Vecteur vitesse

Les mots à avoir en tête (prérequis)

Avant le vecteur vitesse, trois mots doivent être clairs dans ta tête.

Le référentiel : un solide de référence (le sol, un train, la Terre...) auquel on associe un repère pour situer et une horloge pour dater. Sans référentiel, parler de mouvement n'a aucun sens.

La trajectoire : l'ensemble des positions successives occupées par le centre de masse de l'objet, vues depuis ce référentiel.

La vitesse scalaire : un simple nombre qui dit la rapidité, $v = \frac{d}{\Delta t}$, en mètres par seconde (m/s). Ici $d$ est la distance parcourue et $\Delta t$ la durée.

Dernier rappel de maths : un vecteur, c'est une flèche. Elle a un point de départ, une direction, un sens et une longueur qu'on appelle sa norme.

L'essentiel et la formule clé

La vitesse scalaire ne suffit pas : deux voitures à 50 km/h peuvent se foncer dessus ou s'éloigner. Il manque la direction et le sens. C'est tout le rôle du vecteur vitesse $\vec{v}$, qui réunit d'un coup la direction, le sens et la valeur du déplacement par unité de temps.

Sur une chronophotographie (une photo qui enregistre les positions à intervalles de temps $\Delta t$ réguliers), la valeur (la norme) de la vitesse au point $M_i$ se calcule avec la formule clé :

$v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$

Le mot piège : c'est bien $2\,\Delta t$ au dénominateur, parce que la distance $M_{i-1}M_{i+1}$ est parcourue en deux intervalles. Et pour convertir : $1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$.

Un exemple traité en entier

Une bille avance sur un plan horizontal. On relève ses positions toutes les $\Delta t = 0{,}4$ s : $M_0$ à 0 cm, $M_1$ à 6 cm, $M_2$ à 12 cm.

On cherche la vitesse au point $M_1$. On applique la formule clé :

$v_1 = \dfrac{M_0M_2}{2\,\Delta t}$

La distance $M_0M_2 = 12$ cm $= 12\times10^{-2}$ m (on convertit toujours en mètres).

$v_1 = \dfrac{12\times10^{-2}}{2\times0{,}4} = \dfrac{0{,}12}{0{,}8} = 0{,}15$ m/s.

Et le vecteur $\vec{v}_1$ complet : point d'application $M_1$, direction horizontale, sens vers les $x$ croissants, norme $0{,}15$ m/s. Voilà, tu tiens ta première vitesse vectorielle.

Décrire un mouvement : référentiel, trajectoire, vitesse scalaire

Étudier un mouvement commence toujours par un choix : celui du référentiel. C'est un solide de référence muni d'un repère d'espace et d'une horloge. Le même mouvement peut sembler très différent selon le référentiel choisi, on y reviendra.

Dans ce référentiel, la trajectoire est la courbe formée par toutes les positions successives du centre de masse de l'objet. Elle peut être une droite (mouvement rectiligne) ou une courbe (circulaire, parabolique...).

La vitesse scalaire moyenne mesure la rapidité entre deux instants : $v = \frac{d}{\Delta t}$, où $d$ est la distance parcourue et $\Delta t$ la durée. C'est un nombre positif, en m/s. Mais un nombre seul ne dit pas où l'on va : il faut passer au vecteur.

Le vecteur vitesse et ses quatre caractéristiques

Au point $M_i$ de la trajectoire, le vecteur vitesse $\vec{v}_i$ est entièrement défini par quatre caractéristiques :

1. Point d'application : le point $M_i$ lui-même, c'est de là que part la flèche.

2. Direction : celle de la droite $(M_{i-1}M_{i+1})$, qui est tangente à la trajectoire en $M_i$.

3. Sens : celui du mouvement, de $M_{i-1}$ vers $M_{i+1}$.

4. Norme (la valeur) : $v_i \approx \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$, en m/s.

Autrement dit, le vecteur vitesse moyen entre deux positions vaut $\vec{v}_{\text{moy}} = \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Delta t}$ : on prend le vecteur déplacement et on le divise par la durée. Diviser un vecteur par un nombre positif ne change ni sa direction ni son sens, seulement sa longueur.

Calcul par chronophotographie et cas du MRU

Méthode pas-à-pas pour obtenir $\vec{v}_i$ sur une chronophotographie :

Étape 1 — Repérer les trois positions consécutives $M_{i-1}$, $M_i$ et $M_{i+1}$.

Étape 2 — Direction et sens de $\vec{v}_i$ : ceux du vecteur $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$.

Étape 3 — Mesurer $M_{i-1}M_{i+1}$, la convertir en mètres, puis calculer la norme $v_i = \frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$.

Étape 4 — Représenter $\vec{v}_i$ par une flèche tracée depuis $M_i$, à une échelle choisie (par exemple 1 cm pour 0,1 m/s).

