Loi de Snell-Descartes — Réfraction

Les prérequis à avoir sous la main

Trois choses en tête, et tu es paré :

• Un angle se mesure en degrés. Sur ta calculatrice tu sais faire $\sin$ d'un angle, et surtout la touche inverse $\sin^{-1}$ (aussi notée arcsin) qui, à partir d'un sinus, te redonne l'angle.
• Mets ta calculatrice en mode degrés (souvent « DEG » à l'écran), pas en radians. Sinon tous tes angles seront faux — c'est l'erreur classique.
• La normale, c'est la droite perpendiculaire à la surface au point où le rayon la touche. Retiens bien : tous les angles se mesurent par rapport à la normale, jamais par rapport à la surface.

L'essentiel en une image

Quand la lumière passe d'un milieu transparent à un autre — l'air vers le verre, l'eau vers l'air… — elle change de direction : c'est la réfraction.

Chaque milieu est décrit par son indice optique $n$, un nombre sans unité et toujours $n \ge 1$. Les trois à connaître : $n_{\text{air}} \approx 1$, $n_{\text{eau}} \approx 1{,}33$, $n_{\text{verre}} \approx 1{,}5$.

La seule formule à retenir, la loi de Snell-Descartes :

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$

$i_1$ est l'angle d'incidence (le rayon qui arrive, dans le milieu 1) et $i_2$ l'angle de réfraction (le rayon qui repart, dans le milieu 2), tous deux mesurés depuis la normale.

Un exemple fait en entier (air vers verre)

Énoncé. Un rayon passe de l'air ($n_1 = 1$) vers le verre ($n_2 = 1{,}5$) avec un angle d'incidence $i_1 = 40°$. Quel est l'angle de réfraction $i_2$ ?

1. On écrit la loi : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.

2. On isole l'inconnue : $\sin i_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \dfrac{1 \times \sin 40°}{1{,}5}$.

3. On calcule : $\sin 40° \approx 0{,}643$, donc $\sin i_2 \approx \dfrac{0{,}643}{1{,}5} \approx 0{,}429$.

4. On remonte à l'angle avec l'arc-sinus : $i_2 = \sin^{-1}(0{,}429) \approx 25{,}4°$.

Conclusion. $i_2 \approx 25{,}4° < 40°$ : en entrant dans le verre (plus « dense » optiquement), le rayon se rapproche de la normale. Logique, et ça tombe juste.

Réfraction, normale, indices : les définitions propres

Réfraction. C'est le changement de direction d'un rayon lumineux qui passe d'un milieu transparent à un autre. La cause profonde : la lumière ne va pas à la même vitesse dans les deux milieux.

Normale. La droite perpendiculaire à la surface de séparation (on l'appelle le dioptre) au point d'incidence. C'est la référence de tous les angles.

Angle d'incidence $i_1$. Entre le rayon incident et la normale, dans le milieu 1. Angle de réfraction $i_2$. Entre le rayon réfracté et la normale, dans le milieu 2.

Indice optique $n$. Un nombre sans dimension ($n \ge 1$) propre à chaque milieu, défini par $n = \dfrac{c}{v}$, où $v$ est la vitesse de la lumière dans ce milieu et $c \approx 3{,}00 \times 10^8$ m/s sa vitesse dans le vide. Plus $n$ est grand, plus la lumière y est lente.

La loi de Snell-Descartes et la méthode pas à pas

La loi de Snell-Descartes relie les deux angles et les deux indices :

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$

Méthode pas à pas :

• 1. Repérer les deux milieux et écrire leurs indices $n_1$ (milieu incident) et $n_2$ (milieu réfracté).
• 2. Vérifier que $i_1$ et $i_2$ sont bien mesurés depuis la normale.
• 3. Écrire la loi, puis isoler l'inconnue.
• 4a. Pour trouver un angle : $i_2 = \sin^{-1}\!\left(\dfrac{n_1 \sin i_1}{n_2}\right)$.
• 4b. Pour trouver un indice : $n_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2}$.

Et si on te demande une vitesse, on repasse par l'indice : $v = \dfrac{c}{n}$.

Les deux directions : se rapprocher ou s'éloigner de la normale

Tout se joue sur la comparaison de $n_1$ et $n_2$ :

• Cas $n_2 \gt n_1$ (on entre dans un milieu plus réfringent, ex. air vers verre) : $\sin i_2 \lt \sin i_1$, donc $i_2 \lt i_1$. Le rayon se rapproche de la normale.
• Cas $n_2 \lt n_1$ (on sort vers un milieu moins réfringent, ex. eau vers air) : $i_2 \gt i_1$. Le rayon s'éloigne de la normale.

Exemple (eau vers air). $n_1 = 1{,}33$, $n_2 = 1$, $i_1 = 30°$.

$\sin i_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \dfrac{1{,}33 \times \sin 30°}{1} = 1{,}33 \times 0{,}5 = 0{,}665$.

