Masse volumique

Les prérequis en deux minutes

Il n'y a que trois choses à avoir en tête, et tu les connais déjà toutes les trois.

La masse, notée $m$ : c'est ce que mesure une balance. En 5e on la donne en grammes (g).

Le volume, noté $V$ : c'est la place occupée par l'objet. On le donne en centimètres cubes (cm³). Petit cadeau à retenir tout de suite : 1 mL = 1 cm³. Donc une éprouvette graduée en mL te donne directement des cm³, sans conversion.

Une division : oui, c'est tout le calcul du chapitre. $54 \div 20$, ta calculatrice sait faire.

L'essentiel et la formule clé

La masse volumique d'une substance, notée $\rho$ (la lettre grecque « rhô »), c'est la masse contenue dans 1 cm³ de cette substance.

Traduction : dire que l'eau a une masse volumique de $1{,}0 \text{ g/cm}^3$, ça veut simplement dire que 1 cm³ d'eau pèse 1,0 g. Rien de plus mystérieux.

C'est une propriété caractéristique : deux échantillons de la même substance pure ont exactement la même masse volumique, qu'ils soient énormes ou minuscules. Un clou en fer et une enclume en fer ont le même $\rho$.

La formule, à connaître par cœur :

$\rho = \dfrac{m}{V}$

Et ses deux versions retournées, qui servent tout autant :

$m = \rho \times V$ et $V = \dfrac{m}{\rho}$

Les valeurs de référence que ton professeur attend :

• Eau pure : $\rho = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$
• Huile végétale : $\rho \approx 0{,}9 \text{ g/cm}^3$
• Bois (chêne) : $\rho \approx 0{,}7 \text{ g/cm}^3$
• Aluminium : $\rho \approx 2{,}7 \text{ g/cm}^3$
• Fer : $\rho \approx 7{,}9 \text{ g/cm}^3$

Et le bonus qui tombe presque à chaque contrôle : si $\rho_{\text{objet}} \lt \rho_{\text{liquide}}$, l'objet flotte ; si $\rho_{\text{objet}} \gt \rho_{\text{liquide}}$, il coule.

Le petit triangle ci-dessous te redonne les trois formules d'un coup d'œil : tu caches la grandeur cherchée avec le doigt, et tu lis ce qui reste.

Un exemple fait en entier

Énoncé. Un bloc d'aluminium a une masse $m = 54 \text{ g}$ et un volume $V = 20 \text{ cm}^3$. Calcule sa masse volumique.

Étape 1 — J'écris la formule.

$\rho = \dfrac{m}{V}$

Étape 2 — Je remplace par les valeurs de l'énoncé.

$\rho = \dfrac{54}{20}$

Étape 3 — Je calcule.

$\rho = 2{,}7$

Étape 4 — Je mets l'unité. La masse est en g, le volume en cm³, donc la masse volumique est en g/cm³ :

$\rho = 2{,}7 \text{ g/cm}^3$

Étape 5 — Je conclus par une phrase. La masse volumique du bloc est de $2{,}7 \text{ g/cm}^3$, ce qui correspond bien à l'aluminium.

Voilà. Si tu sais refaire ces cinq lignes, tu as déjà l'essentiel des points du contrôle.

Les définitions, au propre

Définition. La masse volumique d'une substance est la masse contenue dans un centimètre cube de cette substance. On la note $\rho$ (« rhô »), et on l'exprime en grammes par centimètre cube, soit $\text{g/cm}^3$.

L'unité se lit littéralement comme la formule : des grammes (la masse) par (divisé par) centimètre cube (le volume). Si tu retiens l'unité, tu retrouves la formule.

Propriété caractéristique. La masse volumique ne dépend que de la substance, pas de la quantité. Deux échantillons d'un même corps pur ont toujours la même masse volumique, quelle que soit leur taille. C'est pour ça qu'on peut s'en servir comme d'une carte d'identité : on mesure $\rho$, on compare à un tableau de valeurs, et on sait de quel matériau il s'agit.