Cas particulier, le mouvement rectiligne uniforme (MRU) : la trajectoire est une droite et la norme de $\vec{v}$ reste constante. Sur la chronophotographie, cela se voit tout de suite, les espaces entre positions successives sont tous égaux. Attention, il faut réunir les deux conditions à la fois.

Ensemble 1 — un palet en mouvement rectiligne uniforme

Un palet glisse sur une patinoire. Un dispositif enregistre sa position toutes les $\Delta t = 0{,}050$ s. On lit sur la chronophotographie cinq positions $M_0$ à $M_4$, régulièrement espacées de $3{,}0$ cm chacune.

On veut la vitesse en $M_2$. D'abord la direction et le sens : la trajectoire est une droite, donc $\vec{v}_2$ est horizontal, dirigé dans le sens du mouvement (de $M_1$ vers $M_3$).

Ensuite la norme, avec la formule clé :

$v_2 = \dfrac{M_1M_3}{2\,\Delta t}$

La distance $M_1M_3$ couvre deux intervalles de $3{,}0$ cm, soit $M_1M_3 = 6{,}0$ cm $= 6{,}0\times10^{-2}$ m.

$v_2 = \dfrac{6{,}0\times10^{-2}}{2\times0{,}050} = \dfrac{6{,}0\times10^{-2}}{0{,}10} = 0{,}60$ m/s.

Comme les espaces sont tous égaux, la norme est la même en chaque point : c'est bien un mouvement rectiligne uniforme. En km/h : $0{,}60\times3{,}6 = 2{,}16 \approx 2{,}2$ km/h.

Ensemble 2 — une bille qui accélère en ligne droite

Même dispositif, mais cette fois une bille dévale une rampe puis continue tout droit ; on la filme toutes les $\Delta t = 0{,}050$ s. Les positions ne sont plus régulières : $M_0$ à 0 cm, $M_1$ à 2 cm, $M_2$ à 5 cm, $M_3$ à 9 cm, $M_4$ à 14 cm.

Premier réflexe : les espaces successifs valent 2, 3, 4, 5 cm, ils grandissent. Ce n'est donc pas un MRU, la bille accélère. Comparons deux vitesses.

En $M_1$ : $v_1 = \dfrac{M_0M_2}{2\,\Delta t} = \dfrac{5{,}0\times10^{-2}}{2\times0{,}050} = \dfrac{0{,}050}{0{,}10} = 0{,}50$ m/s.

En $M_3$ : $v_3 = \dfrac{M_2M_4}{2\,\Delta t} = \dfrac{(14-5)\times10^{-2}}{0{,}10} = \dfrac{9{,}0\times10^{-2}}{0{,}10} = 0{,}90$ m/s.

La norme passe de $0{,}50$ à $0{,}90$ m/s : la valeur augmente, ce qui confirme que la bille accélère. Le vecteur $\vec{v}$ reste horizontal (trajectoire droite), mais sa flèche s'allonge de point en point.

Ensemble 3 — lire la direction dans un virage

Dernière situation : une bille suit une trajectoire courbe (un virage). On veut $\vec{v}_2$ au point $M_2$, avec $\Delta t = 0{,}10$ s. Ici la direction n'est plus évidente à l'œil.

On trace le segment $[M_1M_3]$ : c'est lui qui donne la direction de $\vec{v}_2$ (tangente à la courbe en $M_2$), orienté de $M_1$ vers $M_3$ pour fixer le sens.

Pour la norme, on mesure la longueur du segment, disons $M_1M_3 = 5{,}0$ cm :

$v_2 = \dfrac{M_1M_3}{2\,\Delta t} = \dfrac{5{,}0\times10^{-2}}{2\times0{,}10} = \dfrac{0{,}050}{0{,}20} = 0{,}25$ m/s.

Le point d'application est $M_2$. On trace alors la flèche depuis $M_2$, le long de la tangente, dans le bon sens, à l'échelle. Remarque à garder : dans un virage, même si la norme ne changeait pas, le vecteur change quand même, parce que sa direction, elle, tourne.

Problème type entièrement résolu

Énoncé. Sur une chronophotographie, une bille lâchée sur un plan incliné occupe les positions suivantes, relevées toutes les $\Delta t = 0{,}050$ s : $M_0$ (0 cm), $M_1$ (2,0 cm), $M_2$ (5,0 cm), $M_3$ (9,0 cm), $M_4$ (14,0 cm). 1) Le mouvement est-il uniforme ? 2) Calculer $v_1$ et $v_3$. 3) Représenter $\vec{v}_3$ à l'échelle $1\,\text{cm} \leftrightarrow 0{,}20$ m/s.

1) Les distances entre positions successives valent 2,0 ; 3,0 ; 4,0 ; 5,0 cm : elles augmentent. Les espaces ne sont pas égaux, donc le mouvement n'est pas uniforme (la bille accélère).

