Tu as un contrôle et tu n'as jamais vu la réfraction ? Pas de panique. On va poser les bases en quelques minutes. D'abord les prérequis : savoir ce qu'est un angle, repérer la normale, utiliser le sinus d'un angle. Ensuite, on attaque la loi directement avec des calculs simples. Prêt ? C'est parti.
Rappel express : angle et sinus
Un angle se mesure en degrés. Sur une calculatrice, on a les touches sin et sin⁻¹ (ou arcsin).
En optique, les angles sont mesurés depuis la normale : une droite perpendiculaire à la surface de séparation des milieux, au point où le rayon lumineux touche cette surface.
L'indice de réfraction n
Chaque milieu transparent (air, eau, verre) est caractérisé par un nombre n (sans unité, n ≥ 1). Plus n est grand, plus la lumière ralentit dans ce milieu.
$n = \frac{c}{v}$ où $c \approx 3{,}00 \times 10^8$ m/s (vitesse de la lumière dans le vide). Indices usuels : $n_{\text{air}} \approx 1$ ; $n_{\text{eau}} \approx 1{,}33$ ; $n_{\text{verre}} \approx 1{,}5$.
La loi de Snell-Descartes
Lorsqu'un rayon passe d'un milieu 1 (indice $n_1$) à un milieu 2 (indice $n_2$), les angles d'incidence $i_1$ et de réfraction $i_2$ (par rapport à la normale) vérifient :
$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$
Pour trouver $i_2$, on isole : $\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2}$, puis on utilise la touche $\sin^{-1}$ de la calculatrice.
Exemple guidé
Air ($n_1 = 1$) vers verre ($n_2 = 1{,}5$) avec $i_1 = 30°$. On écrit $1 \times \sin 30° = 1{,}5 \times \sin i_2$ $\sin i_2 = \frac{\sin 30°}{1{,}5} = \frac{0{,}500}{1{,}5} \approx 0{,}333$ $i_2 = \arcsin(0{,}333) \approx 19{,}5°$.
Vérification : $n_2 > n_1$ donc $i_2 < i_1$ ; c'est bien le cas.
À toi de jouer
1. Complète les légendes de la figure ci-dessous en utilisant les mots : normale, rayon incident, rayon réfracté, angle d'incidence ($i_1$), angle de réfraction ($i_2$). La droite en pointillés est la $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; le rayon qui arrive sur la surface est le $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; le rayon qui traverse est le $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; l'angle entre le rayon incident et la normale est $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; l'angle entre le rayon réfracté et la normale est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
La droite en pointillés est la normale ; le rayon qui arrive sur la surface est le rayon incident ; le rayon qui traverse est le rayon réfracté ; l'angle entre le rayon incident et la normale est l'angle d'incidence ($i_1$) ; l'angle entre le rayon réfracté et la normale est l'angle de réfraction ($i_2$).
2. Complète la loi de Snell-Descartes pour la réfraction : $n_1 \\sin(\underline{\hspace{1.1em}}) = n_2 \\sin(\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$.
3. On fait passer un rayon de l'air ($n_1 = 1$) dans l'eau ($n_2 = 1{,}33$), avec $i_1 = 30°$. Calcule $\sin i_2$ puis $i_2$ en complétant les trous. $1 \times \sin 30° = 1{,}33 \times \sin i_2$ $\sin i_2 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ $i_2 = \arcsin(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$°
Ah oui, c'est ça ! Tu te rappelles un peu. On va réactiver le cours avec une méthode claire, pas à pas, pour appliquer la loi. On enchaîne avec des exercices où tu vas compléter, puis faire seul.
Méthode pas à pas
Identifier les deux milieux et leurs indices $n_1$ (milieu incident) et $n_2$ (milieu réfracté).
Vérifier que les angles $i_1$ et $i_2$ sont bien mesurés depuis la normale, pas depuis la surface.
Écrire la loi : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.
Isoler l'inconnue. Pour trouver $i_2$ : $\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2}$, puis $i_2 = \arcsin\left(\frac{n_1 \sin i_1}{n_2}\right)$ (touche $\sin^{-1}$).
Contrôler la cohérence : si $n_2 > n_1$, alors $i_2 < i_1$ (le rayon se rapproche de la normale) ; si $n_2 < n_1$, alors $i_2 > i_1$ (le rayon s'éloigne).
À toi de jouer
1. Un rayon passe de l'air ($n_1 = 1$) dans l'eau ($n_2 = 1{,}33$) avec $i_1 = 40°$. Complète les étapes. a) Milieu 1 : $\underline{\hspace{1.1em}}$, $n_1 = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; Milieu 2 : $\underline{\hspace{1.1em}}$, $n_2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ b) $\underline{\hspace{1.1em}} \times \sin \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \sin i_2$ c) $\sin i_2 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \sin \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ d) $i_2 = \arcsin(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$° e) $n_2$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ grand que $n_1$, donc $i_2$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ $i_1$ : le rayon $\underline{\hspace{1.1em}}$ de la normale.