Attention à ne pas confondre masse et masse volumique. La masse dépend de la quantité de matière : un gros bloc de fer pèse plus lourd qu'un petit. La masse volumique, elle, est identique pour les deux : $7{,}9 \text{ g/cm}^3$.

Les valeurs de référence du programme :

• Eau pure : $\rho = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$
• Huile végétale : $\rho \approx 0{,}9 \text{ g/cm}^3$
• Bois (chêne) : $\rho \approx 0{,}7 \text{ g/cm}^3$
• Aluminium : $\rho \approx 2{,}7 \text{ g/cm}^3$
• Fer : $\rho \approx 7{,}9 \text{ g/cm}^3$

La formule, ses deux dérivées, et la méthode pas à pas

Une seule relation lie les trois grandeurs, et elle se décline en trois écritures selon ce que tu cherches.

Pour trouver la masse volumique (tu connais $m$ et $V$) :

$\rho = \dfrac{m}{V}$

Pour trouver la masse (tu connais $\rho$ et $V$) :

$m = \rho \times V$

Pour trouver le volume (tu connais $m$ et $\rho$) :

$V = \dfrac{m}{\rho}$

Tu n'as pas besoin d'apprendre les trois : apprends $\rho = \dfrac{m}{V}$ et retrouve les autres. Si $\rho$ est le résultat de la division de $m$ par $V$, alors $m$ est le produit $\rho \times V$, et $V$ est le quotient $\dfrac{m}{\rho}$.

Méthode complète — mesurer puis calculer la masse volumique d'un solide :

• 1. Peser l'objet avec une balance. On note la masse $m$, en grammes.
• 2. Mesurer le volume $V$ avec une éprouvette graduée, par la méthode de l'immersion : on relève le volume d'eau seul $V_1$, on plonge l'objet, on relève le nouveau volume $V_2$, et le volume de l'objet vaut $V = V_2 - V_1$. Le résultat est en mL, donc en cm³.
• 3. Appliquer $\rho = \dfrac{m}{V}$ et exprimer le résultat en $\text{g/cm}^3$.
• 4. Comparer à une valeur de référence pour conclure sur la nature du matériau, ou sur la flottaison.

Remarque importante : la méthode de l'immersion ne marche que si l'objet coule et ne se dissout pas dans l'eau. Pour un solide de forme géométrique simple, comme un pavé droit, on peut aussi calculer le volume avec la formule de géométrie.

Flotte ou coule ? La règle et son sens

Comparer deux masses volumiques permet de prévoir si un objet flotte ou coule dans un liquide, à condition que l'objet ne se dissolve pas et ne se mélange pas au liquide.

• Si $\rho_{\text{objet}} \lt \rho_{\text{liquide}}$ : l'objet flotte.
• Si $\rho_{\text{objet}} \gt \rho_{\text{liquide}}$ : l'objet coule.

Exemple du cours. Le bois de chêne a une masse volumique $\rho \approx 0{,}7 \text{ g/cm}^3$, l'eau $\rho = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$. Comme $0{,}7 \lt 1{,}0$, le bois flotte sur l'eau.

Deuxième exemple. Le fer a une masse volumique $\rho \approx 7{,}9 \text{ g/cm}^3$. Comme $7{,}9 \gt 1{,}0$, un objet en fer coule dans l'eau.

Comment le comprendre ? Ce qui compte n'est pas d'être « lourd » ou « léger » dans l'absolu, mais d'être lourd pour son volume. Un énorme tronc de chêne flotte alors qu'il pèse des centaines de kilogrammes, et un petit clou en fer coule alors qu'il pèse quelques grammes. Ce qui départage les deux, c'est bien la masse volumique, pas la masse.

Attention à la direction de la comparaison. On compare toujours l'objet au liquide dans lequel on le met. Le bois flotte sur l'eau, mais il coulerait dans un liquide de masse volumique inférieure à $0{,}7 \text{ g/cm}^3$.

