Fractions 4eme : les quatre opérations avec exemples résolus

Une recherche « fractions 4eme » renvoie beaucoup de fichiers à télécharger, de vidéos et de documents hébergés, alors que cette page rassemble au même endroit les quatre opérations, avec pour chacune la règle, la raison de cette règle, un exemple résolu et l'erreur à éviter, sur une page qui se lit sur un téléphone et s'imprime telle quelle.

Fractions 4eme : les quatre règles à retenir

En 4e, calculer avec des fractions veut dire savoir faire quatre opérations, sur des nombres positifs comme négatifs. Pour additionner ou soustraire, on écrit les fractions avec le même dénominateur, puis on ajoute ou on soustrait les numérateurs. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser, on multiplie par l'inverse de la seconde fraction. Dans les quatre cas, on simplifie le résultat jusqu'à obtenir une fraction irréductible.

Ces quatre phrases suffisent pour la plupart des calculs. Le risque principal, c'est de mélanger les règles : garder un dénominateur commun dans une multiplication, ou additionner les dénominateurs dans une somme. Chaque section ci-dessous explique pourquoi la règle est ce qu'elle est, parce qu'une règle comprise se confond moins facilement avec sa voisine.

Un rappel de vocabulaire avant de commencer. Dans 3/4, le 3 est le numérateur et le 4 le dénominateur. Le dénominateur dit en combien de parts égales on a coupé l'unité, et le numérateur combien de ces parts on prend. Deux fractions sont égales quand on passe de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul : 3/4 = 6/8 = 9/12. Toute la suite repose sur cette propriété.

Si cette propriété ou la simplification posent encore problème, commencez par les exercices de fractions de 6e corrigés, qui reprennent ces bases, puis revenez ici.

Additionner et soustraire des fractions : le même dénominateur d'abord

La règle. Pour calculer a/b + c/d, on transforme les deux fractions pour qu'elles aient le même dénominateur, puis on additionne les numérateurs en gardant ce dénominateur commun. La soustraction suit exactement la même règle.

Pourquoi. Le dénominateur indique la taille des parts. Des quarts et des sixièmes ne sont pas des parts de même taille, et les ajouter directement reviendrait à additionner des centimètres et des mètres sans conversion. Une fois tout redécoupé en douzièmes, les parts sont identiques et on peut les compter ensemble.

Exemple résolu. Calculons 3/4 + 5/6. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12..., et 12 est aussi un multiple de 6. On écrit 3/4 = 9/12 (on multiplie par 3 en haut et en bas) et 5/6 = 10/12 (on multiplie par 2). On obtient 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12. Comme 19 est un nombre premier qui ne divise pas 12, la fraction est irréductible.

Pour une soustraction, prenons 5/6 − 3/8. Le plus petit multiple commun à 6 et à 8 est 24. On écrit 5/6 = 20/24 et 3/8 = 9/24, et on obtient 5/6 − 3/8 = 11/24.

Avec un nombre entier, on l'écrit d'abord comme une fraction. Pour 2 + 3/5, on pose 2 = 10/5, puis 10/5 + 3/5 = 13/5.

L'erreur à éviter. C'est d'additionner les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, ce qui donne 1/2 + 1/3 = 2/5. Un contrôle rapide montre que c'est faux : 2/5 est plus petit que 1/2, alors qu'on a ajouté quelque chose à 1/2. Le bon résultat est 3/6 + 2/6 = 5/6. Comparer une somme à chacune des fractions de départ permet de repérer cette erreur avant de rendre la copie.

À vous. Calculez 2/3 + 3/5, puis 7/10 − 1/4. Réponses : 19/15 et 9/20.

Multiplier des fractions : numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble

La règle. a/b × c/d = (a × c)/(b × d). Une multiplication ne demande aucun dénominateur commun.

Pourquoi. Multiplier par une fraction revient à en prendre une part. Le calcul 2/3 × 3/4 se lit « les deux tiers de trois quarts ». Coupez une tablette en 4 et gardez 3 morceaux. Le tiers de ces trois quarts représente un quart, et deux tiers en représentent deux quarts, soit 1/2. La formule donne bien (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12, qui se simplifie en 1/2.