Corrigé
a) Milieu 1 : air, $n_1 = 1$ ; Milieu 2 : eau, $n_2 = 1{,}33$ b) $1 \times \sin 40° = 1{,}33 \times \sin i_2$ c) $\sin i_2 = \frac{1 \times \sin 40°}{1{,}33} = \frac{0{,}643}{1{,}33} \approx 0{,}483$ d) $i_2 = \arcsin(0{,}483) \approx 28{,}9°$ e) $n_2$ est plus grand que $n_1$, donc $i_2$ inférieur à $i_1$ : le rayon se rapproche de la normale.
2. Un rayon passe du verre ($n_1 = 1{,}5$) à l'air ($n_2 = 1$) avec $i_1 = 25°$. Complète les expressions suivantes pour trouver $i_2$. $\underline{\hspace{1.1em}} \times \sin \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \sin i_2$ $\sin i_2 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $i_2 = \arcsin(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$° Conclusion : $n_2 < n_1$, donc $i_2$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ $i_1$ ; le rayon $\underline{\hspace{1.1em}}$ de la normale.
Corrigé
$1{,}5 \times \sin 25° = 1 \times \sin i_2$ $\sin i_2 = \frac{1{,}5 \times 0{,}423}{1} = 0{,}634$ ; $i_2 = \arcsin(0{,}634) \approx 39{,}3°$ Conclusion : $n_2 < n_1$, donc $i_2 > i_1$ ; le rayon s'éloigne de la normale.
3. On mesure $i_2 = 60°$ dans l'air ($n_2 = 1$) quand un rayon arrive depuis l'eau ($n_1 = 1{,}33$). Trouve l'angle d'incidence $i_1$ en complétant. $1{,}33 \times \sin i_1 = 1 \times \sin 60°$ $\sin i_1 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ $i_1 = \arcsin(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}$°
Cinq mini-exercices quasi identiques pour mécaniser le calcul. Tu utilises la même recette : $\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2}$ puis $\arcsin$. Remplis les trous, change juste les nombres.
Maintenant tu es prêt pour des vrais énoncés de contrôle. Calcule, justifie, explique : tout doit être rédigé proprement.
À toi de jouer
1. Application directe Un rayon lumineux passe de l'air ($n_1 = 1$) dans un milieu transparent. Calcule l'angle de réfraction $i_2$ dans chaque cas : a) Verre ($n_2 = 1{,}5$), angle d'incidence $i_1 = 30°$. b) Eau ($n_2 = 1{,}33$), angle d'incidence $i_1 = 50°$.
2. Trouver l'indice Un rayon passe de l'air ($n_1 = 1$) dans un milieu inconnu. L'angle d'incidence est $i_1 = 60°$ et l'angle de réfraction mesuré est $i_2 = 35°$. a) Détermine l'indice $n_2$ du milieu. b) De quel matériau s'agit-il probablement ? (Rappel : $n_{\text{eau}} = 1{,}33$ ; $n_{\text{verre}} \approx 1{,}5$ ; $n_{\text{diamant}} \approx 2{,}42$.)
Corrigé
a) $n_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2} = \frac{1 \times \sin 60°}{\sin 35°} = \frac{0{,}866}{0{,}574} \approx 1{,}51$. b) $n_2 \approx 1{,}51 \approx n_{\text{verre}}$ : il s'agit probablement de verre.
3. Rayon sortant de l'eau Un rayon se propage dans l'eau ($n_1 = 1{,}33$) et atteint la surface eau/air avec un angle d'incidence $i_1 = 40°$. a) Calcule l'angle de réfraction $i_2$ dans l'air. b) Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale en sortant de l'eau ? Justifie.
Corrigé
a) $\sin i_2 = \frac{1{,}33 \times \sin 40°}{1} = 1{,}33 \times 0{,}643 \approx 0{,}855$ ; $i_2 = \arcsin(0{,}855) \approx 58{,}8°$. b) $n_2 = 1 < n_1 = 1{,}33$ donc $i_2 > i_1$ (ici $58{,}8° > 40°$) : le rayon s'éloigne de la normale (il passe dans un milieu moins réfringent).
4. Lame de verre à faces parallèles Un rayon dans l'air frappe la face d'entrée d'une lame de verre ($n = 1{,}5$) avec un angle d'incidence $i_1 = 45°$. Les deux faces de la lame sont parallèles. a) Calcule l'angle de réfraction $i_2$ à l'entrée dans le verre. b) À la sortie de la lame, le rayon atteint la face avec un angle d'incidence égal à $i_2$. Calcule l'angle de réfraction $i_3$ dans l'air. c) Que peux-tu conclure sur la direction du rayon émergent par rapport au rayon incident ?
