Exercice racine carré seconde : 4 gestes, corrigés ligne à ligne

Vous avez tapé « exercice racine carré seconde » pour vous entraîner avant un contrôle : voici quinze exercices rangés par geste technique, chacun corrigé ligne à ligne avec la propriété utilisée et sa condition.

Exercice racine carré seconde : les quatre gestes à reconnaître

En seconde, les exercices sur les racines carrées portent sur quatre gestes : simplifier une racine (√50 = 5√2), réduire une somme (3√2 + √8 = 5√2), développer un produit avec les identités remarquables et supprimer la racine d'un dénominateur. Attention : √(a + b) n'est pas égal à √a + √b.

Cette recherche mène souvent à des listes rangées par niveau de difficulté ou présentées par leur nombre d'exercices. Nous avons rangé les nôtres par geste, avec pour chacun le signe qui permet de le reconnaître dans un énoncé.

1. Simplifier. Il y a un seul radical, et le nombre sous la racine est divisible par un carré : 4, 9, 16, 25, 36, 49. La consigne dit souvent « écrire sous la forme a√b ».
2. Réduire une somme. Plusieurs radicaux sont séparés par des + ou des −, avec des nombres différents sous les racines.
3. Développer. Des parenthèses contiennent une racine, et elles sont multipliées entre elles ou élevées au carré.
4. Supprimer la racine d'un dénominateur. Une fraction porte une racine en bas. La consigne dit « écrire sans racine au dénominateur » ou « rendre rationnel le dénominateur ».

Un énoncé long enchaîne parfois deux gestes, par exemple développer puis réduire. Dès votre prochain exercice, notez dans la marge le numéro du geste avant de calculer.

Ce qui change entre le collège et la seconde

Au collège, la racine carrée se rencontre avec les carrés parfaits et le théorème de Pythagore, et la calculatrice en donne une valeur approchée. En seconde, les consignes demandent une valeur exacte : la réponse attendue est 5√2, pas 7,07.

Le programme de seconde ajoute les règles de calcul sur les racines carrées, la relation entre racine carrée et valeur absolue, et l'usage des identités remarquables dans les deux sens. Le chapitre tient en cinq lignes, et chacune a sa condition.

1. Définition : pour a ≥ 0, √a est le nombre positif ou nul dont le carré vaut a. On a donc √a ≥ 0 et (√a)² = a.
2. Produit : pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √(a × b) = √a × √b.
3. Quotient : pour a ≥ 0 et b > 0, √(a / b) = √a / √b.
4. Carré sous la racine : pour tout réel a, √(a²) = |a|.
5. Somme : aucune égalité. Pour a > 0 et b > 0, √(a + b) < √a + √b.

Nous ne recopions pas ici le texte officiel du programme : c'est lui qui fait foi, et c'est votre professeur qui décide de ce qui figure au contrôle. Ouvrez votre cours et vérifiez que ces cinq lignes s'y trouvent avec leurs conditions.

Geste 1 : simplifier une racine carrée

On cherche le plus grand carré qui divise le nombre sous la racine, puis on applique la règle du produit.

Exercice 1. Écrire sous la forme a√b, avec a et b entiers et b le plus petit possible : √50, √72 et √147.

Exercice 2. Simplifier √(18/25).

Exercice 3. Calculer √12 × √27 et donner le résultat sous la forme d'un entier.

Correction de l'exercice 1

1. 50 = 25 × 2, et 25 et 2 sont positifs. La règle du produit donne √50 = √25 × √2 = 5√2.
2. 72 = 36 × 2, donc √72 = √36 × √2 = 6√2. Partir de 72 = 9 × 8 donne 3√8, qui se simplifie encore : il faut le plus grand carré.
3. 147 = 49 × 3, donc √147 = √49 × √3 = 7√3.

Correction de l'exercice 2

1. 18 ≥ 0 et 25 > 0 : la règle du quotient s'applique, √(18/25) = √18 / √25.
2. √18 = √(9 × 2) = 3√2 par la règle du produit, et √25 = 5.
3. Résultat : 3√2 / 5.

Correction de l'exercice 3

1. 12 et 27 sont positifs : la règle du produit se lit aussi de droite à gauche, √12 × √27 = √(12 × 27).
2. 12 × 27 = 324, et 324 = 18².
3. √(18²) = |18| = 18.

Autre chemin, en simplifiant chaque racine d'abord : √12 = 2√3 et √27 = 3√3, donc le produit vaut 2 × 3 × (√3)² = 6 × 3 = 18.

Avant de passer au geste suivant, écrivez de mémoire les carrés des entiers de 1 à 15. C'est dans cette liste que se cherche le diviseur.

Geste 2 : réduire une somme de racines

Seules des racines identiques s'additionnent : 3√2 + 2√2 = 5√2, comme 3x + 2x = 5x. Quand les nombres sous les racines diffèrent, on simplifie d'abord chaque terme. C'est le cas de 3√2 + √8 : comme √8 = 2√2, la somme vaut 5√2.

