Factorisation 4ème : la méthode du facteur commun en 3 étapes

Vous avez tapé « factorisation 4ème » avant un contrôle ou devant un devoir à relire : voici la méthode du facteur commun en trois étapes, écrite pour l'élève et pour le parent qui l'aide.

La factorisation 4ème en une phrase et une formule

Factoriser en 4ème, c'est transformer une somme ou une différence en produit, en repérant un facteur commun à tous les termes : k × a + k × b = k × (a + b). Exemple : 6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5 = 3(2x + 5). On vérifie en développant le résultat : on doit retrouver l'expression de départ.

La même règle vaut pour une différence : k × a − k × b = k × (a − b). Dans les deux cas, k est le facteur commun, c'est-à-dire le nombre ou la lettre qui multiplie chacun des termes.

La méthode repose sur deux mots, terme et facteur. Un terme est ce qu'on additionne ou ce qu'on soustrait : dans 6x + 15, il y a deux termes, 6x et 15. Un facteur est ce qu'on multiplie : dans 3(2x + 5), il y a deux facteurs, 3 et la parenthèse (2x + 5). Factoriser fait passer d'une écriture en termes à une écriture en facteurs, et développer fait le chemin inverse.

Au moment où nous écrivons, cette recherche renvoie notamment vers une vidéo, un document à télécharger et des plans de travail faits pour une classe. Ici, tout tient sur la page et se lit dans l'ordre : repérer le facteur commun, écrire le produit, vérifier. La troisième étape demande de savoir développer. Si ce n'est pas encore acquis, commencez par notre page sur le calcul littéral en 4ème, puis revenez ici.

Étape 1 : repérer le facteur commun

On commence par écrire chaque terme comme un produit, sans rien calculer. Pour 6x + 15, cela donne 6x = 3 × 2x et 15 = 3 × 5. Le nombre 3 apparaît dans les deux écritures : c'est le facteur commun.

Ce facteur peut prendre trois formes.

1. Un nombre. Dans 8x − 12, les nombres 8 et 12 sont tous les deux dans la table de 4 : le facteur commun est 4.
2. Une lettre. Dans x² + 3x, chaque terme contient x, puisque x² = x × x : le facteur commun est x.
3. Un nombre et une lettre ensemble. Dans 6x² + 9x, chaque terme contient 3 et contient x : le facteur commun est 3x.

Quand plusieurs nombres conviennent, on prend le plus grand. Dans 12x + 18, le nombre 2 est un facteur commun et donne 2(6x + 9). Ce résultat est juste mais inachevé, car la parenthèse se factorise encore par 3. En prenant 6 dès le départ, on obtient 6(2x + 3), et il ne reste plus rien à sortir de la parenthèse.

Le facteur doit se trouver dans tous les termes, pas seulement dans les deux premiers. Dans 4x + 8y + 5, le nombre 4 divise 4x et 8y mais pas 5 : il n'y a pas de facteur commun aux trois termes, et cette méthode ne s'applique pas.

À faire tout de suite : prendre une expression du cahier, écrire sous chaque terme sa décomposition en produit, puis entourer ce qui revient partout.

Étape 2 : écrire le produit

Le facteur commun s'écrit devant une parenthèse. Dans la parenthèse, on place ce qu'il reste de chaque terme, en gardant le signe qui les sépare.

8x − 12 = 4 × 2x − 4 × 3 = 4(2x − 3)

L'écriture du milieu n'est pas une formalité. Elle montre ce qui reste de chaque terme une fois le 4 retiré, et celui qui la saute fait deux opérations de tête en même temps.

Il y a un cas à connaître avant de le rencontrer : celui où un terme est égal au facteur commun. Dans 7x + 7, le second terme est 7 lui-même. Il ne disparaît pas, parce que 7 = 7 × 1 : il laisse un 1 dans la parenthèse.

