\text{C}\) est le bon chronomètre. Âge ≈ 17 190 ans.

9. Exercice traité 3 — même isotope, autre rapport

Énoncé. Un échantillon contient \(\dfrac{1}{4}\) de son \({}^{14}\text{C}\) initial. Quel est son âge ?

1. \(T_{1/2} = 5\,730\) ans.

2. \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{1}{4}\).

3. \(\dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\) donc \(n = 2\) demi-vies.

4. \(t = 2 \times 5\,730 = 11\,460\) ans.

5. Cohérent : il reste plus de \({}^{14}\text{C}\) que dans l'exercice 2, et l'âge trouvé est effectivement plus petit que \(17\,190\) ans. Âge ≈ 11 460 ans.

10. Exercice traité 4 — changer de chronomètre

Énoncé. Une roche contient \(\dfrac{1}{4}\) de son \({}^{40}\text{K}\) initial ; \(T_{1/2} = 1{,}25\) Ga. Quel est son âge ?

1. Isotope \({}^{40}\text{K}\) : \(T_{1/2} = 1{,}25\) Ga.

2. \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{1}{4}\).

3. \(\dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\) donc \(n = 2\).

4. \(t = 2 \times 1{,}25 = 2{,}5\) Ga.

5. L'âge trouvé est du même ordre de grandeur que la demi-vie employée : le chronomètre est adapté. Le même rapport \(\dfrac{1}{4}\) donne \(11\,460\) ans avec le \({}^{14}\text{C}\) et \(2{,}5\) Ga avec le \({}^{40}\text{K}\) : c'est la demi-vie, pas le rapport, qui fixe l'échelle de temps.

Bilan

• La chronologie relative se construit avec six principes et se rédige comme une suite d'arguments : « telle structure recoupe telle autre, donc… ».
• La chronologie absolue tient dans un seul enchaînement : rapport → \(n\) → \(t = n \times T_{1/2}\).
• Le chronomètre se choisit sur l'ordre de grandeur : \({}^{14}\text{C}\) pour le récent, \({}^{40}\text{K}\) et \({}^{87}\text{Rb}\) pour l'ancien.

1. Les quatre erreurs qui reviennent tout le temps

Erreur 1 — confondre \(N_0\) et \(N(t)\)

\(N_0\) est la quantité initiale d'isotope radioactif, \(N(t)\) la quantité restante aujourd'hui. Comme l'isotope ne fait que se désintégrer, on a toujours \(N(t) < N_0\), donc le rapport \(\dfrac{N(t)}{N_0}\) est strictement inférieur à 1.

Le réflexe. Si votre rapport dépasse 1, vous l'avez écrit à l'envers : reprenez-le avant de chercher \(n\). Un rapport supérieur à 1 conduit mécaniquement à un \(n\) négatif, c'est-à-dire à un âge négatif.

Erreur 2 — utiliser le \({}^{14}\text{C}\) sur des roches de millions d'années

La demi-vie du \({}^{14}\text{C}\) vaut ≈ 5 730 ans : il devient indétectable au-delà de ≈ 50 000 ans. L'appliquer à une roche de plusieurs millions d'années n'a aucun sens ; c'est l'étape 5 de la méthode (contrôle de l'ordre de grandeur) qui doit le signaler.

Le réflexe. Avant de calculer, comparez l'ordre de grandeur attendu à la demi-vie disponible : ≈ 5 730 ans pour le \({}^{14}\text{C}\), ≈ 1,25 Ga pour le \({}^{40}\text{K}\), ≈ 48,8 Ga pour le \({}^{87}\text{Rb}\).

Erreur 3 — faire dire des années à la datation relative

Superposition, recoupement, inclusion : ces principes établissent un ordre, jamais une durée. Écrire « la faille a 2 millions d'années parce qu'elle recoupe la couche C » est faux : le recoupement dit seulement « après C ».

Le réflexe. Dans une réponse de chronologie relative, n'employez que le vocabulaire de l'ordre : antérieur, postérieur, contemporain. Les années n'arrivent qu'avec la radiochronologie.

Erreur 4 — appliquer la superposition à une série renversée

Le principe de superposition est énoncé pour une série non perturbée. Si la série a été renversée tectoniquement, la couche la plus profonde n'est plus la plus ancienne, et lire la coupe de bas en haut donne la chronologie à l'envers.

Le réflexe. Signalez toujours l'hypothèse : « en supposant la série non perturbée… ». Et rappelez-vous que l'horizontalité initiale est justement là pour repérer qu'une déformation a eu lieu : des couches inclinées prouvent qu'un événement postérieur au dépôt les a basculées.

