Lentilles minces convergentes

Les 3 réflexes de départ (prérequis)

Avant tout, trois outils de maths que tu vas utiliser sans arrêt.

1. L'inverse d'un nombre. L'inverse de $x$, c'est $\dfrac{1}{x}$. Et surtout : additionner deux inverses, ce n'est PAS additionner les nombres. On met au même dénominateur, par exemple $\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{4}{30}$.

2. Convertir des cm en m. On divise par 100 : $10\text{ cm}=0{,}10\text{ m}$, $20\text{ cm}=0{,}20\text{ m}$. Indispensable pour la vergence.

3. Un rayon lumineux se représente par une droite fléchée. Et le symétrique d'un point $F'$ par rapport à un point $O$, c'est le point $F$ situé de l'autre côté de $O$, à la même distance.

L'essentiel en 30 secondes

Une lentille mince convergente, c'est un morceau de verre plus épais au centre qu'aux bords, qui rassemble les rayons lumineux. Comme une loupe.

On repère trois points sur l'axe optique (la droite horizontale qui traverse la lentille en son milieu) :

• le centre optique $O$ : un rayon qui passe par $O$ file tout droit, sans être dévié ;
• le foyer image $F'$ : les rayons qui arrivent parallèles à l'axe se rejoignent tous en $F'$ après la lentille ;
• le foyer objet $F$ : le symétrique de $F'$ par rapport à $O$.

La distance $\overline{OF'}=f'$ (positive) s'appelle la distance focale. La vergence vaut $V=\dfrac{1}{f'}$ (avec $f'$ en mètres) et se mesure en dioptries ($\delta$) : plus elle est grande, plus la lentille est « puissante ».

Les deux formules à connaître par cœur :

Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$   ·   Grandissement : $\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.

Ici $A$ est le pied de l'objet et $A'$ le pied de l'image, tous deux sur l'axe.

Un exemple, en entier

Énoncé : une lentille de distance focale $f'=10$ cm ; un objet est placé à 30 cm devant elle. Où se forme l'image, et comment est-elle ?

Étape 1 — les données, avec les bons signes. L'objet est à gauche de la lentille, donc $\overline{OA}=-30$ cm (toujours négatif pour un objet réel). Et $f'=+10$ cm.

Étape 2 — on isole $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$. La relation $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$ donne $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{\overline{OA}}$.

Étape 3 — on remplace. $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{-30}=\dfrac{3}{30}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{30}$.

Étape 4 — on inverse. $\overline{OA'}=\dfrac{30}{2}=15$ cm.

Étape 5 — on interprète. $\overline{OA'}=+15$ cm $\gt 0$ : l'image est réelle, à 15 cm à droite de la lentille (on pourrait la recueillir sur un écran).

Étape 6 — le grandissement. $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{15}{-30}=-0{,}5$. Comme $\gamma\lt 0$, l'image est renversée ; comme $|\gamma|=0{,}5\lt 1$, elle est deux fois plus petite que l'objet.

Le vocabulaire, au propre

Reprenons chaque mot avec sa définition exacte.

Lentille mince convergente : milieu transparent (verre, plastique) limité par deux surfaces, plus épais au centre qu'aux bords. « Mince » signifie que son épaisseur est négligeable devant les distances qu'on mesure : on la représente par un simple segment vertical fléché.

Axe optique : la droite qui passe par le centre de la lentille, perpendiculaire à celle-ci. On l'oriente dans le sens de propagation de la lumière (de la gauche vers la droite).

Centre optique $O$ : le point où l'axe traverse la lentille. Propriété clé : tout rayon passant par $O$ n'est pas dévié.

Foyer image $F'$ : le point de l'axe où convergent les rayons qui arrivaient parallèles à l'axe. C'est là que se forme l'image d'un objet « à l'infini » (le Soleil, par exemple).

Foyer objet $F$ : le symétrique de $F'$ par rapport à $O$. Un rayon passant par $F$ ressort parallèle à l'axe.

Distance focale $f'$ : la distance algébrique $\overline{OF'}=f'\gt 0$. Vergence $V$ : $V=\dfrac{1}{f'}$, en dioptries quand $f'$ est en mètres.

Les trois grandeurs et la convention des signes

Trois relations gouvernent tout le chapitre.

La vergence : $V=\dfrac{1}{f'}$ ($f'$ en m, $V$ en $\delta$). Elle mesure le pouvoir de convergence de la lentille.

La relation de conjugaison (elle relie la position de l'objet à celle de l'image) : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$.

Le grandissement transversal : $\gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$. C'est un nombre sans unité.

Le point crucial : toutes ces distances sont algébriques. On oriente l'axe vers la droite et on compte à partir de $O$ :

• un objet réel est à gauche de la lentille : $\overline{OA}\lt 0$ ;
• une image réelle se forme à droite de $O$ : $\overline{OA'}\gt 0$ (on peut la projeter sur un écran) ;
• une image virtuelle est à gauche de $O$ : $\overline{OA'}\lt 0$ (on ne peut que la regarder à travers la lentille) ;
• $\gamma\lt 0$ : image renversée ; $\gamma\gt 0$ : image droite ;
• $|\gamma|\gt 1$ : image agrandie ; $|\gamma|\lt 1$ : image réduite.