2) En $M_1$ : $v_1 = \dfrac{M_0M_2}{2\,\Delta t} = \dfrac{5{,}0\times10^{-2}}{2\times0{,}050} = 0{,}50$ m/s.

En $M_3$ : $v_3 = \dfrac{M_2M_4}{2\,\Delta t} = \dfrac{9{,}0\times10^{-2}}{2\times0{,}050} = 0{,}90$ m/s.

3) À l'échelle $1\,\text{cm} \leftrightarrow 0{,}20$ m/s, la longueur de la flèche est $\dfrac{0{,}90}{0{,}20} = 4{,}5$ cm. On trace $\vec{v}_3$ depuis $M_3$, le long de la trajectoire, dans le sens du mouvement, avec cette longueur de 4,5 cm.

Conclusion rédigée. Le mouvement est rectiligne accéléré ; $v_1 = 0{,}50$ m/s et $v_3 = 0{,}90$ m/s ; le vecteur $\vec{v}_3$ a pour point d'application $M_3$, une direction le long du plan, un sens descendant et une longueur de 4,5 cm à l'échelle donnée.

Ce que le correcteur attend et les pièges classiques

Barème type : chaque vitesse ne rapporte tous ses points que si la formule est écrite, l'application numérique est visible, l'unité (m/s) figure, et un vecteur comporte ses quatre caractéristiques (point d'application, direction, sens, norme), pas seulement un nombre.

Les pièges qui coûtent le plus cher :

Le $2\,\Delta t$ oublié. On écrit $\frac{M_{i-1}M_{i+1}}{\Delta t}$ au lieu de $\frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$ : la vitesse est alors deux fois trop grande. La distance $M_{i-1}M_{i+1}$ est parcourue en deux intervalles, donc le dénominateur est $2\,\Delta t$.

La conversion oubliée. Garder les centimètres donne un résultat 100 fois trop grand. On convertit toujours en mètres avant de diviser ($1$ cm $= 10^{-2}$ m).

Scalaire contre vecteur. La vitesse scalaire $v$ est un nombre positif ; le vecteur vitesse $\vec{v}$ porte en plus une direction et un sens. Écrire « $\vec{v} = 0{,}5$ m/s » sans flèche ni direction fait perdre des points.

MRU affirmé trop vite. On ne conclut au mouvement rectiligne uniforme qu'après avoir vérifié que les espaces entre positions successives sont bien tous égaux, et que la trajectoire est droite. Une seule des deux conditions ne suffit pas.

Vitesse moyenne, vitesse instantanée : l'idée de tangente

Pourquoi la formule prend-elle $M_{i-1}M_{i+1}$ et non $M_iM_{i+1}$ ? Parce que $\frac{\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}}{2\,\Delta t}$ est la vitesse moyenne sur l'intervalle centré sur $M_i$ : en centrant, on obtient une bien meilleure estimation de la vitesse au point $M_i$ elle-même.

Imagine maintenant que l'on filme de plus en plus vite, avec $\Delta t$ de plus en plus petit. La droite $(M_{i-1}M_{i+1})$ se rapproche de la tangente à la trajectoire, et la vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée. C'est exactement l'idée de dérivée que tu rencontreras en maths et en physique les années suivantes : le vecteur vitesse instantané est la dérivée de la position par rapport au temps.

Quand la vitesse change : le vecteur variation de vitesse

Dès que $\vec{v}$ change, en valeur (on accélère ou on freine) ou en direction (on tourne), on peut construire le vecteur variation de vitesse $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}$ entre deux instants. C'est l'outil central de l'an prochain.

Point crucial que ta fiche de cette année annonce déjà : dans un virage à norme constante, le vecteur $\vec{v}$ change quand même, car sa direction tourne. Donc $\Delta\vec{v}$ n'est pas nul, il y a bien une variation de vitesse même sans changer d'allure.

En divisant $\Delta\vec{v}$ par la durée, on obtiendra le vecteur accélération $\vec{a} \approx \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$. Et l'accélération se relie aux forces (deuxième loi de Newton, en première) : c'est le fil qui relie ce petit chapitre au reste de la mécanique.

Le référentiel, ce choix qui change tout

Une dernière ouverture : la vitesse dépend du référentiel. Un passager assis dans un train est immobile pour son voisin (référentiel du train) mais file à 300 km/h pour un observateur sur le quai (référentiel du sol). Ni l'un ni l'autre n'a « tort » : la vitesse est relative au référentiel.

Cette idée débouche sur le principe d'inertie (déjà en seconde, côté forces) : dans un référentiel adapté, un objet soumis à des forces qui se compensent est soit immobile, soit en mouvement rectiligne uniforme, exactement le MRU que tu sais maintenant reconnaître sur une chronophotographie. La boucle est bouclée : décrire le mouvement (ici) et l'expliquer par les forces (la suite) sont les deux faces d'une même physique.