Corrigé
a) $\sin i_2 = \frac{1 \times \sin 45°}{1{,}5} = \frac{0{,}707}{1{,}5} \approx 0{,}471$ ; $i_2 \approx 28{,}1°$. b) $\sin i_3 = \frac{1{,}5 \times \sin 28{,}1°}{1} \approx 1{,}5 \times 0{,}471 \approx 0{,}707$ ; $i_3 = \arcsin(0{,}707) \approx 45°$. c) $i_3 = i_1 = 45°$ : le rayon émergent est parallèle au rayon incident (il ressort décalé latéralement).
Tu maîtrises déjà le calcul des angles. L'an prochain, tu découvriras que sous certaines conditions, la réfraction disparaît et la lumière est entièrement réfléchie : c'est la réflexion totale, clé des fibres optiques. Voici un aperçu.
Quand la réfraction s'arrête : angle limite
Quand la lumière passe d'un milieu plus réfringent (indice $n_1$) vers un milieu moins réfringent ($n_2 < n_1$), l'angle de réfraction $i_2$ est toujours plus grand que $i_1$. En augmentant $i_1$, $\sin i_2$ finit par dépasser 1, ce qui est impossible. L'angle d'incidence au-delà duquel il n'y a plus de rayon réfracté s'appelle l'angle limite, noté $i_{\text{lim}}$.
Pour $i_1 > i_{\text{lim}}$, toute la lumière est réfléchie : c'est la réflexion totale.
À toi de jouer
1. a) Calcule l'angle limite $i_{\text{lim}}$ pour un rayon qui passe de l'eau ($n_1 = 1{,}33$) à l'air ($n_2 = 1$). b) Un plongeur sous l'eau envoie un rayon lumineux vers la surface avec un angle d'incidence $i_1 = 60°$. Le rayon va-t-il sortir dans l'air ? Justifie. c) Même question pour un diamant ($n = 2{,}42$) vers l'air : calcule $i_{\text{lim}}$ et explique pourquoi un diamant bien taillé « piège » la lumière.
Corrigé
a) $i_{\text{lim}} = \arcsin\left(\frac{1}{1{,}33}\right) = \arcsin(0{,}752) \approx 48{,}8°$. b) Pour $i_1 = 60° > 48{,}8°$, l'angle d'incidence dépasse l'angle limite : il n'y a pas de réfraction, la lumière subit une réflexion totale et ne sort pas dans l'air (elle reste dans l'eau). c) $i_{\text{lim}} = \arcsin\left(\frac{1}{2{,}42}\right) = \arcsin(0{,}413) \approx 24{,}4°$. Le diamant possède un angle limite très petit ; dès que la lumière entre, la plupart des rayons arrivent aux facettes avec un angle supérieur à $24{,}4°$ et sont totalement réfléchis à l'intérieur, ce qui contribue à l'éclat du diamant.
2. Un rayon laser se propage dans un bloc de verre ($n = 1{,}5$) et arrive à la surface verre/air. a) Calcule l'angle limite pour cette interface. b) Pour quels angles d'incidence $i_1$ le rayon émergera-t-il dans l'air ? c) Si $i_1 = 45°$, que se passe-t-il ?
Corrigé
a) $i_{\text{lim}} = \arcsin\left(\frac{1}{1{,}5}\right) = \arcsin(0{,}667) \approx 41{,}8°$. b) Le rayon émerge si $i_1 < i_{\text{lim}}$, c'est-à-dire $i_1 < 41{,}8°$. c) $45° > 41{,}8°$ : il y a réflexion totale, le rayon ne sort pas du verre.
3. Fibre optique (aperçu) Dans une fibre optique à saut d'indice, le cœur possède un indice $n_c = 1{,}48$ et la gaine un indice $n_g = 1{,}46$. La lumière se propage dans le cœur. a) Calcule l'angle limite à l'interface cœur/gaine. b) Explique pourquoi, même avec un angle d'incidence assez grand, la lumière reste confinée dans le cœur.
Corrigé
a) Angle limite à l'interface cœur/gaine
À l'interface cœur/gaine, la réflexion totale interne se produit lorsque le rayon réfracté rase la surface (angle de réfraction = 90°). La loi de Snell-Descartes donne :
Dès que l'angle d'incidence à l'interface cœur/gaine dépasse $80{,}6°$, il y a réflexion totale interne : aucune énergie lumineuse ne passe dans la gaine. Les rayons injectés dans la fibre voyagent quasi parallèlement à l'axe, ce qui correspond à des angles d'incidence sur la paroi supérieurs à cette valeur limite. Ils subissent donc des réflexions totales successives et restent piégés dans le cœur, assurant la propagation du signal sur de longues distances sans pertes par transmission.
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