Construire l'image : la méthode des rayons

Pour trouver l'image $B'$ d'un point $B$ situé hors de l'axe, on trace des rayons dont on connaît d'avance le comportement. Deux suffisent, mais on en trace souvent trois pour vérifier.

Rayon 1 : il part de $B$ parallèlement à l'axe ; après la lentille, il passe par le foyer image $F'$.

Rayon 2 : il part de $B$ vers le centre optique $O$ ; il traverse la lentille sans être dévié.

Rayon 3 : il part de $B$ en passant par le foyer objet $F$ ; après la lentille, il ressort parallèle à l'axe.

Conclusion : $B'$ est le point où se recoupent les rayons émergents. Si ces rayons divergent, ce sont leurs prolongements (tracés en pointillés, vers l'arrière) qui se croisent : l'image est alors virtuelle. Le pied de l'image $A'$ est le projeté de $B'$ sur l'axe.

Sur la figure ci-dessous, l'objet $AB$ est placé au-delà de $F$ : les trois rayons se croisent à droite, l'image $A'B'$ est réelle et renversée.

Échauffement 1 — la vergence dans les deux sens

On s'assure d'abord de maîtriser la vergence, là où tout le monde perd des points sur les unités.

Sens direct — on connaît $f'$, on veut $V$. Soit $f'=5$ cm.

On convertit d'abord : $f'=5\text{ cm}=0{,}05\text{ m}$.

Puis $V=\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{0{,}05}=20\ \delta$.

Sens inverse — on connaît $V$, on veut $f'$. Soit $V=4\ \delta$.

On isole : $f'=\dfrac{1}{V}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\text{ m}$, soit $f'=25$ cm.

Retiens le réflexe : la vergence parle toujours en mètres. Un $f'$ laissé en cm, et le résultat est faux d'un facteur 100.

Échauffement 2 — une image réelle, calcul complet

Énoncé : $f'=6$ cm, objet à $\overline{OA}=-10$ cm. On veut la position et les caractéristiques de l'image.

1. On écrit la relation sous la forme utile : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{\overline{OA}}$.

2. On remplace : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{-10}$.

3. On met au même dénominateur (30) : $\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{30}$ et $\dfrac{1}{10}=\dfrac{3}{30}$, donc $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{5}{30}-\dfrac{3}{30}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$.

4. On inverse : $\overline{OA'}=15$ cm.

5. $\overline{OA'}=+15$ cm $\gt 0$ : image réelle, à droite de la lentille.

6. Grandissement : $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{15}{-10}=-1{,}5$. Donc image renversée ($\gamma\lt 0$) et agrandie 1,5 fois ($|\gamma|=1{,}5\gt 1$).

Bilan en une phrase : « image réelle, renversée, 1,5 fois plus grande, à 15 cm derrière la lentille. »

Échauffement 3 — une image virtuelle (la loupe)

Changeons de cas : que se passe-t-il si l'objet est plus près de la lentille que le foyer, c'est-à-dire entre $F$ et $O$ ?

Énoncé : $f'=10$ cm, objet à $\overline{OA}=-5$ cm (donc $|\overline{OA}|=5\lt f'=10$).

1. $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{-5}$.

2. Même dénominateur : $\dfrac{1}{10}-\dfrac{2}{10}=-\dfrac{1}{10}$.

3. On inverse : $\overline{OA'}=-10$ cm.

4. $\overline{OA'}=-10$ cm $\lt 0$ : l'image est virtuelle, à gauche de la lentille (du même côté que l'objet). Impossible de la mettre sur un écran, mais l'œil la voit à travers la lentille.

5. Grandissement : $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{-10}{-5}=+2$. Image droite ($\gamma\gt 0$) et deux fois plus grande ($|\gamma|=2\gt 1$).

C'est exactement le principe de la loupe : objet près de la lentille, image droite et agrandie. Sur la figure, les rayons émergents divergent ; ce sont leurs prolongements en pointillés qui se croisent en $B'$.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Au contrôle, trouver le bon nombre ne suffit pas : il faut une rédaction propre et une interprétation. Voici la grille du correcteur.

1. Les signes d'abord. Écris explicitement $\overline{OA}\lt 0$ pour l'objet. Un objet noté $+30$ cm, et toute la suite est fausse.

2. La relation dans le bon sens. C'est une différence : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$, jamais une somme. Le piège classique est d'écrire $\dfrac{1}{\overline{OA'}}+\dfrac{1}{\overline{OA}}$.

3. Les unités de la vergence. $f'$ en mètres, sinon $V$ est faux d'un facteur 100. Si $f'=20$ cm, $V=\dfrac{1}{0{,}20}=5\ \delta$, pas $\dfrac{1}{20}$.

4. L'interprétation complète. Le signe de $\overline{OA'}$ dit réelle ou virtuelle ; le signe de $\gamma$ dit droite ou renversée ; $|\gamma|$ dit agrandie ou réduite. Une réponse sans ces trois mots perd des points.