Exemple 1 — calculer ρ pour identifier un matériau

Énoncé. On pose un solide inconnu sur une balance : sa masse est $m = 79 \text{ g}$. On verse de l'eau dans une éprouvette graduée jusqu'à $V_1 = 50 \text{ mL}$, puis on y plonge entièrement le solide : le niveau monte à $V_2 = 60 \text{ mL}$. De quel matériau s'agit-il ?

Ligne 1 — Je cherche d'abord le volume du solide. Le solide a chassé l'eau ; le volume qu'il occupe est exactement la montée du niveau.

$V = V_2 - V_1$

Ligne 2 — Je remplace.

$V = 60 - 50 = 10 \text{ mL}$

Ligne 3 — Je convertis, ou plutôt je constate qu'il n'y a rien à convertir. Comme $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$ :

$V = 10 \text{ cm}^3$

Ligne 4 — Maintenant, la formule.

$\rho = \dfrac{m}{V}$

Ligne 5 — Je remplace par mes deux valeurs. Attention, c'est bien $m$ en haut, pas l'inverse.

$\rho = \dfrac{79}{10}$

Ligne 6 — Je calcule et je mets l'unité.

$\rho = 7{,}9 \text{ g/cm}^3$

Ligne 7 — Je compare au tableau de références et je conclus. La valeur $7{,}9 \text{ g/cm}^3$ est celle du fer. Le solide est donc en fer.

Ligne 8 — Bonus souvent demandé. Comme $7{,}9 \gt 1{,}0$, ce solide coule dans l'eau, ce que l'expérience confirme puisqu'on a pu l'immerger entièrement.

Exemple 2 — calculer une masse à partir de ρ

Énoncé A. Quelle est la masse de $V = 50 \text{ cm}^3$ d'eau pure ? On donne $\rho = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$.

Ligne 1 — J'identifie ce que je cherche. Je connais $\rho$ et $V$, je cherche $m$. C'est donc la version multiplication de la formule.

$m = \rho \times V$

Ligne 2 — Je remplace.

$m = 1{,}0 \times 50$

Ligne 3 — Je calcule et j'unifie.

$m = 50 \text{ g}$

Ligne 4 — Je vérifie que c'est cohérent. Chaque centimètre cube d'eau pèse 1,0 g, donc 50 cm³ pèsent 50 g. Logique.

Énoncé B — un cran plus loin. Une bouteille contient $V = 250 \text{ cm}^3$ d'huile végétale, de masse volumique $\rho \approx 0{,}9 \text{ g/cm}^3$. Quelle est la masse de cette huile ?

Ligne 1 — Même formule.

$m = \rho \times V$

Ligne 2 — Je remplace.

$m = 0{,}9 \times 250$

Ligne 3 — Je calcule.

$m = 225 \text{ g}$

Ligne 4 — Je conclus. Les 250 cm³ d'huile ont une masse de 225 g.

Le réflexe à prendre : compare toujours ton résultat au cas de l'eau. Ici, 250 cm³ d'eau pèseraient 250 g. L'huile étant moins dense que l'eau, il est normal de trouver un peu moins, 225 g. Si tu avais trouvé plus de 250 g, c'est qu'il y avait une erreur.

Exemple 3 — calculer un volume à partir de ρ

Énoncé. Un objet en aluminium a une masse $m = 13{,}5 \text{ g}$. Sachant que la masse volumique de l'aluminium vaut $\rho \approx 2{,}7 \text{ g/cm}^3$, quel est son volume ?

Ligne 1 — J'identifie. Je connais $m$ et $\rho$, je cherche $V$. C'est la troisième écriture.

$V = \dfrac{m}{\rho}$

Ligne 2 — Je remplace.

$V = \dfrac{13{,}5}{2{,}7}$

Ligne 3 — Je calcule.

