Exercice reciproque thales : corrigés et rédaction du brevet

Vous avez tapé « exercice reciproque thales » et beaucoup de pages vous renvoient une liste d'énoncés. Vous trouverez ici la règle, des exercices corrigés et rédigés en entier, et les deux erreurs qui rendent une preuve fausse même quand les calculs sont justes.

« Exercice reciproque thales » : ce que la réciproque prouve

La réciproque du théorème de Thalès sert à prouver que deux droites sont parallèles. Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On calcule chaque rapport séparément, puis on compare des valeurs exactes, jamais des valeurs arrondies.

La propriété pose donc deux conditions, et il faut vérifier les deux. Tout le monde retient l'égalité des rapports. On oublie plus facilement l'ordre des points, alors que sans lui la conclusion peut être fausse. Un contre-exemple plus bas le montre avec des longueurs précises.

Le théorème direct et la réciproque ne répondent pas à la même question. Le théorème de Thalès part de droites dont on sait qu'elles sont parallèles et sert à calculer une longueur. La réciproque part de longueurs connues et sert à décider si les droites sont parallèles. L'énoncé vous dit lequel employer. « Sachant que (MN) // (BC), calculer AN » demande le théorème direct. « Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? » demande la réciproque.

Avant tout calcul, soulignez le mot « parallèles » dans l'énoncé. S'il fait partie des données, prenez le théorème direct. S'il est dans la question, prenez la réciproque et suivez la méthode de cette page.

Appliquer le théorème de Thalès et sa réciproque en troisième

Les deux exercices suivants couvrent les deux figures que l'on rencontre en 3e. Dans la configuration emboîtée, le petit triangle AMN est à l'intérieur du grand triangle ABC. Dans la configuration papillon, les deux triangles se touchent par le sommet A et s'ouvrent de part et d'autre.

Exercice 1, configuration emboîtée. Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points A, N, C. On donne AM = 6 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm et AC = 10 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

Corrigé. Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, et les points A, N, C aussi. D'une part, AM/AB = 6/15 = 2/5. D'autre part, AN/AC = 4/10 = 2/5. Donc AM/AB = AN/AC. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exercice 2, configuration papillon. Les droites (MB) et (NC) se coupent en A. Les points M, A, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points N, A, C. On donne AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 6 cm et AC = 9 cm. Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Corrigé. Les points M, A, B sont alignés dans cet ordre, et les points N, A, C aussi : A se trouve entre M et B, et entre N et C. D'une part, AM/AB = 4/6 = 2/3. D'autre part, AN/AC = 6/9 = 2/3. Donc AM/AB = AN/AC. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Les deux rédactions ne diffèrent que par la phrase sur l'ordre des points. C'est voulu. La méthode reste la même d'une figure à l'autre, seule la description de l'alignement change.

Une fois le parallélisme démontré, le théorème direct permet de calculer une longueur manquante, par exemple MN quand BC est donnée. Cette seconde étape est traitée dans notre article d'exercices sur le théorème de Thalès. Pour vous entraîner sur la réciproque elle-même, ouvrez la fiche d'exercices de 3e sur Thalès et sa réciproque, que vous pouvez imprimer depuis votre navigateur.

Le gabarit de rédaction en trois temps

Une démonstration par la réciproque se rédige en trois temps. Recopiez-les dans cet ordre et changez seulement les lettres et les nombres.

1. Les alignements et leur ordre. « Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points A, N, C. » Cette phrase pose l'hypothèse sans laquelle la propriété ne s'applique pas.
2. Les deux rapports, chacun de son côté. « D'une part, AM/AB = … D'autre part, AN/AC = … » Calculez chaque rapport à part, jusqu'à une fraction irréductible ou un décimal exact.
3. La conclusion par la propriété. « Donc AM/AB = AN/AC. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. » C'est le nom de la propriété qui transforme vos calculs en démonstration. Sans lui, vous avez seulement constaté que deux nombres sont égaux.

Le premier temps paraît évident quand on a la figure sous les yeux. Il faut quand même l'écrire, parce qu'une figure ne prouve rien et que l'ordre des points est une hypothèse de la propriété, au même titre que l'égalité des rapports.

Gardez ce gabarit à côté de la fiche de cours sur Thalès et sa réciproque. Sur chaque copie d'entraînement, cochez les trois temps un par un pendant la relecture.

Première erreur : oublier l'ordre des points

Deux ordres sont valables. Dans la configuration emboîtée, M est entre A et B, et N est entre A et C. Dans la configuration papillon, A est entre M et B, et aussi entre N et C. L'essentiel est que la même disposition se retrouve sur les deux droites.

Voyons ce qui se passe quand ce n'est pas le cas. Reprenons les longueurs de l'exercice 1 : AM = 6 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm et AC = 10 cm. M est toujours sur le segment [AB], mais cette fois N est placé de l'autre côté de A par rapport à C. Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, alors que les points N, A, C sont alignés dans cet ordre-là. Les rapports n'ont pas changé : AM/AB = AN/AC = 2/5.

Pourtant, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Par M, il passe une seule droite parallèle à (BC). Elle coupe la droite (AC) en un seul point N', situé sur le segment [AC]. D'après le théorème de Thalès, AN'/AC = AM/AB = 2/5, donc AN' = 4 cm. Le point N est lui aussi à 4 cm de A, mais du côté opposé, donc N et N' sont deux points différents. La parallèle à (BC) passant par M passe par N' et pas par N, donc (MN) n'est pas parallèle à (BC).