5. La taille de l'image. Si on te donne la hauteur $\overline{AB}$ de l'objet, la hauteur de l'image se calcule par $\overline{A'B'}=\gamma\times\overline{AB}$.

Problème type 1 — le vidéoprojecteur

Énoncé : un vidéoprojecteur utilise une lentille de distance focale $f'=5$ cm. La diapositive (l'objet), haute de $\overline{AB}=2$ cm, est placée à 6 cm devant la lentille. À quelle distance placer l'écran, et quelle sera la taille de l'image ?

Données signées : $f'=+5$ cm, $\overline{OA}=-6$ cm.

Position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{-6}=\dfrac{6}{30}-\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{30}$.

Donc $\overline{OA'}=30$ cm : l'écran doit être placé à 30 cm derrière la lentille (image réelle, $\overline{OA'}\gt 0$).

Grandissement : $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{30}{-6}=-5$.

Taille de l'image : $\overline{A'B'}=\gamma\times\overline{AB}=-5\times 2=-10$ cm.

Interprétation : l'image mesure 10 cm (soit 5 fois l'objet), elle est renversée ($\gamma\lt 0$) — c'est pour ça qu'on insère les diapositives à l'envers dans un projecteur — et réelle, recueillie sur l'écran.

Problème type 2 — la loupe, et le récap des pièges

Énoncé : on observe un timbre à travers une loupe de distance focale $f'=5$ cm. Le timbre est placé à 3 cm de la loupe. Que voit l'œil ?

Données signées : $f'=+5$ cm, $\overline{OA}=-3$ cm (l'objet est entre $F$ et $O$, car $3\lt 5$).

Position de l'image : $\dfrac{1}{\overline{OA'}}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{-3}=\dfrac{3}{15}-\dfrac{5}{15}=-\dfrac{2}{15}$.

Donc $\overline{OA'}=-\dfrac{15}{2}=-7{,}5$ cm : image virtuelle ($\overline{OA'}\lt 0$), du côté de l'objet.

Grandissement : $\gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\dfrac{-7{,}5}{-3}=+2{,}5$.

Interprétation : image droite ($\gamma\gt 0$) et 2,5 fois plus grande ($|\gamma|\gt 1$). L'œil voit donc le timbre agrandi et à l'endroit : c'est bien le rôle d'une loupe.

Le réflexe qui sauve : objet entre $F$ et $O$ donne une image virtuelle, droite, agrandie ; objet au-delà de $F$ donne une image réelle, renversée. Vérifie toujours que le signe trouvé pour $\overline{OA'}$ colle avec cette logique.

D'où sort la relation de conjugaison ?

La formule n'est pas tombée du ciel : elle se démontre avec de la simple géométrie (le théorème de Thalès), et c'est un excellent entraînement pour l'an prochain.

Premier couple de triangles. Regarde le rayon qui part de $B$ et passe par le centre $O$ sans être dévié. Il découpe deux triangles semblables : $OAB$ (côté objet) et $OA'B'$ (côté image), tous deux rectangles en $A$ et en $A'$. L'égalité des rapports donne directement $\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ — c'est la formule du grandissement.

Second couple de triangles. Le rayon parti de $B$ parallèlement à l'axe frappe la lentille puis passe par $F'$. On obtient une deuxième paire de triangles semblables, cette fois-ci avec $f'=\overline{OF'}$.

On combine. En écrivant l'égalité des rapports dans ces deux figures, puis en réarrangeant, les termes se recombinent et l'on aboutit exactement à $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}=\dfrac{1}{f'}$. La « formule magique » n'est donc qu'un résultat de géométrie déguisé.

Les ponts avec le reste du programme

Les lentilles ne vivent pas isolées ; elles relient plusieurs chapitres.

En amont — la réfraction (Snell-Descartes). Si une lentille dévie la lumière, c'est parce que chaque rayon est réfracté en entrant puis en sortant du verre. La loi $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$ que tu croises dans le même thème « Ondes et signaux » est la véritable cause de la convergence.

Dans la vie courante — l'œil. Le cristallin de ton œil est une lentille convergente qui forme, sur la rétine, une image réelle et renversée (c'est ton cerveau qui la « remet à l'endroit »). Faire le point de près ou de loin, c'est modifier sa vergence : on appelle ça l'accommodation.

Les appareils. Appareil photo, smartphone, vidéoprojecteur, loupe : tous exploitent exactement les deux formules de cette fiche.

Un aperçu de la suite

Ce que tu retrouveras plus tard, en t'appuyant sur ces bases :

• la lentille divergente, la cousine à bords épais et centre mince : même relation de conjugaison, mais avec une distance focale négative ($f'\lt 0$) et une vergence négative. D'un objet réel elle donne toujours une image virtuelle et réduite.
• les instruments d'optique qui associent plusieurs lentilles : le microscope et la lunette astronomique, où l'image donnée par la première lentille sert d'objet à la seconde.
• l'étude quantitative du modèle réduit de l'œil et des défauts de vision (myopie, hypermétropie), corrigés justement par des lentilles.

À chaque fois, le point de départ restera cette même paire d'outils : conjugaison et grandissement. Solides ici, tu seras tranquille là-bas.