Mouvement : relativité, trajectoire, vitesse

Les prérequis et l'essentiel en trois idées

Ce qu'il faut déjà savoir : lire une distance (en km ou en m), lire une durée (en h, min ou s) et poser une division. C'est tout, tu as le bagage.

Idée 1 : le mouvement est relatif. Un objet n'est jamais en mouvement ou au repos tout seul : c'est toujours par rapport à un référentiel (l'observateur ou l'objet choisi comme référence). Assis dans un train, tu es au repos par rapport au train, mais en mouvement par rapport au quai.

Idée 2 : la trajectoire, c'est la forme du chemin. C'est la ligne que suit l'objet : une droite (rectiligne), un cercle (circulaire) ou une courbe quelconque (curviligne).

Idée 3 : la vitesse dit à quelle allure. On la calcule à partir de la distance parcourue et du temps mis.

La formule clé et un exemple

La seule formule à connaître par cœur : $v = \dfrac{d}{t}$ (la vitesse est la distance divisée par la durée).

Et une conversion très utile : $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}$.

Exemple entièrement traité. Un cycliste parcourt $d = 18$ km en $t = 45$ min.

Étape 1 : je convertis la durée en heures. $45$ min $= 0{,}75$ h.

Étape 2 : j'écris et j'applique la formule. $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{18}{0{,}75}$.

Étape 3 : je calcule. $v = 24$.

J'ai pris la distance en km et la durée en h, donc la vitesse est en km/h. Réponse : $v = 24$ km/h.

La relativité du mouvement

Définition. Un objet est en mouvement ou au repos toujours par rapport à un référentiel, c'est-à-dire un observateur ou un objet choisi comme référence.

Le point clé : le même objet peut être en mouvement selon un référentiel et immobile selon un autre. On dit que le mouvement est relatif.

Exemple. Un passager assis dans un train est au repos par rapport au train (il ne bouge pas par rapport à son siège), mais en mouvement par rapport au quai de la gare (le quai le voit défiler). Deux référentiels, deux descriptions, et les deux sont justes.

La trajectoire

Définition. La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par un objet en mouvement : c'est la ligne que dessine l'objet au cours de son déplacement. Sa forme dépend, elle aussi, du référentiel choisi.

On distingue trois formes au programme :

• Rectiligne : la trajectoire est une droite. Exemple : une voiture sur une portion d'autoroute toute droite.
• Circulaire : la trajectoire est un cercle. Exemple : une nacelle de grande roue.
• Curviligne : la trajectoire est une courbe quelconque. Exemple : un ballon lancé en cloche.

Attention à ne pas confondre la trajectoire (la forme du chemin) et la distance parcourue (la longueur du chemin).

La vitesse moyenne et ses conversions

La vitesse moyenne relie la distance parcourue $d$ et la durée $t$ du parcours. La formule de base et ses deux réarrangements :

$v = \dfrac{d}{t}$ pour trouver la vitesse ; $d = v \times t$ pour trouver la distance ; $t = \dfrac{d}{v}$ pour trouver la durée.

Unités. Si $d$ est en km et $t$ en h, alors $v$ est en km/h. Si $d$ est en m et $t$ en s, alors $v$ est en m/s.

Conversion entre les deux. $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}$. Concrètement : de km/h vers m/s on divise par $3{,}6$ ; de m/s vers km/h on multiplie par $3{,}6$.

Méthode pas à pas.

1. Repérer la distance $d$ et la convertir (km pour des km/h, m pour des m/s).
2. Repérer la durée $t$ et la convertir (h pour des km/h, s pour des m/s). Attention : $30$ min $= 0{,}5$ h.
3. Appliquer $v = \dfrac{d}{t}$ et préciser l'unité du résultat.
4. Si besoin, convertir la vitesse (diviser ou multiplier par $3{,}6$).

Exemple traité. Convertir $72$ km/h en m/s : $72 \div 3{,}6 = 20$ m/s.

Ensemble : calculer une vitesse (exemple A)

Énoncé. Un cycliste parcourt $d = 18$ km en $t = 45$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Ligne 1, on choisit l'unité de temps. On veut des km/h, donc la durée doit être en heures. Or $45$ min, ce n'est pas $45$ h ! On convertit : $45$ min $= \dfrac{45}{60}$ h $= 0{,}75$ h.

Ligne 2, on écrit la formule. $v = \dfrac{d}{t}$. On l'écrit AVANT de remplacer : c'est ce que le prof veut voir.

Ligne 3, on remplace. $v = \dfrac{18}{0{,}75}$.

Ligne 4, on calcule. $v = 24$.

Ligne 5, on donne l'unité. Distance en km, durée en h, donc $v = 24$ km/h. Sans l'unité, la réponse ne veut rien dire.

Ensemble : les deux conversions (exemples B et C)

B, de km/h vers m/s. On veut convertir $72$ km/h en m/s.

Sens de la conversion : km/h vers m/s, donc on divise par $3{,}6$.

$72 \div 3{,}6 = 20$. Donc $72$ km/h $= 20$ m/s.

Petit test de bon sens : $20$ m/s, c'est 20 mètres avalés chaque seconde. C'est rapide, cohérent avec 72 km/h.

C, de m/s vers km/h. On veut convertir $8$ m/s en km/h.

Sens inverse : m/s vers km/h, donc on multiplie par $3{,}6$.

$8 \times 3{,}6 = 28{,}8$. Donc $8$ m/s $= 28{,}8$ km/h.

Le réflexe à garder : la valeur en km/h est toujours la plus grande des deux (on multiplie), la valeur en m/s la plus petite (on divise).