2. Cas limite — le rapport n'est pas une puissance de \(\dfrac{1}{2}\)

Les énoncés donnent le plus souvent \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{1}{8}\)… qui s'écrivent directement \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) avec \(n\) entier. Que faire d'un rapport comme \(\dfrac{1}{3}\) ?

On encadre. \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}\) : il reste plus d'isotope qu'après 2 demi-vies et moins qu'après 1 demi-vie… donc \(n\) est compris entre 1 et 2. Attention au sens : plus il reste d'isotope, plus l'échantillon est jeune.

Avec le \({}^{14}\text{C}\) : \(1 \times 5\,730 < t < 2 \times 5\,730\), soit un âge compris entre \(5\,730\) et \(11\,460\) ans. Un encadrement correctement justifié vaut tous les points ; le calcul exact d'un \(n\) non entier relève du niveau suivant.

3. Cas limite — la série est perturbée

Trois situations changent la lecture d'une coupe :

• Couches inclinées : par horizontalité initiale, l'inclinaison est postérieure au dépôt. Elle doit apparaître comme un événement à part entière dans la chronologie.
• Série renversée : la superposition ne s'applique plus telle quelle ; il faut le dire explicitement.
• Faille ou filon : ce ne sont pas des couches, ils ne se placent pas par superposition mais par recoupement.

4. Pièges de sens sur les principes

5. Pièges de calcul

• Confondre \(n\) et \(t\). \(n\) est un nombre de demi-vies, sans unité ; \(t\) est une durée. Le passage de l'un à l'autre est \(t = n \times T_{1/2}\) : oublier cette multiplication est l'erreur la plus fréquente du calcul.
• Mélanger les unités. Le résultat sort dans l'unité de \(T_{1/2}\) : des ans avec le \({}^{14}\text{C}\), des Ga avec le \({}^{40}\text{K}\) ou le \({}^{87}\text{Rb}\). On ne compare pas directement 17 190 ans et 1,25 Ga sans convertir.
• Sauter l'étape 5. Le contrôle d'ordre de grandeur est ce qui rattrape un mauvais chronomètre ou une erreur de puissance : il se rédige en une phrase, il vaut des points.
• Doubler l'âge quand on divise le rapport par deux. Passer de \(\dfrac{1}{4}\) à \(\dfrac{1}{8}\) n'ajoute qu'une demi-vie : l'âge passe de \(2 \times 5\,730\) à \(3 \times 5\,730\), pas au double.

6. Checklist avant de rendre

• Ai-je bien répondu à la question posée : un ordre (relative) ou un âge en années (absolue) ?
• Chaque affirmation de chronologie relative est-elle rattachée à un principe nommé ?
• Ai-je signalé l'hypothèse « série non perturbée » quand je me sers de la superposition ?
• Mon rapport \(\dfrac{N(t)}{N_0}\) est-il bien strictement inférieur à 1 ?
• Ai-je écrit le rapport sous la forme \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) avant de conclure sur \(n\) ?
• Ai-je multiplié \(n\) par \(T_{1/2}\), et écrit l'unité ?
• Ai-je vérifié que \(T_{1/2}\) et l'âge trouvé sont du même ordre de grandeur ?

1. Ce qui change au niveau suivant

La physique reste exactement celle du cours : \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\) avec \(n = \dfrac{t}{T_{1/2}}\). Ce qui change, c'est l'outil mathématique. Au lieu de reconnaître \(n\) à l'œil sur des rapports comme \(\dfrac{1}{8}\), on l'obtient par le calcul, pour n'importe quel rapport.

2. La même loi, écrite en continu

On remplace simplement \(n\) par son expression dans la formule du cours :

\(\dfrac{N(t)}{N_0} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t / T_{1/2}}\)

Rien de nouveau n'a été ajouté : c'est la même égalité, où \(t\) apparaît maintenant explicitement en exposant. Écrite ainsi, elle a un sens pour toute valeur de \(t\), pas seulement pour les multiples entiers de la demi-vie. La quantité restante décroît alors de façon continue, en étant divisée par deux à chaque intervalle de durée \(T_{1/2}\).

3. Résoudre pour \(t\) : le logarithme

Pour isoler l'exposant, on prend le logarithme népérien des deux membres :

\(\ln\!\left(\dfrac{N(t)}{N_0}\right) = \dfrac{t}{T_{1/2}} \times \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

Comme \(\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2\), on obtient :

\(n = \dfrac{t}{T_{1/2}} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{N_0}{N(t)}\right)}{\ln 2}\), d'où \(t = T_{1/2} \times \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{N_0}{N(t)}\right)}{\ln 2}\)

Vérification sur le cas connu : avec \(\dfrac{N(t)}{N_0} = \dfrac{1}{8}\), on a \(\dfrac{N_0}{N(t)} = 8\) et \(\dfrac{\ln 8}{\ln 2} = 3\) — on retrouve bien \(n = 3\), donc \(t = 3 \times 5\,730 = 17\,190\) ans. La formule générale contient l'ancienne.