Exercice 4. Réduire A = √75 − 2√12 + √27.

Exercice 5. Réduire B = 2√45 + √20 − √80.

Exercice 6. Réduire C = √18 + √12 − √50 + √3.

Correction de l'exercice 4

1. √75 = √(25 × 3) = 5√3, par la règle du produit (25 et 3 sont positifs).
2. 2√12 = 2 × √(4 × 3) = 2 × 2√3 = 4√3.
3. √27 = √(9 × 3) = 3√3.
4. A = 5√3 − 4√3 + 3√3 = (5 − 4 + 3)√3 = 4√3, en factorisant par √3.

Correction de l'exercice 5

1. 2√45 = 2 × √(9 × 5) = 2 × 3√5 = 6√5.
2. √20 = √(4 × 5) = 2√5 et √80 = √(16 × 5) = 4√5.
3. B = 6√5 + 2√5 − 4√5 = (6 + 2 − 4)√5 = 4√5.

Correction de l'exercice 6

1. √18 = 3√2, √12 = 2√3 et √50 = 5√2, toujours par la règle du produit.
2. C = 3√2 + 2√3 − 5√2 + √3.
3. On regroupe par racine : C = (3 − 5)√2 + (2 + 1)√3 = −2√2 + 3√3.
4. On s'arrête là, car √2 et √3 ne se regroupent pas. C = 3√3 − 2√2.

Une vérification à faire sur votre calculatrice : l'expression de départ et le résultat doivent donner la même valeur approchée. Pour C, les deux affichent environ 2,37.

Geste 3 : développer avec les identités remarquables

Les trois identités remarquables servent ici : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a − b)(a + b) = a² − b². Avec des racines, l'égalité (√a)² = a transforme les carrés en nombres sans radical.

Exercice 7. Développer et réduire (3 + √5)².

Exercice 8. Développer et réduire (2√3 − 1)².

Exercice 9. Calculer (√7 − 2)(√7 + 2).

Correction de l'exercice 7

1. Identité (a + b)² avec a = 3 et b = √5 : (3 + √5)² = 3² + 2 × 3 × √5 + (√5)².
2. (√5)² = 5, par définition de la racine carrée.
3. (3 + √5)² = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5.

Correction de l'exercice 8

1. Identité (a − b)² avec a = 2√3 et b = 1 : (2√3 − 1)² = (2√3)² − 2 × 2√3 × 1 + 1².
2. (2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12. Le carré porte sur le 2 et sur la racine.
3. (2√3 − 1)² = 12 − 4√3 + 1 = 13 − 4√3.

Correction de l'exercice 9

1. Identité (a − b)(a + b) = a² − b² avec a = √7 et b = 2.
2. (√7 − 2)(√7 + 2) = (√7)² − 2² = 7 − 4 = 3.
3. Le résultat est un entier, la racine a disparu. Ce produit est l'outil du geste 4.

Refaites l'exercice 8 sans regarder la correction, puis développez (2√3 + 1)². Seul le signe du terme du milieu change : vous devez trouver 13 + 4√3.

Geste 4 : supprimer la racine d'un dénominateur

Multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul ne change pas sa valeur. Le geste consiste à bien choisir ce nombre, et il y a deux cas. Si le dénominateur est une racine seule, on multiplie par cette racine. Si c'est une somme ou une différence contenant une racine, on multiplie par l'expression conjuguée, c'est-à-dire la même avec le signe opposé au milieu, pour faire apparaître a² − b².

Exercice 10. Écrire sans racine au dénominateur : 6 / √3.

Exercice 11. Écrire sans racine au dénominateur : 4 / (3 − √5).

Exercice 12. Écrire sans racine au dénominateur : (√2 + 1) / (√2 − 1).

Correction de l'exercice 10

1. Le dénominateur est une racine seule. On multiplie en haut et en bas par √3, qui n'est pas nul : 6 / √3 = (6 × √3) / (√3 × √3).
2. √3 × √3 = (√3)² = 3, par définition de la racine carrée.
3. 6√3 / 3 = 2√3.

Correction de l'exercice 11

1. Le dénominateur est une différence. Son expression conjuguée est 3 + √5, un nombre strictement positif, donc non nul.
2. Dénominateur : (3 − √5)(3 + √5) = 3² − (√5)² = 9 − 5 = 4, par l'identité (a − b)(a + b) = a² − b².
3. Numérateur : 4 × (3 + √5).
4. 4(3 + √5) / 4 = 3 + √5, après simplification par 4.

Correction de l'exercice 12

1. L'expression conjuguée de √2 − 1 est √2 + 1, qui n'est pas nulle. On multiplie en haut et en bas par ce nombre.
2. Dénominateur : (√2 − 1)(√2 + 1) = (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1.
3. Numérateur : (√2 + 1)² = (√2)² + 2 × √2 × 1 + 1² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2, par l'identité (a + b)².
4. Résultat : 3 + 2√2.

