Pas de panique si tu n'as jamais entendu parler de lentilles convergentes avant aujourd'hui. On va repartir de zéro pour te rendre opérationnel en un temps record. D'abord, on rappelle les bases : la lumière se propage en ligne droite (rayons lumineux), une lentille est un objet transparent qui dévie les rayons, et une image peut être réelle (on peut la projeter sur un écran) ou virtuelle (on la voit en regardant à travers la lentille). Ensuite, on va droit au but : les points clés de la lentille convergente, les formules essentielles et les conventions de signe. Avec ça, tu sauras déjà faire des exercices simples.
Prérequis : la lumière et les images
Tu sais déjà que la lumière se propage en ligne droite : on modélise son trajet par des rayons lumineux. Une lentille est un objet transparent, souvent en verre ou en plastique, qui dévie les rayons. Quand les rayons se concentrent après la lentille, on dit qu'elle est convergente. Si tu places un objet devant, la lentille en produit une image. Cette image est réelle si on peut la projeter sur un écran (les rayons se coupent vraiment), et virtuelle si on la voit seulement en regardant à travers la lentille (les rayons semblent provenir de l'image).
Les points clés d'une lentille convergente
Une lentille mince convergente est plus épaisse au centre que sur les bords. On définit :
l'axe optique : droite horizontale passant par le centre de la lentille, orientée dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite).
le centre optique O : tout rayon passant par O n'est pas dévié.
le foyer image F' : les rayons incidents parallèles à l'axe convergent en F' après la lentille. F' est à droite de O car lentille convergente.
le foyer objet F : symétrique de F' par rapport à O, donc à gauche. Un rayon issu de F émerge parallèle à l'axe.
La distance $\overline{OF'} = f'$ est la distance focale. Elle s'exprime en mètres (m).
Convention algébrique orientée
Pour utiliser les formules, toutes les distances sont prises algébriquement (avec un signe) par rapport à l'axe optique orienté : → axe orienté de gauche à droite (sens de la lumière). → toute distance devant la lentille (côté objet) est négative : $\overline{OA} \lt 0$ pour un objet réel. → une image réelle se forme derrière la lentille : $\overline{OA'} \gt 0$. → une image virtuelle est du même côté que l'objet : $\overline{OA'} \lt 0$. Le grandissement transversal $\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. Son signe indique si l'image est droite ($\gamma \gt 0$) ou renversée ($\gamma \lt 0$). Sa valeur absolue $|\gamma|$ indique si l'image est agrandie ($|\gamma| \gt 1$) ou réduite ($|\gamma| \lt 1$).
Les trois grandeurs fondamentales
Voici les trois formules à connaître par cœur : Vergence : $V = \dfrac{1}{f'}$ avec $f'$ en mètres ; $V$ s'exprime en dioptries (δ). Plus $V$ est grande, plus la lentille est convergente. Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$. Elle relie la position de l'objet $\overline{OA}$ et la position de l'image $\overline{OA'}$. Grandissement : $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$.
À toi de jouer
1. 1. Sur le schéma ci-dessous, identifie les trois points remarquables de la lentille. Complète les légendes.
- Le point situé au centre de la lentille est le .
- Le point situé à droite, où convergent les rayons parallèles, est le .
- Le point situé à gauche, symétrique du précédent, est le .
Corrigé
Le point au centre est le centre optique O.
Le point à droite est le foyer image F'.
Le point à gauche est le foyer objet F.
2. 2. Une lentille convergente a une distance focale $f' = 15$ cm.
a) Exprime $f'$ en mètres : $f' = \underline{\hspace{1.1em}}$ m.
b) Calcule sa vergence $V = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ δ.
Corrigé
a) $f' = 0{,}15$ m.
b) $V = \dfrac{1}{0{,}15} = 6{,}7$ δ (ou environ 6,67 δ).
3. 3. La vergence d'une lentille est $V = 8$ δ.
a) Déduis sa distance focale $f'$ en mètres : $f' = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m.
b) Convertis cette distance en centimètres : $f' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
a) $f' = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ m.
b) $f' = 12{,}5$ cm.
4. 4. Un objet réel $AB$ est placé à gauche d'une lentille convergente.
- Alors $\overline{OA}$ est (positif/négatif).
- Si l'image se forme à droite de la lentille, alors $\overline{OA'}$ est (positif/négatif) et l'image est (réelle/virtuelle).
