Lentilles minces convergentes

Comment une lentille forme l'image d'un objet — distance focale, vergence, conjugaison et grandissement.

1 L'idée

Une lentille mince convergente est un dispositif optique transparent, plus épais en son centre qu'en ses bords, qui fait converger les rayons lumineux vers l'axe optique.

On lui associe trois points remarquables : le centre optique O (tout rayon passant par O n'est pas dévié), le foyer image F' (les rayons incidents parallèles à l'axe convergent en F' après la lentille) et le foyer objet F (symétrique de F' par rapport à O).

La grandeur $\overline{OF'} = f' \gt 0$ est la distance focale. La vergence $V = 1/f'$ (avec $f'$ en mètres) s'exprime en dioptries (δ). Plus $V$ est grand, plus la lentille est convergente.

2 Les trois grandeurs fondamentales

Vergence

$V = \dfrac{1}{f'} \quad (f' \text{ en m},\ V \text{ en } \delta)$

Relation de conjugaison

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$

Grandissement transversal

$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

3 Convention algébrique

L'axe optique est orienté de gauche à droite (sens de propagation de la lumière). Toutes les distances sont algébriques : négatives à gauche de O, positives à droite.

Objet réel à gauche de la lentille : $\overline{OA} \lt 0$.
Image réelle à droite de O : $\overline{OA'} \gt 0$.
Image virtuelle à gauche de O : $\overline{OA'} \lt 0$.
$\gamma \lt 0$ : image renversée ; $\gamma \gt 0$ : image droite.
$|\gamma| \gt 1$ : image agrandie ; $|\gamma| \lt 1$ : image réduite.

Méthode — Construire l'image d'un point B hors de l'axe

Rayon 1 : incident parallèle à l'axe → émerge en passant par $F'$.
Rayon 2 : incident passant par le centre optique O → n'est pas dévié.
Rayon 3 : incident passant par $F$ → émerge parallèle à l'axe.
$B'$ est l'intersection des rayons émergents (ou de leurs prolongements en pointillés si l'image est virtuelle).

5 Application numérique

Exemple — $f' = 10$ cm, $\overline{OA} = -30$ cm

Relation de conjugaison : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{-30} = \dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{30}$, donc $\overline{OA'} = 15$ cm.

Image réelle ($\overline{OA'} = 15$ cm $\gt 0$), à droite de la lentille.

Grandissement : $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{15}{-30} = -0{,}5$.

Image réduite ($|\gamma| = 0{,}5 \lt 1$) et renversée ($\gamma \lt 0$).

Erreurs fréquentes

Unité de la vergence : convertir $f'$ en mètres avant de calculer $V$. Si $f' = 20$ cm, alors $V = 1/0{,}20 = 5\,\delta$, pas $1/20$.
Signe de $\overline{OA}$ : l'objet est toujours à gauche de O donc $\overline{OA} \lt 0$ ; ne jamais entrer une valeur positive.
Ordre de la soustraction : la relation est $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$, pas une somme.
Signe de $\gamma$ : $\gamma = -2$ signifie image renversée ($\gamma \lt 0$) et agrandie ($|\gamma| = 2 \gt 1$).