Vecteur vitesse

Décrire un mouvement ne se limite pas à sa rapidité : direction et sens sont indispensables — c'est le rôle du vecteur vitesse.

1 L'idée

Pour étudier un mouvement, on choisit un référentiel : un solide de référence auquel on associe un repère et une horloge. La trajectoire est l'ensemble des positions successives du centre de masse de l'objet dans ce référentiel.

La vitesse scalaire $v$ mesure la rapidité du déplacement, mais ne suffit pas : deux objets peuvent avoir la même valeur de vitesse tout en allant dans des directions opposées. Le vecteur vitesse $\vec{v}$ rassemble direction, sens et valeur du déplacement par unité de temps.

2 Formules clés

Vitesse scalaire moyenne

$v = \dfrac{d}{\Delta t}$

Vecteur vitesse moyen

$\vec{v}_{\text{moy}} = \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Delta t}$

Norme — chronophotographie

$v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$

Conversion

$1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}$

3 Caractéristiques du vecteur vitesse

En un point $M_i$, le vecteur vitesse $\vec{v}_i$ possède quatre caractéristiques :

Point d'application : $M_i$.
Direction : celle de la droite $(M_{i-1}M_{i+1})$, tangente à la trajectoire en $M_i$.
Sens : de $M_{i-1}$ vers $M_{i+1}$.
Norme : $v_i \approx \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$ en m/s.

Cas particulier — MRU : trajectoire rectiligne et norme de $\vec{v}$ constante. Les espaces entre positions successives sont alors égaux sur la chronophotographie.

4 Exemple numérique

Bille sur plan horizontal

Données : $\Delta t = 0{,}4$ s ; positions : $M_0$ (0 cm), $M_1$ (6 cm), $M_2$ (12 cm).

Norme en $M_1$ : $v_1 = \dfrac{M_0M_2}{2\,\Delta t} = \dfrac{12 \times 10^{-2}}{2 \times 0{,}4} = \dfrac{0{,}12}{0{,}8} = 0{,}15$ m/s.

Point d'application : $M_1$ ; direction : horizontale ; sens : vers les $x$ croissants.

Méthode — construire le vecteur vitesse sur une chronophotographie

Repérer les trois positions consécutives $M_{i-1}$, $M_i$ et $M_{i+1}$.
Direction et sens de $\vec{v}_i$ : ceux du vecteur $\overrightarrow{M_{i-1}M_{i+1}}$.
Calculer la norme : $v_i = \dfrac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\,\Delta t}$ (distances en mètres, $\Delta t$ en secondes).
Représenter $\vec{v}_i$ par une flèche à l'échelle, tracée depuis $M_i$.

Erreurs fréquentes

Utiliser $\Delta t$ au lieu de $2\,\Delta t$ dans la formule de chronophotographie.
Oublier de convertir les distances (cm $\to$ m) : le résultat serait 100 fois trop grand.
Confondre la vitesse scalaire $v$ (nombre positif) et le vecteur vitesse $\vec{v}$ (direction + sens + valeur).
Conclure à un MRU sans vérifier l'égalité des espaces entre positions successives.