- Si l'image se forme à gauche de la lentille, alors $\overline{OA'}$ est (positif/négatif) et l'image est (réelle/virtuelle).
Ah, tu as déjà vu ces histoires de foyers et de formules ? Parfait. On va réactiver tout ça en douceur. Rappelle-toi : on peut aussi tracer les rayons pour trouver l'image. Et la fameuse relation de conjugaison, c'est juste une machine à donner la position de l'image. On va la manipuler ensemble, et tu verras, ça va revenir.
Rappel des formules
Les trois formules à maîtriser :
Vergence : $V = \dfrac{1}{f'}$ (attention à $f'$ en mètres)
Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$
1. 1. On dispose d'une lentille convergente de distance focale $f' = 12$ cm. Un objet $AB$ est situé avant la lentille, avec $\overline{OA} = -20$ cm.
a) On utilise la relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Donc $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{-20}$.
Mets au même dénominateur et calcule $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Déduis $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
b) $\overline{OA'} \gt 0$, donc l'image est (réelle/virtuelle).
c) Calcule le grandissement $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) $\gamma = \underline{\hspace{1.1em}}$ (valeur), signe , donc image (droite/renversée) et $|\gamma| \underline{\hspace{1.1em}} 1$ donc image (agrandie/réduite).
2. 2. Même exercice avec $f' = 10$ cm et $\overline{OA} = -30$ cm.
a) $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
b) $\overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
c) L'image est (réelle/virtuelle).
d) $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) $\gamma$ est (positif/négatif) donc l'image est ; $|\gamma| = \underline{\hspace{1.1em}}$ donc l'image est (agrandie/réduite).
3. 3. Construction graphique. Voici une lentille convergente, ses foyers $F$ et $F'$, et un objet $AB$ (voir figure). Construis l'image $A'B'$ de l'objet en traçant au moins deux rayons issus de $B$. Pour cela, réponds aux questions :
a) Le rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par (écris la lettre du foyer).
b) Le rayon incident passant par le centre optique O (est dévié / n'est pas dévié).
c) Le point $B'$ est l'intersection de ces deux rayons (émergents / incidents).
d) Sur la figure, l'image $A'B'$ est-elle plus grande ou plus petite que l'objet ?
e) L'image est-elle droite ou renversée ?
Corrigé
a) F'.
b) n'est pas dévié.
c) émergents.
d) L'image est plus petite que l'objet.
e) L'image est renversée.
(Voir tracé corrigé :)
On passe à la vitesse supérieure avec des exercices simples, répétitifs. L'objectif : que le calcul de la position de l'image devienne un automatisme. Tu vas faire cinq fois le même type d'exercice avec juste les nombres qui changent. Tu verras, à la fin tu seras un as de la relation de conjugaison.
À toi de jouer
1. Exercice 1 – $f' = 20$ cm, $\overline{OA} = -60$ cm.
$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} + \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \Rightarrow \overline{OA'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\overline{OA'}$ est (positif/négatif) donc l'image est (réelle/virtuelle).
Place au contrôle maintenant. Tu es prêt, tu as les formules et les méthodes. Ces exercices ressemblent à ce qui peut tomber en devoir. À toi de jouer, sans filet.
À toi de jouer
1. 1. Vergence.
a) Une lentille convergente a pour distance focale $f' = 40$ cm. Calcule sa vergence en dioptries.
b) Une autre lentille a une vergence $V = 12{,}5\,\delta$. Calcule sa distance focale en cm.
c) Laquelle des deux lentilles est la plus convergente ? Justifie.
Corrigé
a) $f' = 0{,}40$ m, $V = \frac{1}{0{,}40} = 2{,}5\,\delta$.
b) $f' = \frac{1}{12{,}5} = 0{,}08$ m = $8$ cm.
c) La deuxième lentille ($12{,}5\,\delta$) est plus convergente car sa vergence est plus grande (et sa distance focale plus courte).
2. 2. Position de l'image.
Une lentille convergente a une vergence $V = 4\,\delta$. On place un objet $AB$ à $\overline{OA} = -50$ cm de la lentille.
a) Calcule la distance focale $f'$ en cm.
b) Calcule $\overline{OA'}$ en utilisant la relation de conjugaison.
c) L'image est-elle réelle ou virtuelle ? Pourquoi ?
d) Calcule le grandissement $\gamma$.
e) Déduis-en la taille de l'image si $AB = 5$ cm. L'image est-elle droite ou renversée ? Agrandie ou réduite ?