$V = 5$

Ligne 4 — Je mets l'unité. Des grammes divisés par des g/cm³ donnent des cm³ :

$V = 5 \text{ cm}^3$

Ligne 5 — Je conclus. L'objet occupe un volume de 5 cm³.

Vérification en trente secondes : je reprends mon résultat et je remonte dans l'autre sens. $m = \rho \times V = 2{,}7 \times 5 = 13{,}5 \text{ g}$. Je retombe sur la masse de l'énoncé, donc mon volume est juste. Ce contrôle-là est gratuit, prends l'habitude de le faire.

Les subtilités et ce que le correcteur attend

1. L'égalité qui sauve des vies : $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$. Une éprouvette est graduée en mL, un volume de solide s'exprime en cm³ : ce sont les mêmes nombres. Aucune conversion, mais écris quand même la ligne, le correcteur veut voir que tu le sais.

2. Le volume n'est pas toujours donné par immersion. Pour un solide en forme de pavé droit, on le calcule par la géométrie : $V = L \times l \times h$, avec les trois dimensions exprimées dans la même unité. Trois longueurs en cm donnent un volume en cm³.

3. Le lien entre les unités est celui de la formule. Si $m$ est en g et $V$ en cm³, alors $\rho$ est en g/cm³. Vérifie ce couple d'unités avant de lancer le calcul, pas après.

4. Une masse volumique ne dépend jamais de la quantité. Si un exercice te dit « on coupe le bloc en deux », la masse est divisée par deux, le volume aussi, et $\rho$ ne bouge pas. C'est même souvent la question piège du contrôle.

5. Ce que le correcteur veut voir, dans cet ordre :

• La formule littérale écrite avec les lettres, avant tout chiffre.
• L'application numérique : la même formule avec les valeurs à la place des lettres.
• Le résultat suivi de son unité. Un résultat sans unité est un résultat faux.
• Une phrase de conclusion qui répond à la question posée, avec des mots.

6. Les arrondis. Les valeurs de référence sont approchées, d'où le signe $\approx$. Si tu trouves $2{,}68 \text{ g/cm}^3$ pour un métal, tu peux conclure qu'il s'agit d'aluminium ($\approx 2{,}7 \text{ g/cm}^3$) : la comparaison se fait à la valeur la plus proche du tableau, pas à l'identique parfait.

Problème type 1 — identifier un métal et prévoir sa flottaison

Énoncé. Au laboratoire, on dispose d'un morceau de métal non identifié. La balance affiche $m = 135 \text{ g}$. On remplit une éprouvette graduée d'eau jusqu'à $V_1 = 80 \text{ mL}$, on y plonge le métal, et le niveau monte à $V_2 = 130 \text{ mL}$.

Question a. Déterminer la masse volumique du métal.
Question b. Identifier le métal.
Question c. Ce métal flotte-t-il sur l'eau ?

a) Volume par immersion. Le volume du métal est égal à la montée du niveau d'eau :

$V = V_2 - V_1 = 130 - 80 = 50 \text{ mL}$

Or $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$, donc $V = 50 \text{ cm}^3$.

Formule littérale :

$\rho = \dfrac{m}{V}$

Application numérique :

$\rho = \dfrac{135}{50} = 2{,}7$

Résultat avec unité : $\rho = 2{,}7 \text{ g/cm}^3$.

b) Identification. D'après le tableau de valeurs de référence, $2{,}7 \text{ g/cm}^3$ correspond à l'aluminium. Le métal est donc de l'aluminium.

c) Flottaison. On compare la masse volumique du métal à celle de l'eau :

$\rho_{\text{objet}} = 2{,}7 \text{ g/cm}^3$ et $\rho_{\text{eau}} = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$

Comme $2{,}7 \gt 1{,}0$, on a $\rho_{\text{objet}} \gt \rho_{\text{liquide}}$ : le morceau d'aluminium coule dans l'eau.

