Lumière : modèle ondulatoire et spectre visible

Les prérequis à ressortir (2 minutes de rappel)

Rien de sorcier, mais garde ces trois réflexes sous la main :

• Notation scientifique et puissances de 10. Pour multiplier, on additionne les exposants : $10^8 \times 10^{-9} = 10^{-1}$. Pour diviser, on soustrait : $\dfrac{10^8}{10^{-9}} = 10^{8-(-9)} = 10^{17}$.
• Convertir une longueur d'onde. Un nanomètre vaut $1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$ : pour passer des nm aux mètres, tu multiplies par $10^{-9}$.
• Isoler une inconnue dans un produit. Si $c = \lambda \times f$, alors $f = \dfrac{c}{\lambda}$ et $\lambda = \dfrac{c}{f}$ : on divise des deux côtés par ce qui gêne.

L'essentiel en clair, et LA formule

La lumière est une onde : une vibration qui se propage. Dans le vide, elle file à la vitesse $c \approx 3{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}$ (trois cent mille kilomètres par seconde, oui oui).

On la décrit avec deux grandeurs : sa longueur d'onde $\lambda$ (en mètres, souvent donnée en nanomètres) et sa fréquence $f$ (en hertz). Elles sont reliées par une seule formule à connaître par cœur :

$c = \lambda \times f$

La couleur que tu vois dépend seulement de $\lambda$. Toutes les longueurs d'onde visibles vont d'environ 400 nm (violet) à 800 nm (rouge) : c'est le spectre visible. En dessous de 400 nm (UV) et au-dessus de 800 nm (IR), l'œil ne voit plus rien.

Un exemple, du début à la fin

Énoncé. La lumière jaune d'une lampe au sodium a pour longueur d'onde $\lambda = 589 \text{ nm}$. Quelle est sa fréquence $f$ ?

Étape 1 — convertir $\lambda$ en mètres. $589 \text{ nm} = 589 \times 10^{-9} \text{ m}$.

Étape 2 — isoler $f$. De $c = \lambda \times f$ on tire $f = \dfrac{c}{\lambda}$.

Étape 3 — remplacer et calculer. $f = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}} \approx 5{,}09 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

Étape 4 — vérifier. Pour de la lumière visible, $f$ doit tourner autour de $10^{14} \text{ Hz}$ : c'est bon. Et voilà, tu sais déjà faire l'exercice le plus classique du chapitre.

Les définitions à poser proprement

Dans le modèle ondulatoire, la lumière est une onde électromagnétique : une perturbation qui se propage sans transporter de matière. Dans le vide, sa vitesse est une constante : $c \approx 3{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}$.

Une onde se caractérise par :

• sa longueur d'onde $\lambda$ : la distance sur laquelle le motif se répète (par exemple la distance entre deux crêtes). Unité SI : le mètre ; en optique on l'exprime souvent en nanomètres, avec $1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$.
• sa fréquence $f$ : le nombre de vibrations par seconde. Unité : le hertz (Hz).
• sa période $T$ : la durée d'une vibration, inverse de la fréquence — $T = \dfrac{1}{f}$ (en secondes).

La relation qui les lie toutes dans le vide : $c = \lambda \times f$.

Le spectre visible, en détail

Le spectre visible s'étend du violet (petite $\lambda$, grande $f$) au rouge (grande $\lambda$, petite $f$). Les deux domaines invisibles l'encadrent :

• Ultraviolets (UV) : $\lambda \lt 400 \text{ nm}$ — invisible
• Violet : 400 – 430 nm
• Bleu : 430 – 490 nm
• Vert : 490 – 570 nm
• Jaune : 570 – 590 nm
• Orange : 590 – 620 nm
• Rouge : 620 – 800 nm
• Infrarouges (IR) : $\lambda \gt 800 \text{ nm}$ — invisible

Retiens le sens : quand $\lambda$ augmente (on va vers le rouge), $f$ diminue. Les deux varient toujours en sens opposé, puisque leur produit $c$ est constant.