Corrigé
a) $V = 4\,\delta \Rightarrow f' = \frac{1}{4} = 0{,}25$ m = $25$ cm.
b) $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{25} + \frac{1}{-50} = \frac{2}{50} - \frac{1}{50} = \frac{1}{50}$ donc $\overline{OA'} = 50$ cm.
c) $\overline{OA'} = 50$ cm $\gt 0$, image réelle.
d) $\gamma = \frac{50}{-50} = -1$.
e) $\overline{A'B'} = \gamma \cdot \overline{AB} = -1 \times 5 = -5$ cm. L'image mesure $5$ cm, renversée ($\gamma \lt 0$) et ni agrandie ni réduite ($|\gamma| = 1$).
3. 3. Taille de l'image.
Soit une lentille convergente de vergence $V = 10\,\delta$. Un objet $AB$ de hauteur $AB = 2$ cm est placé à $\overline{OA} = -20$ cm.
a) Calcule $f'$ en cm.
b) Calcule $\overline{OA'}$.
c) Calcule $\gamma$ puis $\overline{A'B'}$.
d) Quelles sont les caractéristiques de l'image (réelle/virtuelle, droite/renversée, agrandie/réduite) ?
Corrigé
a) $f' = \frac{1}{10} = 0{,}10$ m = $10$ cm.
b) $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{-20} = \frac{2}{20} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} \Rightarrow \overline{OA'} = 20$ cm.
c) $\gamma = \frac{20}{-20} = -1$, $\overline{A'B'} = -1 \times 2 = -2$ cm (l'image mesure $2$ cm).
d) Image réelle ($\overline{OA'} \gt 0$), renversée ($\gamma \lt 0$), taille identique ($|\gamma| = 1$).
4. 4. Lentille inconnue.
Un objet placé à $\overline{OA} = -80$ cm d'une lentille convergente donne une image réelle à $\overline{OA'} = 40$ cm.
a) Calcule la distance focale $f'$ de cette lentille.
b) Calcule sa vergence $V$.
c) Vérifie que la lentille est bien convergente.
Corrigé
a) On applique la relation de conjugaison des lentilles minces :
c) On obtient $f' \approx 26{,}7$ cm $> 0$ et $V \approx 3{,}75$ δ $> 0$ : la lentille est bien convergente.
5. 5. Appareil photo.
Un appareil photo est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f' = 35$ mm. On photographie un bâtiment de hauteur $AB = 30$ m situé à $200$ m de la lentille ($\overline{OA} = -200$ m).
a) Convertis $f'$ et $\overline{OA}$ en mètres.
b) Calcule $\overline{OA'}$ en m.
c) Calcule le grandissement $\gamma$ et la taille algébrique $\overline{A'B'}$ de l'image sur le capteur.
d) Exprime la taille physique de l'image en mm (valeur absolue). L'image est-elle droite ou renversée par rapport à l'objet ?
Corrigé
a) $f' = 35$ mm = $0{,}035$ m ; $\overline{OA} = -200$ m.
b) $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{0{,}035} + \frac{1}{-200} \approx 28{,}57 - 0{,}005 = 28{,}565$ donc $\overline{OA'} \approx \frac{1}{28{,}565} \approx 0{,}0350$ m, soit environ $35$ mm (car l'objet est très éloigné, $\overline{OA'} \approx f'$).
c) $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \approx \frac{0{,}035}{-200} = -1{,}75 \times 10^{-4}$.
$\overline{A'B'} = \gamma \cdot AB = -1{,}75 \times 10^{-4} \times 30 = -5{,}25 \times 10^{-3}$ m = $-5{,}25$ mm.
d) Taille physique = $|\overline{A'B'}| = 5{,}25$ mm. L'image est renversée ($\gamma \lt 0$), ce qui est cohérent avec un appareil photo : l'image sur le capteur est renversée.
Tu as tout compris sur les lentilles convergentes ? Alors poussons un peu plus loin pour voir ce qui t'attend en Première. On va étudier la loupe (image virtuelle) et modéliser l'oeil. C'est passionnant, non ?
À toi de jouer
1. 1. La loupe.