Exemple résolu. Calculons 2/3 × 9/10. Avant de multiplier, on décompose : (2 × 9)/(3 × 10) = (2 × 3 × 3)/(3 × 2 × 5). Le 2 et l'un des 3 apparaissent en haut et en bas, on les barre et il reste 3/5. Si l'on multiplie d'abord, on obtient 18/30, qu'il faut ensuite simplifier par 6. On arrive au même 3/5, mais avec de plus grands nombres à manipuler.

Avec un entier, on l'écrit sur 1 : 3 × 2/5 = 3/1 × 2/5 = 6/5. L'entier ne multiplie que le numérateur.

L'erreur à éviter. C'est d'appliquer la règle de l'addition. Si l'on récrit 1/2 × 1/3 sous la forme 3/6 × 2/6 en gardant 6 au dénominateur, on obtient 6/6 = 1, alors que le bon résultat est 1/6. Or le produit de deux nombres positifs plus petits que 1 est plus petit que chacun d'eux, et un résultat égal à 1 trahit donc l'erreur. Avec un entier, l'erreur symétrique consiste à écrire 3 × 2/5 = 6/15, en multipliant aussi le dénominateur.

À vous. Calculez 4/9 × 3/8 en simplifiant avant de multiplier. Réponse : 1/6.

Diviser par une fraction : multiplier par son inverse

La règle. L'inverse de c/d (avec c non nul) est d/c. Diviser par c/d revient à multiplier par d/c : a/b ÷ c/d = a/b × d/c.

Pourquoi. Partons d'un cas simple. Il y a 6 demis dans 3 unités, donc 3 ÷ 1/2 = 6, c'est-à-dire 3 × 2. Diviser par 1/2 revient à multiplier par 2, qui est l'inverse de 1/2. Dans le cas général, a/b ÷ c/d est le nombre qui, multiplié par c/d, redonne a/b. Le nombre a/b × d/c convient, puisque d/c × c/d = 1.

Exemple résolu. On calcule 3/4 ÷ 5/2 = 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10. Pour vérifier, on fait 3/10 × 5/2 = 15/20 = 3/4 : on retombe sur la fraction de départ.

Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont eux-mêmes des fractions se traite de la même façon : (2/3)/(4/9) = 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2. Pour diviser par un entier, on multiplie par son inverse : 4/7 ÷ 2 = 4/7 × 1/2 = 4/14 = 2/7.

L'erreur à éviter. La première consiste à inverser la mauvaise fraction. On retourne toujours le diviseur, c'est-à-dire la seconde fraction, et la première reste telle quelle. La deuxième consiste à confondre inverse et opposé. L'inverse de 2/3 est 3/2, alors que son opposé est −2/3. L'inverse garde le signe : l'inverse de −4/5 est −5/4. Enfin, 0 n'a pas d'inverse, et on ne divise jamais par 0.

À vous. Calculez 5/6 ÷ 10/9, puis vérifiez en multipliant votre résultat par 10/9. Réponse : 3/4.

Fractions négatives et priorités de calcul

Le signe moins peut se placer devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur : −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4). Le quotient de deux nombres négatifs est positif, par exemple (−6)/(−9) = 6/9 = 2/3. La suite dépend de l'opération. Pour un produit ou un quotient, on fixe d'abord le signe du résultat par la règle des signes : deux signes contraires donnent un résultat négatif, deux signes identiques un résultat positif. On calcule ensuite sur les nombres sans leur signe. Pour une somme ou une différence, la règle des signes ne s'applique pas. On met d'abord les fractions au même dénominateur, en portant le signe au numérateur, puis on additionne les numérateurs comme des nombres relatifs.

Exemples résolus. Pour une somme : −2/3 + 1/4 = −8/12 + 3/12 = −5/12, puisque −8 + 3 = −5. Pour un produit, prenons −2/5 × 15/4. Les deux facteurs sont de signes contraires, le produit est donc négatif. On calcule ensuite 2 × 15 = 30 et 5 × 4 = 20, ce qui donne −30/20, soit −3/2.

Dans un calcul enchaîné, les multiplications et les divisions passent avant les additions et les soustractions, sauf si des parenthèses imposent un autre ordre. Pour 1/2 + 3/4 × 2/3, on calcule d'abord 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2, puis 1/2 + 1/2 = 1.

L'erreur à éviter. C'est de calculer de gauche à droite sans regarder les signes d'opération. Sur le même calcul, on écrirait 1/2 + 3/4 = 5/4, puis 5/4 × 2/3 = 10/12 = 5/6, ce qui est faux. Avant de commencer, soulignez les multiplications et les divisions : ce sont elles qu'on effectue en premier.