$i_2 = \sin^{-1}(0{,}665) \approx 41{,}7°$.

On a bien $41{,}7° \gt 30°$ : en sortant de l'eau vers l'air, le rayon s'éloigne de la normale — cohérent avec le cas $n_2 \lt n_1$.

Exemple 1 — air vers verre : trouver l'angle réfracté

On le fait ensemble. Rayon air vers verre, $n_1 = 1$, $n_2 = 1{,}5$, angle d'incidence $i_1 = 30°$. On cherche $i_2$.

Ligne 1 — la loi. On part toujours de la formule littérale, avant de remplacer : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.

Ligne 2 — on isole. L'inconnue est $i_2$, donc on l'isole côté sinus : $\sin i_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{n_2}$.

Ligne 3 — on remplace. $\sin i_2 = \dfrac{1 \times \sin 30°}{1{,}5} = \dfrac{0{,}5}{1{,}5} \approx 0{,}333$.

Ligne 4 — l'arc-sinus. On n'oublie jamais cette étape : $i_2 = \sin^{-1}(0{,}333) \approx 19{,}5°$.

Ligne 5 — on vérifie. $n_2 \gt n_1$ donc on attendait $i_2 \lt i_1$ : $19{,}5° \lt 30°$, parfait.

Exemple 2 — eau vers air : le rayon s'éloigne

Deuxième ensemble. Cette fois eau vers air : $n_1 = 1{,}33$, $n_2 = 1$, $i_1 = 40°$. On cherche $i_2$.

Ligne 1. La loi : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$.

Ligne 2. On isole : $\sin i_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \dfrac{1{,}33 \times \sin 40°}{1}$.

Ligne 3. $\sin 40° \approx 0{,}643$, donc $\sin i_2 \approx 1{,}33 \times 0{,}643 \approx 0{,}855$.

Ligne 4. $i_2 = \sin^{-1}(0{,}855) \approx 58{,}8°$.

Ligne 5 — cohérence. $n_2 \lt n_1$, on attendait $i_2 \gt i_1$ : $58{,}8° \gt 40°$. Le rayon s'éloigne franchement de la normale — on n'est plus très loin de « raser » la surface.

Exemple 3 — retrouver un indice à partir d'une mesure

Troisième ensemble : on cherche un indice. En TP, un rayon passe de l'air dans un liquide inconnu. On mesure l'angle d'incidence $i_1 = 45°$ et l'angle de réfraction $i_2 = 32°$. Quel est l'indice $n_2$ du liquide ?

Ligne 1. La loi, encore : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$, avec $n_1 = n_{\text{air}} \approx 1$.

Ligne 2 — on isole $n_2$. Ici l'inconnue est un indice, pas un angle : $n_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2}$.

Ligne 3. $n_2 = \dfrac{1 \times \sin 45°}{\sin 32°} \approx \dfrac{0{,}707}{0{,}530} \approx 1{,}33$.

Ligne 4 — on interprète. $n_2 \approx 1{,}33$ : ce liquide, c'est de l'eau !

Bonus vitesse. On en déduit la vitesse de la lumière dans l'eau : $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}33} \approx 2{,}26 \times 10^8$ m/s. Bien plus lente que dans le vide.

Ce que le correcteur attend (et les pièges qui coûtent des points)

Au contrôle, la démarche compte autant que le résultat. Voici ce qui rapporte (ou coûte) des points :

• Partir de la loi littérale $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ avant de remplacer par les valeurs. Le correcteur veut voir la formule.
• Angles depuis la normale. Piège n°1 : les mesurer depuis la surface. Tu obtiendrais l'angle complémentaire (l'écart avec la normale et l'écart avec la surface font $90°$ ensemble) et tout le calcul serait faux.
• Ne pas oublier l'arc-sinus. $\dfrac{n_1 \sin i_1}{n_2}$ est un sinus, pas un angle. Écrire « $i_2 = 0{,}429$ » au lieu de $i_2 = \sin^{-1}(0{,}429)$ est l'erreur la plus fréquente.
• Calculatrice en degrés, et $n_{\text{air}} \approx 1$ (ne le laisse jamais indéterminé).
• Si tu trouves $\sin i_2 \gt 1$ : signale-le au lieu de forcer un résultat. Il n'y a alors pas de rayon réfracté (réflexion totale, hors programme) — on en reparle au palier suivant.
• Conclure par une phrase de cohérence : comparer $i_2$ et $i_1$ selon $n_1$ et $n_2$.

Problème type 1 — déterminer un indice, puis une vitesse

Énoncé. On envoie un rayon de l'air sur un bloc de verre. On mesure un angle d'incidence $i_1 = 50°$ et un angle de réfraction $i_2 = 30°$.
1) Déterminer l'indice $n_2$ du verre. 2) En déduire la vitesse de la lumière dans ce verre.

1) Indice. Loi : $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$, avec $n_1 = 1$.

