Evaluation pythagore 4eme : les trois cas et leur rédaction

Une recherche « evaluation pythagore 4eme » rapporte surtout des sujets à imprimer. Cette page fait autre chose : elle montre les trois questions qu'un contrôle peut poser sur le théorème et la rédaction attendue pour chacune, à l'usage de l'élève de 4e et du parent qui l'aide à réviser.

Evaluation pythagore 4eme : ce que le contrôle demande

Une évaluation sur Pythagore en 4e demande l'une de trois choses. Il faut soit calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle avec l'égalité de Pythagore, soit prouver qu'un triangle est rectangle avec la réciproque, soit prouver qu'il ne l'est pas. Chaque réponse se rédige dans le même ordre : le triangle et ses données, la propriété utilisée, le calcul, la conclusion.

Les deux énoncés à savoir par cœur sont courts. Voici le théorème : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Et voici la réciproque : si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Le premier sert à calculer et le second à prouver. Une bonne partie du contrôle consiste à savoir lequel appeler.

En géométrie, le professeur lit la démonstration ligne par ligne. Une copie qui donne le bon nombre sans citer la propriété lui laisse une démonstration à trous, même si le calcul est juste.

Si le cours n'est pas encore en place, commencez par notre article sur le théorème de Pythagore en 4e, puis revenez ici pour la rédaction.

Quelle propriété utiliser : l'arbre de décision

Le choix de la propriété se fait avant le premier calcul, en lisant l'énoncé. Une seule question suffit pour trier : l'angle droit est-il donné, ou est-ce lui qu'on cherche ?

1. L'énoncé dit « rectangle en A », ou la figure porte le codage de l'angle droit, et il demande une longueur. On applique le théorème de Pythagore (cas 1 ci-dessous).
2. L'énoncé donne les trois longueurs et demande si le triangle est rectangle. On repère le plus grand côté, puis on calcule séparément son carré et la somme des carrés des deux autres.
3. Les deux nombres obtenus sont égaux : la réciproque permet de conclure que le triangle est rectangle (cas 2).
4. Les deux nombres sont différents : le triangle n'est pas rectangle (cas 3).

Un piège se glisse entre la première et la deuxième branche. Une figure qui « a l'air » d'avoir un angle droit ne prouve rien. Sans une phrase de l'énoncé ou un codage sur la figure, l'angle droit n'est pas donné, et on est dans la branche 2.

Sur votre fiche de révision, soulignez dans chaque exercice la phrase qui donne l'angle droit ou qui le demande, avant d'écrire le moindre chiffre.

Cas 1 : calculer une longueur dans un triangle rectangle

Énoncé : le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.

Voici la rédaction attendue, phrase par phrase.

1. Le triangle et ses données : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc son hypoténuse est [BC]. »
2. La propriété : « D'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². »
3. Le calcul : « BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = √100 = 10. »
4. La conclusion : « BC mesure 10 cm. »

La variante qui demande le plus d'attention cherche un côté de l'angle droit. Énoncé : le triangle RST est rectangle en S, avec RT = 13 cm et RS = 5 cm. Calculer ST. La première ligne repère l'hypoténuse [RT] et la deuxième écrit RT² = RS² + ST². Le calcul devient ensuite une soustraction : 13² = 5² + ST², soit 169 = 25 + ST², donc ST² = 169 − 25 = 144 et ST = √144 = 12. Conclusion : ST mesure 12 cm. On peut vérifier d'un coup d'œil, puisqu'un côté de l'angle droit est toujours plus court que l'hypoténuse.

Quand la racine ne tombe pas juste, l'énoncé précise l'arrondi. Avec AB = 4 cm et AC = 5 cm, on obtient BC² = 16 + 25 = 41, puis BC = √41 ≈ 6,4 cm au dixième près. Le signe ≈ remplace le signe = sur cette ligne seulement. L'arrondi se fait à la toute fin, jamais sur les carrés.

Refaites les trois calculs de cette section sur une feuille blanche, puis vérifiez que les quatre temps de la rédaction y figurent bien.

Cas 2 : prouver qu'un triangle est rectangle avec la réciproque

Énoncé : le triangle DEF est tel que DE = 9 cm, EF = 12 cm et DF = 15 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

1. Le triangle et ses données : « Dans le triangle DEF, le plus grand côté est [DF]. »
2. Le calcul, en deux temps séparés : « D'une part, DF² = 15² = 225. D'autre part, DE² + EF² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. »
3. Le constat : « On constate que DF² = DE² + EF². »
4. La propriété et la conclusion : « D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E. »

Ici, la propriété arrive en dernier, parce que c'est le constat d'égalité qui autorise à l'utiliser.

Deux détails font la différence sur la copie. Le « d'une part, d'autre part » est là parce qu'on ne sait pas encore si l'égalité est vraie. L'écrire d'entrée, comme dans le cas 1, revient à affirmer ce qu'on veut démontrer. La conclusion, elle, nomme le sommet de l'angle droit, qui est le sommet opposé au plus grand côté. [DF] relie D et F, donc l'angle droit est en E.

Prenez dans votre cahier un triangle dont les trois longueurs sont données et rédigez-le sur ce modèle sans regarder la correction.

Cas 3 : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Énoncé : le triangle GHI est tel que GH = 5 cm, HI = 7 cm et GI = 9 cm. Ce triangle est-il rectangle ?