Phrase de conclusion attendue. Le métal a une masse volumique de $2{,}7 \text{ g/cm}^3$ : c'est de l'aluminium, et il coule dans l'eau car sa masse volumique est supérieure à celle de l'eau.

Problème type 2 — le bloc de bois, et les pièges classiques

Énoncé. Un pavé droit taillé dans du chêne mesure $L = 20 \text{ cm}$ de long, $l = 10 \text{ cm}$ de large et $h = 5 \text{ cm}$ de haut. La masse volumique du chêne vaut $\rho \approx 0{,}7 \text{ g/cm}^3$.

Question a. Calculer le volume du bloc.
Question b. En déduire sa masse.
Question c. Le bloc flotte-t-il sur l'eau ?

a) Volume par la géométrie. Ici, pas d'immersion possible puisqu'on va montrer que le bloc flotte : on utilise la formule du pavé droit.

$V = L \times l \times h$

$V = 20 \times 10 \times 5$

$V = 1000 \text{ cm}^3$

Les trois longueurs étaient bien en centimètres, donc le volume est en centimètres cubes.

b) Masse. Je connais $\rho$ et $V$, je cherche $m$ :

$m = \rho \times V$

$m = 0{,}7 \times 1000$

$m = 700 \text{ g}$

Le bloc de chêne a une masse de 700 g.

c) Flottaison. On compare :

$\rho_{\text{bois}} \approx 0{,}7 \text{ g/cm}^3 \quad \lt \quad \rho_{\text{eau}} = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$

Comme $\rho_{\text{objet}} \lt \rho_{\text{liquide}}$, le bloc de chêne flotte sur l'eau. Remarque que sa masse de 700 g n'intervient pas du tout dans cette conclusion : seule la comparaison des masses volumiques compte.

Les pièges classiques, à relire la veille :

• Confondre masse et masse volumique. Un gros bloc de fer pèse plus lourd qu'un petit, mais leur masse volumique est identique : $7{,}9 \text{ g/cm}^3$. « Plus lourd » ne veut jamais dire « masse volumique plus grande ».
• Inverser la formule. C'est $\rho = \dfrac{m}{V}$, jamais $\dfrac{V}{m}$. Si tu trouves 0,37 au lieu de 2,7, tu as divisé à l'envers.
• Mélanger les unités. Si $m$ est en g et $V$ en cm³ (ou mL), alors $\rho$ est en g/cm³. Vérifie avant de calculer.
• Oublier de soustraire. Dans une immersion, le volume du solide est $V_2 - V_1$, pas $V_2$. Utiliser $V_2$ tout seul est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
• Répondre sans phrase. Un nombre seul en bout de copie ne rapporte pas tous les points, même s'il est juste.

Pourquoi ρ ne dépend pas de la taille : la proportionnalité

On dit que la masse volumique est une propriété caractéristique, mais pourquoi ? Faisons la démonstration en douceur avec de l'eau.

Prends $1 \text{ cm}^3$ d'eau : $m = 1{,}0 \text{ g}$. Prends-en $2 \text{ cm}^3$ : $m = 2{,}0 \text{ g}$. $10 \text{ cm}^3$ : $m = 10 \text{ g}$. $50 \text{ cm}^3$ : $m = 50 \text{ g}$.

La masse et le volume d'une même substance sont proportionnels : si tu doubles le volume, tu doubles la masse. Or, dans une situation de proportionnalité, le quotient de deux grandeurs correspondantes est constant. Ce quotient constant, c'est justement

$\dfrac{m}{V} = \rho$

Autrement dit, $\rho$ est le coefficient de proportionnalité entre le volume et la masse. C'est exactement la même chose qu'en mathématiques quand tu écris $m = \rho \times V$ : c'est un tableau de proportionnalité déguisé, et $\rho$ est le nombre par lequel on multiplie.