Contrôlez l'exercice 11 à la calculatrice : 4 / (3 − √5) et 3 + √5 affichent tous les deux environ 5,24. Pensez aux parenthèses autour du dénominateur.

Trouver l'erreur : trois fausses règles à démonter

Chaque phrase entre guillemets contient une erreur. Trouvez l'égalité fautive et nommez la ligne du cours qu'elle contredit, dans la liste des cinq lignes donnée plus haut.

Exercice 13. « √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7. »

Exercice 14. « √((−3)²) = −3. »

Exercice 15. « Pour tout réel x, √((x − 5)²) = x − 5. »

Correction de l'exercice 13

1. L'erreur est dans la première égalité : aucune règle ne donne la racine d'une somme (ligne 5).
2. Le calcul correct : 9 + 16 = 25, donc √(9 + 16) = √25 = 5.
3. On a bien 5 < 7, conformément à l'inégalité √(a + b) < √a + √b pour a > 0 et b > 0.
4. La raison : (√a + √b)² = a + b + 2√a√b, qui est plus grand que a + b. Or deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Correction de l'exercice 14

1. (−3)² = 9, donc √((−3)²) = √9 = 3.
2. Une racine carrée est positive ou nulle par définition (ligne 1) : le résultat −3 était exclu d'avance.
3. La règle exacte est √(a²) = |a| (ligne 4), et |−3| = 3.

Correction de l'exercice 15

1. La ligne 4 donne √((x − 5)²) = |x − 5| pour tout réel x.
2. Si x ≥ 5, alors x − 5 ≥ 0 et |x − 5| = x − 5 : l'égalité est vraie.
3. Si x < 5, alors x − 5 < 0 et |x − 5| = 5 − x : l'égalité est fausse.
4. Contre-exemple : pour x = 2, (2 − 5)² = 9 et √9 = 3, alors que x − 5 = −3.

Nous n'avons pas de statistique à donner sur la fréquence de ces erreurs, car nous n'en avons mesuré aucune sur ce chapitre. Elles figurent ici parce que chacune contredit une ligne précise du cours. Pour prolonger, calculez √(25 − 9) puis √25 − √9 et comparez les deux résultats.

Après le calcul, la fonction racine carrée

Une fois le calcul en place, la racine carrée revient en seconde sous une autre forme : la fonction qui à x associe √x, étudiée avec les fonctions carré et inverse. Elle n'est définie que pour x ≥ 0. C'est la condition de positivité écrite à chaque ligne des corrections, vue cette fois comme un ensemble de définition.

Deux pages de notre bibliothèque portent sur ce chapitre : la fiche de seconde sur les fonctions de référence (carré, inverse, racine carrée) et l'exercice qui l'accompagne. La bibliothèque compte plus de 1 100 fiches, consultables en ligne et imprimables. Commencez par la fiche, puis passez à l'exercice.

Travailler ce chapitre avec nous à Paris 10e et 19e

Vidyalaya est une association loi 1901 constituée en novembre 2020, 100 % bénévole depuis février 2024. Nous faisons du soutien scolaire du primaire au lycée, en présentiel, 2 heures par semaine, au 16 rue Demarquay (Paris 10e). Les cours ont repris en septembre 2026.

Cette page se lit gratuitement. Les séances en présentiel demandent une participation aux frais, entre 10 et 15 € de l'heure de cours, et le montant exact est arrêté à l'inscription selon la situation. Nous ne promettons pas une note au prochain contrôle, et nous ne remplaçons pas le cours de votre professeur.

D'autres séries d'exercices sont en ligne : les exercices de probabilité de seconde pour le lycée, et pour le collège les pourcentages en 3e et la symétrie centrale en 5e. Pour vous renseigner ou vous inscrire, écrivez-nous par la page contact en précisant la classe et le lieu qui vous convient.

Questions fréquentes

Quels calculs sur les racines carrées faut-il savoir faire en seconde ?

Quatre gestes : simplifier une racine, réduire une somme, développer avec les identités remarquables et supprimer la racine d'un dénominateur. S'y ajoute la relation √(a²) = |a|. Votre professeur fixe ce qui figure au contrôle.

Pourquoi √(a + b) n'est-il pas égal à √a + √b ?

Parce que les carrés des deux nombres diffèrent : (√a + √b)² = a + b + 2√a√b, alors que le carré de √(a + b) vaut a + b. Avec a = 9 et b = 16, on obtient 5 d'un côté et 7 de l'autre.

Faut-il toujours supprimer la racine du dénominateur ?

Aucune règle de calcul ne l'impose, puisque 6 / √3 et 2√3 sont le même nombre. C'est une convention d'écriture : appliquez-la quand la consigne le demande ou quand votre professeur l'attend.

Peut-on vérifier ses résultats à la calculatrice ?

Oui. La valeur approchée de l'expression de départ et celle du résultat doivent être identiques. La calculatrice vérifie, mais elle ne remplace pas la réponse exacte : 5√2 répond à la consigne, 7,07 est une approximation.