À vous. Calculez −1/2 − 1/3 × 3/4. Réponse : −3/4. La multiplication donne 1/4, puis −2/4 − 1/4 = −3/4.

Simplifier le résultat : la dernière étape de chaque calcul

La règle. Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Pour simplifier, on divise le haut et le bas par un même diviseur commun, et on recommence tant qu'il en reste un.

Exemple résolu. Simplifions 42/56. Les deux nombres sont pairs, donc 42/56 = 21/28. Comme 21 et 28 sont dans la table de 7, on obtient 21/28 = 3/4. Les nombres 3 et 4 n'ont plus de diviseur commun, on s'arrête. Les critères de divisibilité font gagner du temps : un nombre pair se divise par 2, un nombre dont la somme des chiffres est dans la table de 3 se divise par 3, et un nombre terminé par 0 ou par 5 se divise par 5.

L'erreur à éviter. C'est de simplifier des termes au lieu de facteurs. Dans (2 + 6)/(2 + 4), barrer les deux 2 donne 6/4 = 3/2, alors que la fraction vaut 8/6 = 4/3. On ne simplifie que ce qui multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur. C'est la même idée qui rend la factorisation utile en calcul littéral : on transforme une somme en produit, notamment pour pouvoir simplifier. Notre page sur la factorisation en 4e détaille cette transformation.

La fraction donne aussi la valeur exacte d'un nombre. Le nombre 1/3 n'a pas d'écriture décimale exacte (0,333... ne s'arrête jamais), et 0,33 n'en est qu'une valeur approchée. Quand une consigne demande une fraction irréductible, c'est la fraction simplifiée qu'il faut rendre, pas son écriture décimale.

À vous. Simplifiez 36/48, puis 45/75. Réponses : 3/4 et 3/5.

Du soutien scolaire en 4e, sur place, à Paris 10e

Cette page explique les règles. Elle ne remplace pas une personne assise à côté de l'élève, qui le regarde faire un calcul et voit l'étape où il se trompe. Vidyalaya est une association loi 1901, implantée dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019 et entièrement bénévole depuis février 2024. Nous proposons du soutien scolaire du primaire au lycée, en maths, en français, en SVT et en physique-chimie.

Les cours ont repris en septembre 2026. Ils ont lieu en présentiel, 2 heures par semaine, le dimanche, au 16 rue Demarquay (Paris 10e), près de la gare du Nord. La participation aux frais est comprise entre 10 et 15 € de l'heure de cours, et le montant exact est fixé à l'inscription selon la situation.

Nous ne promettons ni une note ni un niveau, et nous ne remplaçons pas le cours du professeur. Pour inscrire un élève ou poser une question, écrivez-nous depuis la page contact.

Pour les autres chapitres de l'année, une page de méthode traite le théorème de Pythagore en 4e. Pour des révisions plus larges, vous trouverez des exercices de symétrie axiale de 6e et, en français, des exercices d'orthographe.

Questions fréquentes

Faut-il toujours prendre le plus petit dénominateur commun ?

Non. N'importe quel multiple commun convient, par exemple le produit des deux dénominateurs. Pour 3/4 + 5/6, le nombre 24 marche aussi bien que 12 : 18/24 + 20/24 = 38/24. Le plus petit dénominateur commun garde des nombres plus petits. Avec un autre, le résultat est juste mais doit être simplifié à la fin (38/24 = 19/12).

Comment savoir qu'une fraction est irréductible ?

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Testez les diviseurs premiers dans l'ordre (2, 3, 5, 7, 11...) jusqu'à vous assurer qu'aucun ne divise les deux nombres. Deux nombres qui se suivent, comme 19 et 20, n'ont jamais de diviseur commun autre que 1.

Quelle est la différence entre l'inverse et l'opposé d'une fraction ?

L'inverse de 2/3 est 3/2, et le produit des deux vaut 1. L'opposé de 2/3 est −2/3, et la somme des deux vaut 0. L'inverse sert à diviser, et l'opposé sert à soustraire : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Le soutien scolaire de Vidyalaya garantit-il de meilleures notes ?

Non, et nous ne le promettons pas. Nous proposons 2 heures par semaine en présentiel, le dimanche, au 16 rue Demarquay (Paris 10e), avec des intervenants bénévoles. Les conditions se précisent à l'inscription, depuis la page contact.