Sur votre copie, écrivez l'ordre des points en toutes lettres pour chaque droite, puis comparez les deux phrases. Elles doivent avoir la même structure : A en premier dans les deux, ou A au milieu dans les deux.

Deuxième erreur : comparer des rapports arrondis

Exercice 3. Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points A, N, C. On donne AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 5,3 cm et AC = 7,9 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

La calculatrice affiche AM/AB ≈ 0,6667 et AN/AC ≈ 0,6709. Arrondis au centième, les deux rapports donnent 0,67. Écrire « 0,67 = 0,67, donc les droites sont parallèles » mène à une conclusion fausse, et la figure ne permet pas de s'en rendre compte : l'écart est trop petit pour se voir à la règle.

Corrigé. Les points sont alignés dans le même ordre. On compare les deux rapports par un produit en croix. D'une part, AM × AC = 4 × 7,9 = 31,6. D'autre part, AB × AN = 6 × 5,3 = 31,8. Les deux produits sont différents, donc AM/AB ≠ AN/AC. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

On peut comparer en valeurs exactes de plusieurs façons. Simplifier chaque fraction fonctionne quand les nombres sont entiers (6/15 et 4/10 donnent toutes les deux 2/5). Le produit en croix fonctionne toujours. Un quotient décimal n'est acceptable que s'il tombe juste, comme 6/15 = 0,4. Le signe ≈ dans une copie montre que l'égalité exacte a été perdue : il ne peut jamais servir à conclure au parallélisme.

Dès qu'une division ne tombe pas juste, laissez la calculatrice de côté et faites le produit en croix.

Écrire l'égalité avant de l'avoir prouvée

La dernière faute ne concerne pas les calculs mais la logique. Elle consiste à écrire en première ligne ce qu'il faut démontrer. Voici les deux versions côte à côte, sur les données de l'exercice 1.

Version fausse	Version juste
AM/AB = AN/AC	AM/AB = 6/15 = 2/5
6/15 = 4/10	AN/AC = 4/10 = 2/5
donc (MN) // (BC)	donc AM/AB = AN/AC
	même ordre, réciproque
	donc (MN) // (BC)

À gauche, la première ligne affirme le résultat avant tout calcul. C'est la ligne qu'on écrit avec le théorème direct, où l'égalité des rapports découle du parallélisme. Recopiée ici, elle place la conclusion avant la preuve. La deuxième ligne pose l'égalité de 6/15 et de 4/10 sans l'avoir vérifiée, et l'ordre des points n'apparaît nulle part. À droite, chaque rapport est calculé séparément. L'égalité n'est écrite qu'une fois les deux valeurs connues, puis la propriété est citée avec sa condition d'ordre.

Relisez votre première ligne de calcul. Si elle contient déjà « AM/AB = AN/AC », barrez-la et recommencez à partir de « D'une part ».

Thalès et Pythagore : deux réciproques, la même discipline

La réciproque du théorème de Pythagore se rédige selon la même logique. Dans un triangle ABC dont [BC] est le plus grand côté, on calcule BC² d'un côté et AB² + AC² de l'autre, puis on compare. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle en A, d'après la réciproque du théorème de Pythagore. S'ils sont différents, il ne l'est pas, d'après la contraposée.

Le piège de l'arrondi est le même. On compare des carrés calculés exactement, et un carré de nombre décimal se calcule toujours exactement. Une racine carrée arrondie, elle, ne prouve rien. On retrouve aussi la même erreur de logique : écrire « BC² = AB² + AC² » en première ligne, c'est poser comme acquis ce qu'on cherche à établir.

Pour travailler les deux réciproques ensemble, enchaînez les exercices sur la réciproque de Pythagore après ceux sur Thalès, avec la fiche de cours correspondante à portée de main.

Travailler la géométrie de 3e avec nous à Paris 10e

Vidyalaya est une association loi 1901, implantée dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019 et 100 % bénévole depuis février 2024. Notre soutien scolaire couvre notamment les maths et la préparation du brevet.

Les cours ont repris en septembre 2026, en présentiel, à raison de 2 heures par semaine, le dimanche. Depuis le 18 octobre 2026, ils ont lieu à une seule adresse : 16 rue Demarquay, Paris 10e, près de la gare du Nord. La participation aux frais se situe entre 10 et 15 € de l'heure de cours. Le montant exact est fixé à l'inscription selon la situation.

Nous ne promettons pas de note au brevet. Les exercices de cette page sont des exercices d'entraînement écrits pour elle, pas des sujets officiels. Ceux de notre bibliothèque en ligne fonctionnent de la même façon : elle compte plus de 1 100 fiches, consultables et imprimables gratuitement, avec ou sans inscription aux cours.

Pour demander une place le dimanche, écrivez-nous depuis la page contact en indiquant la classe de l'élève.

Questions fréquentes

Quelle différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème part de droites parallèles et en déduit l'égalité des rapports, ce qui sert à calculer une longueur. La réciproque part de l'égalité des rapports et de l'ordre des points, et en déduit que les droites sont parallèles.

Faut-il vraiment écrire l'ordre des points ?

Oui. C'est une hypothèse de la propriété. Sans elle, des rapports égaux ne suffisent pas, comme le montre le contre-exemple où N est placé de l'autre côté de A.

Peut-on conclure avec des valeurs arrondies ?

Non. Deux rapports différents peuvent donner la même valeur une fois arrondis. Comparez des fractions simplifiées ou faites un produit en croix.

Comment prouver que deux droites ne sont pas parallèles ?

Montrez que les deux rapports sont différents en valeurs exactes, puis citez la contraposée du théorème de Thalès.