Une loupe est une lentille convergente de distance focale $f' = 8$ cm. On observe un petit objet $AB$ de hauteur $5$ mm, placé à $\overline{OA} = -5$ cm de la lentille (c'est-à-dire entre le foyer objet et le centre optique).
a) Calcule $\overline{OA'}$ avec la relation de conjugaison.
b) $\overline{OA'}$ est-il positif ou négatif ? Qu'en déduis-tu sur la nature de l'image ?
c) Calcule le grandissement $\gamma$.
d) L'image est-elle droite ou renversée ? Agrandie ou réduite ?
e) Compare cette situation avec celle d'un objet placé au-delà du foyer (image réelle). En quoi la loupe est-elle utile ?
Corrigé
a) $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{-5} = \frac{5}{40} - \frac{8}{40} = -\frac{3}{40} \Rightarrow \overline{OA'} = -\frac{40}{3} \approx -13{,}3$ cm.
b) $\overline{OA'} \lt 0$, l'image est virtuelle (elle se forme du même côté que l'objet).
c) $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{-40/3}{-5} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$.
d) $\gamma \gt 0$, image droite ; $|\gamma| \gt 1$, image agrandie.
e) Avec un objet au-delà du foyer, l'image est réelle et renversée. Avec l'objet entre F et O, l'image est virtuelle, droite et agrandie : c'est le principe de la loupe. L'oeil observe à travers la lentille une image agrandie et facilement visible.
2. 2. Modélisation de l'oeil.
L'oeil est modélisé par une lentille convergente (cristallin) et un écran fixe (rétine) placé à $17$ mm derrière la lentille. Lorsque l'oeil regarde un objet lointain (à l'infini), le cristallin est au repos : sa vergence est alors $V_0 = 60\,\delta$.
a) Vérifie que l'image d'un objet lointain se forme bien sur la rétine.
L'oeil observe maintenant un livre à $25$ cm ($\overline{OA} = -0{,}25$ m). Pour voir net, l'image doit toujours se former sur la rétine. Le cristallin se bombe, sa vergence augmente : c'est l'accommodation.
b) Quelle doit être la nouvelle distance focale $f'$ du cristallin pour que l'image du livre soit sur la rétine ($\overline{OA'} = 17$ mm) ?
c) Calcule la vergence $V$ correspondante. Compare à $V_0$ et commente.
Corrigé
a) Pour un objet à l'infini, les rayons arrivent parallèles, donc l'image se forme en F' : $\overline{OA'} = f'$. Or $f' = \frac{1}{V_0} = \frac{1}{60} \approx 0{,}0167$ m = $16{,}7$ mm, très proche de $17$ mm (léger arrondi). L'image est donc sur la rétine.
b) Relation de conjugaison : $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}}$. Avec $\overline{OA'} = 0{,}017$ m, $\overline{OA} = -0{,}25$ m :
$\frac{1}{f'} = \frac{1}{0{,}017} - \frac{1}{-0{,}25} = \frac{1}{0{,}017} + \frac{1}{0{,}25} \approx 58{,}82 + 4 = 62{,}82$ m$^{-1}$.
Donc $f' = \frac{1}{62{,}82} \approx 0{,}0159$ m = $15{,}9$ mm.
c) $V = 62{,}8\,\delta$. Cette vergence est supérieure à $V_0 = 60\,\delta$ : l'oeil accommode en augmentant la vergence du cristallin (le cristallin se bombe) pour voir de près.
3. 3. Défaut de l'oeil (bonus).
Un oeil myope a une vergence trop forte au repos : $V_m = 65\,\delta$. La rétine est toujours à $17$ mm. Pour un objet lointain, l'image se forme-t-elle en avant ou en arrière de la rétine ? Quelle type de lentille (convergente ou divergente) faudrait-il pour corriger ce défaut ? (Tu verras cela en détail en 1ère.)
Corrigé
Avec $V_m = 65\,\delta$, $f' = \frac{1}{65} \approx 0{,}0154$ m = $15{,}4$ mm. L'image se forme à $15{,}4$ mm de la lentille, donc en avant de la rétine (car $15{,}4 < 17$). Pour compenser, il faut une lentille qui écarte les rayons, c'est-à-dire une lentille divergente (vergence négative) qui sera associée à l'oeil pour reculer l'image sur la rétine.
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