Exercice polynome du second degré, 5 corrigés classés par type

Cinq exercices de niveau Première, un par type de question, avec des corrigés qui justifient le choix de la méthode avant de dérouler le calcul.

Vous avez tapé « exercice polynome du second degré » et la recherche renvoie le plus souvent des banques d'exercices et des contrôles corrigés, à faire seul. Voici d'abord la réponse courte. Un exercice sur un polynôme du second degré ax² + bx + c se ramène le plus souvent à quatre gestes : calculer le discriminant Δ = b² − 4ac, en déduire les racines, factoriser le trinôme, étudier son signe. Il faut repérer d'abord lequel est demandé, puis choisir la forme adaptée : développée, factorisée ou canonique.

Les cinq exercices qui suivent servent à l'entraînement : un par geste, plus un sur la forme canonique. Aucun n'est un sujet officiel. Nous sommes une association de bénévoles qui fait du soutien scolaire, et ce que nous apportons ici tient à la méthode : chaque corrigé dit pourquoi on prend ce chemin plutôt qu'un autre.

Lire un exercice polynome du second degré : quel geste est demandé

Dans toute la page, f(x) = ax² + bx + c, avec a différent de 0. Le même trinôme s'écrit de trois façons et chaque écriture répond à une famille de questions.

• Forme développée, ax² + bx + c. Elle donne a, b et c, donc le discriminant.
• Forme factorisée, a(x − x₁)(x − x₂). Elle montre les racines et prépare le tableau de signes, mais elle n'existe que si Δ est positif ou nul.
• Forme canonique, a(x − α)² + β. Elle montre le sommet de la parabole, de coordonnées (α ; β), donc l'extremum et les variations.

La consigne contient le plus souvent un mot qui désigne le geste attendu.

L'énoncé dit	Le geste attendu	La forme à utiliser
« combien de solutions », « admet-elle des solutions »	signe de Δ	développée
« résoudre f(x) = 0 », « racines », « intersection avec l'axe des abscisses »	calcul des racines	développée, ou factorisée si un facteur commun est visible
« factoriser », « écrire comme un produit »	a(x − x₁)(x − x₂)	factorisée
« étudier le signe », « résoudre f(x) > 0 », « au-dessus ou en dessous de l'axe »	tableau de signes	factorisée, ou racines et signe de a
« sommet », « maximum », « minimum », « variations », « axe de symétrie »	α = −b/(2a), puis β = f(α)	canonique

Avant tout calcul, soulignez le verbe de la consigne et cherchez sa ligne dans ce tableau. Pour revoir le cours correspondant, ouvrez notre fiche de Première sur le discriminant, les racines et la factorisation.

Exercice 1 : le discriminant, pour compter les solutions

Énoncé. Sans résoudre, donner le nombre de solutions réelles de chaque équation.

• (a) 2x² − 5x + 3 = 0
• (b) x² − 6x + 9 = 0
• (c) 3x² + 2x + 1 = 0

Pourquoi cette méthode. La consigne demande combien il y a de solutions et ne demande pas leur valeur. Le signe de Δ suffit, et calculer les racines serait un travail que personne ne réclame.

Corrigé.

• (a) a = 2, b = −5, c = 3. Δ = (−5)² − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1. Δ est strictement positif, l'équation a deux solutions distinctes.
• (b) a = 1, b = −6, c = 9. Δ = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0. L'équation a une seule solution, appelée racine double.
• (c) a = 3, b = 2, c = 1. Δ = 2² − 4 × 3 × 1 = 4 − 12 = −8. Δ est strictement négatif, l'équation n'a aucune solution réelle.

Tout le calcul repose sur la lecture de a, b et c avec leur signe. Écrivez b entre parenthèses avant de l'élever au carré : (−5)² vaut 25, alors que −5² vaut −25. Le geste à prendre dès maintenant est de noter les trois coefficients en marge avant chaque calcul de Δ.

Exercice 2 : les racines, avec ou sans discriminant

Énoncé. Résoudre dans ℝ les équations suivantes.

• (a) 2x² − 5x + 3 = 0
• (b) x² + 4x − 1 = 0
• (c) 3x² − 12x = 0

Pourquoi cette méthode. Dans (a) et (b), les trois coefficients sont non nuls et aucune factorisation ne se voit, on passe donc par Δ. Quand Δ est strictement positif, les racines sont x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a). Dans (c), c vaut 0 et x est en facteur dans les deux termes. Le discriminant donnerait le même résultat par un chemin plus long.