7x + 7 = 7 × x + 7 × 1 = 7(x + 1)

Écrire 7(x) ferait perdre le second terme. Une règle simple permet de s'en apercevoir : la parenthèse contient autant de termes que l'expression de départ. S'il y avait deux termes au départ, il y en a deux dans la parenthèse.

À appliquer sur chaque exercice : compter les termes avant, compter les termes dans la parenthèse après, et comparer.

Étape 3 : vérifier en redéveloppant

La vérification consiste à développer le résultat, c'est-à-dire à multiplier le facteur par chaque terme de la parenthèse.

4(2x − 3) = 4 × 2x − 4 × 3 = 8x − 12

On retrouve l'expression de départ, donc la factorisation est juste. Cette étape rattrape les erreurs des deux précédentes. Avec 7(x), le développement donne 7x et non 7x + 7 : le terme 7 manque. Avec 4(2x + 3) écrit à la place de 4(2x − 3), le développement donne 8x + 12 : le signe du second terme est faux.

Il existe un second contrôle, plus rapide et moins sûr : remplacer x par un nombre dans les deux écritures. Pour x = 2, l'expression 6x + 15 vaut 6 × 2 + 15 = 27, et 3(2x + 5) vaut 3 × 9 = 27. Si les deux valeurs diffèrent, l'erreur est certaine. Si elles sont égales, c'est bon signe, mais ce n'est pas une preuve. Pour x = 2, les expressions 9x − 6 et 3(x + 2) valent toutes les deux 12, alors que 3(x + 2) se développe en 3x + 6, qui n'est pas 9x − 6. Le test avec un nombre peut donc signaler une erreur, mais il ne remplace pas le développement.

Sur la copie, la ligne de développement s'écrit sous chaque factorisation avant de passer à l'exercice suivant. Elle tient en une ligne, et c'est elle qu'on relit avant de rendre le devoir.

Quatre exemples corrigés, puis cinq à faire seul

Chaque exemple suit le même ordre : le facteur commun, le produit, la vérification.

5x + 20. Le facteur commun est 5, car 20 = 5 × 4. Produit : 5 × x + 5 × 4 = 5(x + 4). Vérification : 5(x + 4) = 5x + 20.

9x − 6. Le facteur commun est 3. Produit : 3 × 3x − 3 × 2 = 3(3x − 2). Vérification : 3(3x − 2) = 9x − 6.

4x + 4. Le facteur commun est 4, et le second terme vaut 4 × 1. Produit : 4 × x + 4 × 1 = 4(x + 1). Vérification : 4(x + 1) = 4x + 4.

x² + 3x. Le facteur commun est x. Produit : x × x + x × 3 = x(x + 3). Vérification : x(x + 3) = x² + 3x.

Cinq expressions à factoriser seul, en écrivant les trois lignes à chaque fois : a) 7x + 21 ; b) 10x − 15 ; c) 6x + 6 ; d) 3x² + 5x ; e) 14a − 21b + 7.

Réponses : a) 7(x + 3) ; b) 5(2x − 3) ; c) 6(x + 1) ; d) x(3x + 5) ; e) 7(2a − 3b + 1). La dernière expression a trois termes, donc la parenthèse en a trois, et son 1 vient du terme 7 = 7 × 1.

Si votre réponse diffère, redéveloppez-la. Quand l'expression de départ revient, la factorisation est juste, mais le facteur choisi n'était pas le plus grand : 2(3x + 3) pour le c), par exemple. Quand elle ne revient pas, le terme qui manque montre l'erreur. Pour un autre chapitre de la même classe, notre page sur le théorème de Pythagore en 4ème est en ligne.

Pour le parent qui aide à la maison

Vous n'avez pas besoin de vous souvenir du cours pour contrôler une factorisation. La troisième étape s'en charge. Demandez à votre enfant de redévelopper son résultat par écrit, devant vous, puis comparez avec l'énoncé. Si les deux expressions sont identiques, c'est juste. S'il manque un terme ou si un signe a changé, l'erreur est repérée sans que vous ayez donné la réponse.