On isole l'indice cherché : $n_2 = \dfrac{n_1 \sin i_1}{\sin i_2} = \dfrac{\sin 50°}{\sin 30°}$.

$n_2 = \dfrac{0{,}766}{0{,}5} \approx 1{,}53$. Cohérent : un verre a bien un indice voisin de $1{,}5$.

2) Vitesse. On part de la définition $n = \dfrac{c}{v}$, qu'on retourne en $v = \dfrac{c}{n}$.

$v = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{1{,}53} \approx 1{,}96 \times 10^8$ m/s.

Ce que le correcteur coche : la formule littérale, l'application numérique avec l'unité, et une valeur $v \lt c$ (la lumière est toujours plus lente dans la matière que dans le vide).

Problème type 2 — la lame de verre à faces parallèles

Énoncé. Un rayon arrive de l'air sur une lame de verre à faces parallèles ($n = 1{,}5$) sous un angle $i_1 = 40°$. Montrer que le rayon qui ressort est parallèle au rayon qui entre.

Face d'entrée (air vers verre). $\sin i_2 = \dfrac{1 \times \sin 40°}{1{,}5} \approx \dfrac{0{,}643}{1{,}5} \approx 0{,}429$, donc $i_2 = \sin^{-1}(0{,}429) \approx 25{,}4°$.

À l'intérieur. Les deux faces sont parallèles, donc leurs normales aussi. Le rayon frappe la face de sortie avec le même angle qu'à l'intérieur, soit $25{,}4°$.

Face de sortie (verre vers air). $1{,}5 \times \sin 25{,}4° = 1 \times \sin i_3$, donc $\sin i_3 = 1{,}5 \times 0{,}429 \approx 0{,}643$ et $i_3 = \sin^{-1}(0{,}643) \approx 40°$.

Conclusion. $i_3 = i_1 = 40°$ : le rayon émergent est parallèle au rayon incident, simplement décalé latéralement. C'est pour ça qu'on voit net à travers une vitre — juste un petit décalage, pas de déformation.

Quand il n'y a plus de rayon réfracté : la réflexion totale

Reprends le cas eau vers air ($n_1 \gt n_2$). Plus $i_1$ augmente, plus $i_2$ grandit — et tu l'as vu au palier 3, à $i_1 = 40°$ on était déjà à $i_2 \approx 58{,}8°$. Que se passe-t-il si on continue ?

À partir d'un certain angle limite $i_{\text{lim}}$, le rayon réfracté rase la surface ($i_2 = 90°$). Au-delà, la formule donnerait $\sin i_2 \gt 1$ : impossible. Il n'y a plus de rayon réfracté du tout, la lumière est entièrement renvoyée dans l'eau : c'est la réflexion totale.

L'angle limite se calcule en posant $i_2 = 90°$ (donc $\sin i_2 = 1$) : $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{n_2}{n_1}$. Pour l'eau vers l'air : $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{1}{1{,}33} \approx 0{,}752$, soit $i_{\text{lim}} \approx 48{,}8°$.

C'est exactement le « $\sin i_2 \gt 1$ » que la fiche te disait de signaler : ici, il a enfin un nom.

Où ça sert : fibres optiques, mirages, arc-en-ciel

Une seule loi, et partout autour de toi :

• Fibre optique. La lumière reste piégée dans un fil de verre par réflexions totales successives, sans presque s'affaiblir. C'est ce qui fait voyager Internet et permet d'explorer l'intérieur du corps (endoscopie).
• Mirage sur la route en été. L'air surchauffé près du bitume a un indice plus faible ; la lumière du ciel s'y courbe et remonte vers ton œil. Tu crois voir une flaque : c'est le ciel « réfléchi ».
• Prisme et arc-en-ciel. L'indice dépend légèrement de la couleur (on parle de dispersion). Chaque couleur est donc déviée d'un angle un peu différent, et la lumière blanche se décompose en un spectre.

L'année prochaine : d'où vient la loi, et la vitesse des ondes

D'où vient cette loi ? En première puis en terminale, tu verras que l'indice $n = \dfrac{c}{v}$ relie directement la réfraction à la vitesse de l'onde lumineuse dans le milieu. Et surtout, la loi de Snell-Descartes se démontre à partir d'une idée élégante : la lumière suit le chemin qui lui prend le moins de temps (principe de Fermat), et non la ligne droite.

L'image du maître-nageur. Un sauveteur qui court vite sur le sable puis nage lentement ne fonce pas en ligne droite vers la personne en détresse : il « casse » sa trajectoire au bord de l'eau pour passer plus de temps sur le sable (rapide) et moins dans l'eau (lente). Un rayon lumineux fait exactement pareil à la frontière entre deux milieux — mêmes maths.

Et aussi. Tu relieras la réfraction à la longueur d'onde : en changeant de milieu, la lumière change de vitesse et de longueur d'onde, mais sa fréquence, elle, ne change pas. De quoi comprendre pourquoi un objet plongé dans l'eau paraît « cassé » et moins profond qu'il ne l'est.