Corrigé.

• (a) Δ = 1, calculé à l'exercice 1. x₁ = (5 − 1) / 4 = 1 et x₂ = (5 + 1) / 4 = 3/2. Les solutions sont 1 et 3/2.
• (b) a = 1, b = 4, c = −1. Δ = 4² − 4 × 1 × (−1) = 16 + 4 = 20, et √20 = 2√5. x₁ = (−4 − 2√5) / 2 = −2 − √5 et x₂ = −2 + √5.
• (c) 3x² − 12x = 3x(x − 4). Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul, donc 3x = 0 ou x − 4 = 0. Les solutions sont 0 et 4.

Vérification. La somme des racines vaut −b/a et leur produit vaut c/a. Pour (a), 1 + 3/2 = 5/2 et 1 × 3/2 = 3/2, ce qui correspond à −b/a = 5/2 et c/a = 3/2.

Dans (c), chaque facteur ramène à une équation du premier degré. Si cette étape n'est plus sûre, reprenez nos exercices de 4e sur les équations du type ax + b = c.

Exercice 3 : factoriser le trinôme

Énoncé. Factoriser chaque trinôme quand c'est possible.

• (a) −x² + x + 6
• (b) x² − 6x + 9
• (c) 3x² + 2x + 1

Pourquoi cette méthode. Factoriser un trinôme revient à trouver ses racines, puis à les placer dans la bonne écriture. Le signe de Δ décide de cette écriture.

Signe de Δ	Forme factorisée
Δ > 0	a(x − x₁)(x − x₂)
Δ = 0	a(x − x₀)², avec x₀ = −b/(2a)
Δ < 0	pas de factorisation en facteurs du premier degré

Corrigé.

• (a) a = −1, b = 1, c = 6. Δ = 1² − 4 × (−1) × 6 = 1 + 24 = 25, donc √Δ = 5. x₁ = (−1 − 5) / (−2) = 3 et x₂ = (−1 + 5) / (−2) = −2. On obtient −x² + x + 6 = −(x − 3)(x + 2).
• (b) Δ = 0 d'après l'exercice 1, et x₀ = 6/2 = 3. Donc x² − 6x + 9 = (x − 3)². On pouvait aussi reconnaître directement une identité remarquable.
• (c) Δ = −8 d'après l'exercice 1. Le trinôme ne se factorise pas, et la réponse attendue est cette phrase accompagnée du calcul de Δ.

Deux détails portent le résultat de (a). Le coefficient a reste devant le produit, ici sous la forme d'un signe moins, et x − (−2) s'écrit x + 2.

Vérification. En développant, (x − 3)(x + 2) = x² − x − 6, et le signe moins redonne bien −x² + x + 6.

La suite se trouve dans notre fiche d'exercices de Première sur le second degré, à consulter en ligne ou à imprimer.

Exercice 4 : le signe du trinôme et les inéquations

Énoncé.

• (a) Étudier le signe de f(x) = −x² + x + 6, puis résoudre f(x) ≥ 0.
• (b) Résoudre 3x² + 2x + 1 > 0.

Pourquoi cette méthode. Résoudre une inéquation du second degré, c'est lire un tableau de signes. La règle tient en une phrase : un trinôme est du signe de a partout, sauf entre ses racines quand il en a deux.

Corrigé.

(a) Les racines sont −2 et 3, trouvées à l'exercice 3, et a = −1 est négatif. f(x) est donc négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.

x	−∞		−2		3		+∞
f(x)		−	0	+	0	−

L'inégalité est large, les bornes sont donc incluses : l'ensemble des solutions de f(x) ≥ 0 est l'intervalle [−2 ; 3].

(b) Δ = −8 et a = 3 est positif. Le trinôme n'a pas de racine et garde le signe de a, donc 3x² + 2x + 1 > 0 pour tout réel x. L'ensemble des solutions est ℝ.

Vérification. Le nombre 0 est entre −2 et 3, et f(0) = 6 est positif. Le tableau est cohérent.

On peut aussi partir de la forme factorisée −(x − 3)(x + 2) et étudier le signe de chaque facteur, ce qui ramène à des inéquations du premier degré comme x − 3 > 0. Elles se révisent avec nos exercices de 3e sur les équations et inéquations du premier degré.