1. Le triangle et ses données : « Dans le triangle GHI, le plus grand côté est [GI]. »
2. Le calcul : « D'une part, GI² = 9² = 81. D'autre part, GH² + HI² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74. »
3. Le constat : « On constate que GI² ≠ GH² + HI². »
4. La propriété et la conclusion : « D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle GHI n'est pas rectangle. »

La formule de la dernière ligne change d'un professeur à l'autre. Certains font écrire « d'après la contraposée du théorème de Pythagore », d'autres « d'après le théorème de Pythagore ». Les deux reposent sur le même raisonnement : si le triangle était rectangle, l'égalité serait vraie, or elle ne l'est pas. Le plus sûr est de reprendre mot pour mot la phrase du cahier.

Le risque, dans ce cas, se trouve dans la conclusion. Après deux exercices où le triangle était rectangle, on peut écrire « rectangle » par habitude alors que 81 et 74 sont différents.

Ouvrez le cahier à la leçon et recopiez, en marge de ce cas 3, la formule exacte de votre professeur.

Les erreurs qui coûtent des points

Nous n'avons pas de relevé chiffré de nos séances sur ce chapitre, donc pas de classement des erreurs à vous présenter. La liste qui suit reprend les quatre temps de la rédaction : chaque erreur correspond à un temps oublié ou mal fait.

• Prendre le mauvais côté pour l'hypoténuse. C'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long des trois.
• Additionner au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit. Si le résultat dépasse l'hypoténuse, le calcul est faux.
• Écrire 6² = 12. Un carré est un nombre multiplié par lui-même : 6² = 6 × 6 = 36.
• Additionner les longueurs au lieu de leurs carrés, et écrire BC = 6 + 8. On additionne les carrés, puis on prend la racine.
• Dans la réciproque, poser l'égalité avant de l'avoir vérifiée au lieu d'écrire « d'une part, d'autre part ».
• Oublier l'unité, ou le sommet de l'angle droit, dans la conclusion.
• Arrondir un carré en cours de calcul, ce qui fausse le résultat final.

Reprenez votre dernière copie de géométrie et cherchez ces sept points un par un, crayon en main.

Pour le parent : faire réviser la veille sans être à l'aise en maths

Pour vérifier une rédaction, vous n'avez pas besoin de refaire les calculs. Il suffit de savoir ce qui doit apparaître sur la feuille, et cette page vous le donne. La veille du contrôle, vous pouvez procéder ainsi.

1. Faites réciter les deux énoncés de la première section, le théorème puis la réciproque. Vous lisez le texte, votre enfant le dit sans le voir.
2. Donnez-lui un des trois énoncés de cette page, cachez la rédaction modèle et laissez-le rédiger seul.
3. Comparez ligne à ligne avec le modèle : le triangle et ses données, la propriété, le calcul, la conclusion. La ligne qui manque est celle à retravailler, même quand le nombre final est juste.
4. Avant chaque nouvel exercice, posez la question de l'arbre : « l'angle droit est-il donné, ou est-ce qu'on le cherche ? » La réponse indique quelle propriété viendra ensuite.

Pour inventer d'autres exercices dont vous connaissez déjà la réponse, changez les longueurs en prenant des nombres qui tombent juste. Avec 3, 4 et 5, ou 5, 12 et 13, ou encore 8, 15 et 17, on obtient un triangle rectangle. Avec 4, 5 et 6, le triangle ne l'est pas, puisque 6² = 36 alors que 4² + 5² = 41.

Les carrés ne servent pas que dans ce chapitre. On les retrouve dans le calcul littéral en 4e et dans la factorisation en 4e, où savoir sans calculatrice que 12² = 144 fait gagner du temps. Si c'est la démonstration elle-même qui manque (données, propriété, conclusion), elle se travaille déjà en 5e, et une évaluation sur la symétrie centrale en 5e permet de s'y exercer sur des figures plus simples. Si ce sont les opérations qui bloquent, multiplier deux décimaux par exemple, une évaluation de maths de 6e permet de reprendre les bases.

Pour ce soir, une seule rédaction complète suffit : refaite sans le modèle, puis comparée ligne à ligne.

Le soutien scolaire collège de Vidyalaya, à Paris 10e

Vidyalaya est une association loi 1901, implantée dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019 et entièrement bénévole depuis février 2024. Notre soutien scolaire collège a repris en septembre 2026, en présentiel. Il a lieu 2 heures par semaine, le dimanche, au 16 rue Demarquay (Paris 10e), près de la gare du Nord.

L'élève vient avec son cahier. Les bénévoles reprennent avec lui la propriété telle que son professeur l'a écrite, puis la rédaction, sur les exercices de sa classe. Nous gardons la formule du cahier, parce que c'est celle que le professeur attend.

Nous ne connaissons pas le sujet du contrôle, nous ne remplaçons pas le professeur et nous ne promettons pas de note. La participation aux frais se situe entre 10 et 15 € de l'heure de cours. Le montant exact est fixé à l'inscription, selon la situation de la famille.

Pour inscrire votre enfant, écrivez-nous depuis la page contact en précisant sa classe et la matière à travailler.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème part d'un triangle rectangle et donne une égalité entre les longueurs : il sert à calculer. La réciproque part de cette égalité, vérifiée par le calcul, et conclut que le triangle est rectangle : elle sert à prouver.

Comment repérer l'hypoténuse ?

C'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est le plus long des trois. Dans un triangle ABC rectangle en A, c'est [BC], le seul côté qui ne passe pas par A.

Faut-il arrondir le résultat ?

Seulement si la racine ne tombe pas juste, et à la précision demandée par l'énoncé. On écrit alors ≈ au lieu de =, et on arrondit à la dernière ligne, jamais avant.

Peut-on se faire aider en présentiel à Paris ?

Oui, le dimanche, au 16 rue Demarquay (Paris 10e), dans le cadre du soutien scolaire collège de l'association. L'inscription se fait par la page contact.