Trois questions suivent les trois étapes et vous évitent de faire l'exercice à sa place.

1. Quel nombre ou quelle lettre retrouves-tu dans tous les termes ?
2. Quand tu le sors, que reste-t-il de chaque terme ?
3. Si tu redéveloppes, retombes-tu sur l'énoncé ?

Si la présentation demandée par le professeur diffère de celle de cette page, c'est celle du cahier qu'il faut suivre : lui seul sait ce qui sera attendu au contrôle.

Cette page donne une méthode. Elle ne dit pas où votre enfant bloque, et nous ne prétendons pas le deviner à distance, car cela se lit sur sa copie, ligne après ligne. Ce soir, vous pouvez prendre un exercice déjà corrigé en classe, cacher la correction, et lui demander les trois lignes.

Ce que cette fiche ne couvre pas

Cette fiche s'arrête au facteur commun, celui de la formule du début. D'autres techniques de factorisation existent, dont les identités remarquables. Nous n'avons pas vérifié au programme officiel, pour cet article, dans quelle classe chacune est attendue, donc nous ne l'écrivons pas. Sur ce point, le cahier de cours et le professeur font foi.

Elle ne dit rien non plus de ce que nous observons en séance sur ce chapitre : nous n'avons pas de relevé à publier, donc nous n'en écrivons pas.

Le site, lui, va au-delà des maths : la bibliothèque compte plus de 1 100 fiches en ligne. Vidyalaya prépare aussi aux examens de français. Si quelqu'un à la maison prépare le DELF, nos sujets blancs se font en ligne, par exemple le sujet DELF B1 sur le sport amateur et le sport de haut niveau, le sujet DELF B2 sur la gratuité des transports en commun ou le sujet DELF B2 sur le sport de haut niveau et l'argent public.

Quand la méthode ne suffit pas : le soutien scolaire à Paris 10e et 19e

Si les mêmes erreurs reviennent après plusieurs exercices redéveloppés, et que l'élève ne voit pas d'où elles viennent, une page ne suffit plus. Il faut quelqu'un assis à côté de lui, qui regarde la copie.

C'est ce que font nos bénévoles. Vidyalaya est une association loi 1901 constituée en novembre 2020, présente dans le quartier de la Gare du Nord depuis ses premiers cours en 2019, et 100 % bénévole depuis février 2024. Le soutien scolaire a repris en septembre 2026, en présentiel, 2 heures par semaine, dans deux lieux : Paris 10e, 16 rue Demarquay, et Paris 19e, 6 rue Léon Giraud.

La participation aux frais se situe entre 10 et 15 € de l'heure de cours. Le montant exact est arrêté à l'inscription, selon la situation. Cette fourchette concerne le soutien scolaire et lui seul.

Nous ne promettons ni une note ni une moyenne. Nous ne remplaçons pas non plus le professeur de la classe. Pour demander une place ou poser une question, écrivez-nous depuis la page contact.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme : 3(2x + 5) devient 6x + 15. Factoriser fait le chemin inverse : 6x + 15 devient 3(2x + 5). C'est la même égalité, lue dans un sens ou dans l'autre.

Comment savoir si une factorisation est juste ?

En développant le résultat. Si l'on retrouve l'expression de départ, avec les mêmes termes et les mêmes signes, elle est juste.

Que faire quand il n'y a pas de facteur commun ?

Dans 4x + 9, aucun nombre autre que 1 ne divise à la fois 4 et 9, et le second terme ne contient pas x. La méthode du facteur commun ne s'applique pas. On relit alors la consigne, qui demande peut-être de développer ou de réduire.

Pourquoi faut-il écrire un 1 dans la parenthèse ?

Parce qu'un terme égal au facteur commun s'écrit comme ce facteur multiplié par 1. Dans 7x + 7 = 7(x + 1), le 1 est ce qui reste du second terme une fois le 7 sorti. Sans lui, le développement redonne 7x et non 7x + 7.