Conséquence graphique : si tu représentes la masse en fonction du volume pour une même substance, tu obtiens une droite qui passe par l'origine. Sa pente, c'est la masse volumique. Deux substances différentes donnent deux droites de pentes différentes, et la plus « raide » est celle dont la masse volumique est la plus grande.

Tu retrouves là un pont direct avec le cours de mathématiques de 5e sur la proportionnalité. Les deux chapitres racontent la même histoire avec des mots différents.

Les ponts avec le reste du programme de 5e

Avec la conservation de la masse lors des changements d'état. Quand de l'eau gèle, sa masse ne change pas : c'est la même matière. Mais son volume augmente légèrement. Or $\rho = \dfrac{m}{V}$ : si $m$ reste constant et que $V$ augmente, alors $\rho$ diminue. La glace a donc une masse volumique un peu plus faible que celle de l'eau liquide, et c'est précisément pour cela qu'un glaçon flotte. Deux chapitres, une seule formule : tu viens d'expliquer un phénomène du quotidien.

Avec les corps purs et les mélanges. La masse volumique est une propriété caractéristique des corps purs. C'est ce qui permet de s'en servir comme test d'identification : tu mesures $\rho$, tu compares au tableau, et tu nommes la substance. Ce raisonnement ne fonctionne pas sur un mélange quelconque, dont la masse volumique dépend des proportions.

Avec les mélanges non miscibles. Verse de l'huile ($\rho \approx 0{,}9 \text{ g/cm}^3$) et de l'eau ($\rho = 1{,}0 \text{ g/cm}^3$) dans le même verre : elles ne se mélangent pas et se rangent d'elles-mêmes, l'huile au-dessus, l'eau en dessous. La règle de flottaison ne concerne donc pas que les solides : elle explique aussi comment se superposent les liquides non miscibles, du moins dense en haut au plus dense en bas.

L'an prochain, et après

L'unité officielle change : le kilogramme par mètre cube. En 5e, on travaille en $\text{g/cm}^3$ parce que les nombres sont agréables. Dans les classes suivantes, l'unité du Système international apparaît : le $\text{kg/m}^3$. La conversion est toujours la même, un facteur mille :

$1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$

Ainsi l'eau, qui vaut $1{,}0 \text{ g/cm}^3$, vaut aussi $1000 \text{ kg/m}^3$. C'est la même grandeur, habillée autrement. Le fer passe de $7{,}9 \text{ g/cm}^3$ à $7900 \text{ kg/m}^3$.

Le cas des gaz. On peut aussi parler de la masse volumique d'un gaz. Celle de l'air est très faible, de l'ordre de mille fois plus petite que celle de l'eau, ce qui explique pourquoi une bouteille « vide » ne semble rien peser alors qu'elle contient bien de l'air. C'est aussi ce qui permet à une montgolfière de s'élever : l'air chaud qu'elle contient a une masse volumique plus faible que l'air froid qui l'entoure. La règle de flottaison, encore elle, mais dans un gaz.

La densité. Tu croiseras un mot voisin, la densité : c'est la comparaison de la masse volumique d'une substance à celle de l'eau. Comme on divise deux masses volumiques l'une par l'autre, les unités disparaissent et la densité est un nombre sans unité. Pratique : en $\text{g/cm}^3$, la valeur numérique de la densité d'un solide ou d'un liquide est la même que celle de sa masse volumique. Le fer a une masse volumique de $7{,}9 \text{ g/cm}^3$ et une densité de $7{,}9$.

La poussée d'Archimède. Tu as appris quand un objet flotte ; plus tard, tu apprendras pourquoi. Un objet plongé dans un liquide subit une force verticale dirigée vers le haut, la poussée d'Archimède, qui dépend du volume immergé et de la masse volumique du liquide. La comparaison $\rho_{\text{objet}}$ contre $\rho_{\text{liquide}}$ que tu utilises aujourd'hui comme une règle deviendra alors le résultat d'un calcul de forces. La règle ne changera pas, tu sauras juste d'où elle vient.