4. Application — le cas que le niveau précédent ne pouvait qu'encadrer

Énoncé. Un échantillon contient \(\dfrac{1}{3}\) de son \({}^{14}\text{C}\) initial. Âge ?

Encadrement (niveau Terminale). \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}\) donc \(1 < n < 2\), soit un âge compris entre \(5\,730\) et \(11\,460\) ans.

Calcul exact (avec le logarithme). \(n = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1{,}58\), donc \(t \approx 1{,}58 \times 5\,730\), soit \(t \approx 9\,100\) ans.

Le résultat tombe bien dans l'encadrement précédent : les deux approches sont cohérentes, la seconde est simplement plus précise. C'est tout le gain de l'écriture continue.

5. La constante de désintégration

On rencontre souvent la loi sous une troisième écriture, avec l'exponentielle :

\(N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\)

Elle se déduit de la précédente. En \(t = T_{1/2}\), la fraction restante vaut \(\dfrac{1}{2}\) par définition de la demi-vie, donc \(e^{-\lambda T_{1/2}} = \dfrac{1}{2}\), ce qui donne :

\(\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\)

\(\lambda\) et \(T_{1/2}\) portent la même information : une demi-vie longue correspond à un \(\lambda\) petit, donc à une désintégration lente. Pour le \({}^{14}\text{C}\), \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730}\), soit environ \(1{,}2 \times 10^{-4}\) par an.

6. D'où vient la limite des ≈ 50 000 ans du \({}^{14}\text{C}\)

Le cours retient que le \({}^{14}\text{C}\) devient indétectable au-delà de ≈ 50 000 ans. La formule explique ce seuil. En effet \(\dfrac{50\,000}{5\,730} \approx 8{,}7\) : près de neuf demi-vies se sont écoulées.

La fraction restante est alors \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{8{,}7}\), c'est-à-dire moins de 1 % du \({}^{14}\text{C}\) initial. La limite d'un chronomètre isotopique n'est donc pas arbitraire : c'est le moment où \(N(t)\) devient trop faible pour être mesuré.

Le même raisonnement, pris dans l'autre sens, explique pourquoi on n'emploie pas le \({}^{87}\text{Rb}\) (\(T_{1/2} \approx 48{,}8\) Ga) sur un objet récent : au bout d'une durée très petite devant la demi-vie, \(\dfrac{N(t)}{N_0}\) reste presque égal à 1, et l'écart mesuré est noyé dans l'incertitude. C'est la traduction quantitative de l'étape 5 de la méthode : la demi-vie doit être du même ordre de grandeur que l'âge cherché.

7. Lire la courbe de décroissance

Tracée en fonction du temps, \(\dfrac{N(t)}{N_0}\) part de 1 et décroît sans jamais atteindre 0 : elle passe par \(\dfrac{1}{2}\) en \(t = T_{1/2}\), par \(\dfrac{1}{4}\) en \(t = 2\,T_{1/2}\), par \(\dfrac{1}{8}\) en \(t = 3\,T_{1/2}\). Savoir lire graphiquement un âge revient à faire l'opération inverse du calcul : on entre par l'ordonnée \(\dfrac{N(t)}{N_0}\), on redescend sur l'axe des temps.

Deux conséquences utiles : la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses (l'isotope ne disparaît pas totalement, il devient seulement indétectable), et un rapport lu graphiquement entre deux graduations donne naturellement un \(n\) non entier — d'où l'intérêt du logarithme.

8. Recoller les deux datations

Le cours pose que les deux méthodes sont complémentaires ; l'écriture continue montre comment elles se combinent. La datation relative fournit la structure : l'ordre des couches, des failles, des filons, et les corrélations entre régions éloignées via les fossiles stratigraphiques. La datation absolue fournit les années, mais seulement là où un chronomètre isotopique est utilisable.

Concrètement : un âge absolu obtenu sur un filon qui recoupe une série donne, par le principe de recoupement, une borne à toute la série — les couches recoupées sont plus anciennes que cet âge. Un seul calcul de radiochronologie contraint ainsi une chronologie relative entière. C'est exactement pour cela qu'aucune des deux méthodes ne remplace l'autre.

Ce qu'il faut emporter

• Une seule loi, trois écritures équivalentes : \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\), \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\), \(e^{-\lambda t}\) avec \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\).
• Le logarithme sert à une seule chose ici : faire descendre \(n\) de l'exposant.
• Les limites d'un chronomètre (≈ 50 000 ans pour le \({}^{14}\text{C}\)) se déduisent de la loi, elles ne se retiennent pas par cœur.
• Relative et absolue : la première donne la structure, la seconde la calibre en années.