Exercice 5 : la forme canonique, pour le sommet et l'extremum

Énoncé. Soit f(x) = 2x² − 8x + 5. Écrire f(x) sous forme canonique, puis donner l'extremum de f et la valeur de x pour laquelle il est atteint.

Pourquoi cette méthode. La question porte sur un extremum. Le discriminant renseigne sur les racines et ne dit rien du sommet, il ne répond donc pas à la consigne. La forme canonique a(x − α)² + β affiche le sommet de la parabole, de coordonnées (α ; β), avec α = −b/(2a) et β = f(α).

Corrigé. a = 2, b = −8, c = 5. α = 8/4 = 2. β = f(2) = 2 × 2² − 8 × 2 + 5 = 8 − 16 + 5 = −3. Donc f(x) = 2(x − 2)² − 3.

Comme a est positif, la parabole est tournée vers le haut. f admet un minimum égal à −3, atteint pour x = 2. Elle est décroissante sur ]−∞ ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[, et la droite d'équation x = 2 est l'axe de symétrie de sa courbe.

Vérification. En développant, 2(x − 2)² − 3 = 2(x² − 4x + 4) − 3 = 2x² − 8x + 5. Les deux outils se rejoignent, puisque β = −Δ/(4a) : ici Δ = (−8)² − 4 × 2 × 5 = 24 et −24/8 = −3.

Dès qu'un énoncé parle de sommet, de maximum, de minimum ou de variations, commencez par calculer α.

Vérifier un résultat sans le corrigé

Quatre contrôles tiennent en une ligne chacun et s'appliquent à tous les exercices ci-dessus.

1. Pour des racines : leur somme vaut −b/a et leur produit vaut c/a.
2. Pour une forme factorisée ou canonique : en la développant, on doit retrouver ax² + bx + c.
3. Pour un tableau de signes : f(0) vaut c, et son signe doit être celui de la colonne où se trouve 0. Si 0 est une racine, prenez une autre valeur simple.
4. Pour une solution : la remplacer dans l'équation de départ doit donner une égalité vraie.

Ces contrôles disent si le résultat est juste. Ils ne disent pas si la rédaction est complète ni où une copie perd des points, et c'est la limite d'une page de corrigés. Choisissez un des cinq exercices, refaites-le sans regarder la solution, puis passez-le aux quatre contrôles.

Après la page : le soutien scolaire à Paris 10e et 19e

Pour savoir où vous perdez des points, vous et pas un élève en général, il faut quelqu'un qui lise votre copie. C'est le rôle de l'accompagnement en présentiel.

Vidyalaya est une association loi 1901 constituée en novembre 2020, implantée dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019. Elle est à but non lucratif et fonctionne entièrement avec des bénévoles depuis février 2024. Le soutien scolaire, lycée compris, a repris en septembre 2026 à raison de 2 heures par semaine, au 16 rue Demarquay, à Paris 10e.

Une participation aux frais est demandée : entre 10 et 15 € de l'heure de cours, le montant exact étant arrêté à l'inscription selon la situation. Nous ne promettons pas de note, et nous ne remplaçons pas le cours du professeur. L'inscription se fait depuis la page contact.

En attendant, la bibliothèque du site reste ouverte, avec plus de 1 100 fiches, et nous publions des articles d'exercices pour d'autres niveaux, par exemple un exercice sur la symétrie centrale en 5e.

Questions fréquentes

Comment savoir si un polynôme du second degré a des racines ?

On calcule Δ = b² − 4ac. Il y a deux racines si Δ est strictement positif, une racine double si Δ est nul, aucune racine réelle si Δ est strictement négatif.

Faut-il toujours calculer le discriminant ?

Non. Si c = 0, x se met en facteur, et si b = 0, il suffit d'isoler x². Une identité remarquable se factorise aussi sans Δ. Le discriminant fonctionne dans tous les cas, il est seulement plus long quand l'une de ces écritures apparaît.

Quelle est la différence entre forme factorisée et forme canonique ?

La forme factorisée montre les racines et n'existe que si Δ est positif ou nul. La forme canonique montre le sommet de la parabole et existe pour tout trinôme.

Peut-on travailler ce chapitre avec un bénévole de l'association ?

Oui, dans le cadre du soutien scolaire en présentiel, à Paris 10e ou 19e, 2 heures par semaine. Les modalités se précisent à l'inscription.