Ensemble : trouver une distance (exemple D)

Énoncé. Une voiture roule à la vitesse moyenne $v = 90$ km/h pendant $t = 2$ h. Quelle distance parcourt-elle ?

Ligne 1, on repère l'inconnue. On cherche une distance $d$ : on choisit donc la version $d = v \times t$.

Ligne 2, on vérifie les unités. Vitesse en km/h, durée en h : elles sont déjà cohérentes, le résultat sera en km. Rien à convertir.

Ligne 3, on remplace et on calcule. $d = v \times t = 90 \times 2 = 180$.

Ligne 4, l'unité. $d = 180$ km.

Les subtilités et ce que le correcteur attend

La cohérence des unités, c'est LE point noté. Avant tout calcul, décide dans quelle unité tu veux ta vitesse, puis mets distance et durée dans les bonnes unités. Pour des km/h : distance en km, durée en h. Pour des m/s : distance en m, durée en s.

Convertir les minutes, ça se travaille. On divise les minutes par 60 : $30$ min $= 0{,}5$ h, $45$ min $= 0{,}75$ h, $15$ min $= 0{,}25$ h, $1$ h $30$ min $= 1{,}5$ h.

Toujours préciser le référentiel. Dès qu'on parle de mouvement ou de repos, on dit par rapport à quoi. Une phrase comme « la voiture est en mouvement », sans référentiel, est incomplète.

Ce que le correcteur veut voir, dans l'ordre :

1. la formule littérale écrite ($v = \dfrac{d}{t}$) ;
2. les conversions d'unités clairement posées ;
3. l'application numérique (le remplacement des valeurs) ;
4. le résultat AVEC son unité.

Problème type 1 : le TGV (résolu)

Énoncé. Un TGV parcourt $d = 300$ km en $t = 1$ h $30$ min. Calcule sa vitesse moyenne en km/h, puis convertis-la en m/s.

Étape 1, convertir la durée. $1$ h $30$ min $= 1{,}5$ h (car $30$ min $= 0{,}5$ h).

Étape 2, la formule. $v = \dfrac{d}{t}$.

Étape 3, l'application. $v = \dfrac{300}{1{,}5} = 200$ km/h.

Étape 4, la conversion en m/s. On passe de km/h à m/s, donc on divise par $3{,}6$ : $200 \div 3{,}6 \approx 55{,}6$ m/s.

Conclusion. $v = 200$ km/h $\approx 55{,}6$ m/s. On garde la valeur arrondie et son unité.

Problème type 2 : la course à pied, et les pièges (résolu)

Énoncé. Un coureur met $t = 25$ min pour parcourir $d = 5$ km. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Étape 1, convertir la durée. $25$ min $= \dfrac{25}{60}$ h $\approx 0{,}417$ h. (Piège classique : écrire $t = 25$ h, c'est faux.)

Étape 2, formule puis application. $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{5}{0{,}417} \approx 12$ km/h.

Étape 3, vérification de bon sens. $12$ km/h à pied, c'est un bon rythme de course : le résultat est cohérent.

Les pièges qui coûtent des points :

• oublier de convertir les minutes en heures ($25$ min $\neq 25$ h) ;
• inverser la formule : écrire $v = d \times t$ est faux, c'est bien $v = \dfrac{d}{t}$ ;
• confondre la trajectoire (la forme) et la distance (la longueur) ;
• oublier l'unité finale, ou oublier de préciser le référentiel.

D'où vient le 3,6 ? (petite justification)

La conversion $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}$ n'est pas magique : elle se démontre avec deux égalités que tu connais déjà, $1$ km $= 1000$ m et $1$ h $= 3600$ s.

Partons de $1$ m/s, c'est-à-dire $1$ mètre parcouru chaque seconde. En une heure, soit $3600$ s, on parcourt donc $3600$ m.

Or $3600$ m $= 3{,}6$ km. Parcourir $1$ m chaque seconde revient donc à parcourir $3{,}6$ km chaque heure : $1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}$.

Autrement dit, le $3{,}6$ n'est rien d'autre que $\dfrac{3600}{1000}$. Tu peux le retrouver tout seul le jour où tu l'oublies.

Des liens avec les maths

La vitesse, c'est de la proportionnalité. Quand un objet garde la même vitesse, la distance et la durée sont proportionnelles : deux fois plus de temps, deux fois plus de distance. La relation $d = v \times t$ est exactement une situation de proportionnalité, où la vitesse $v$ joue le rôle du coefficient.

Une grandeur composée. Une vitesse mélange deux grandeurs, une longueur et une durée : c'est ce que raconte son unité, km/h veut dire des kilomètres par heure. En maths comme en physique, la barre de division et le mot « par » disent la même chose.

Ce qui t'attend l'année prochaine

Au cycle suivant, on garde tout ce que tu viens d'apprendre et on l'affine :

• Vitesse moyenne contre vitesse instantanée. Ici tu as calculé une vitesse moyenne, sur tout le trajet. L'aiguille du compteur d'une voiture, elle, indique la vitesse à un instant précis : c'est la vitesse instantanée.
• Des mouvements plus fins. On décrira si un mouvement garde une vitesse constante (mouvement uniforme) ou si elle change (l'objet accélère ou ralentit).
• Interactions et forces. On cherchera ensuite pourquoi un objet se met en mouvement, s'arrête ou tourne : ce sont les interactions et les forces, la suite naturelle de ce chapitre.

Mais la base restera toujours la même : un référentiel, une trajectoire, une vitesse.