La méthode pas-à-pas (les deux directions)

Toujours la même recette autour de $c = \lambda \times f$ :

1. Repère ce qui est donné ($\lambda$ ou $f$) et ce qu'on cherche.
2. Convertis $\lambda$ en mètres si elle est en nm : $\lambda(\text{m}) = \lambda(\text{nm}) \times 10^{-9}$.
3. Isole l'inconnue : $f = \dfrac{c}{\lambda}$ (sens λ vers f) ou $\lambda = \dfrac{c}{f}$ (sens f vers λ).
4. Calcule, puis vérifie l'ordre de grandeur : pour le visible, $f \sim 10^{14} \text{ Hz}$.
5. Si on le demande, calcule $T = \dfrac{1}{f}$ et identifie la couleur en comparant $\lambda$ (en nm) aux plages du spectre.

Exemple A (λ vers f). Lumière jaune du sodium, $\lambda = 589 \text{ nm} = 589 \times 10^{-9} \text{ m}$.

$f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}} \approx 5{,}09 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

Exemple B (f vers λ). Une onde a $f = 6{,}00 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

$\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{6{,}00 \times 10^{14}} = 5{,}00 \times 10^{-7} \text{ m} = 500 \text{ nm}$.

500 nm tombe dans la plage 490 – 570 nm : c'est une lumière verte.

Ensemble : de λ vers f (le sodium, décortiqué)

On cherche quoi ? On nous donne $\lambda = 589 \text{ nm}$ et on veut la fréquence $f$. Donc on part de $\lambda$, on va vers $f$ : c'est le sens λ vers f.

Première chose : l'unité. $\lambda$ est en nanomètres, mais $c$ est en mètres par seconde. On convertit : $589 \text{ nm} = 589 \times 10^{-9} \text{ m}$. (Si tu oublies cette ligne, tout le reste sera faux — c'est LE réflexe.)

On isole $f$. Dans $c = \lambda \times f$, la fréquence est multipliée par $\lambda$ ; pour la récupérer seule, on divise par $\lambda$ : $f = \dfrac{c}{\lambda}$.

On remplace. $f = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}}$. Je sépare les nombres et les puissances : $\dfrac{3{,}00}{589} \approx 5{,}09 \times 10^{-3}$, et $\dfrac{10^8}{10^{-9}} = 10^{17}$.

On rassemble. $f \approx 5{,}09 \times 10^{-3} \times 10^{17} = 5{,}09 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

On vérifie. $10^{14} \text{ Hz}$, c'est bien l'ordre de grandeur d'une lumière visible. Parfait, on ne s'est pas trompé.

Ensemble : de f vers λ, puis la couleur

On cherche quoi ? On donne $f = 6{,}00 \times 10^{14} \text{ Hz}$, on veut $\lambda$, puis la couleur. Sens f vers λ.

On isole $\lambda$. Dans $c = \lambda \times f$, on divise par $f$ : $\lambda = \dfrac{c}{f}$.

On remplace. $\lambda = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{6{,}00 \times 10^{14}}$. Les nombres : $\dfrac{3{,}00}{6{,}00} = 0{,}500$. Les puissances : $\dfrac{10^8}{10^{14}} = 10^{-6}$.

On rassemble. $\lambda = 0{,}500 \times 10^{-6} = 5{,}00 \times 10^{-7} \text{ m}$.

On repasse en nm pour lire la couleur : $5{,}00 \times 10^{-7} \text{ m} = 500 \text{ nm}$.

On identifie. 500 nm est dans la plage 490 – 570 nm, donc lumière verte. (Regarde la bande ci-dessous : 500 nm tombe pile dans le vert.)

Bonus ensemble : trouver la période T

Parfois on te demande aussi la période $T$, la durée d'une seule oscillation. C'est simplement l'inverse de la fréquence : $T = \dfrac{1}{f}$.

Reprenons le sodium, pour lequel on a trouvé $f \approx 5{,}09 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

$T = \dfrac{1}{5{,}09 \times 10^{14}}$. Les nombres : $\dfrac{1}{5{,}09} \approx 0{,}196$. Les puissances : $\dfrac{1}{10^{14}} = 10^{-14}$.

$T \approx 0{,}196 \times 10^{-14} = 1{,}96 \times 10^{-15} \text{ s}$.

Réflexe de vérif : une période aussi minuscule (de l'ordre de $10^{-15} \text{ s}$) est tout à fait normale pour de la lumière — elle vibre des centaines de milliers de milliards de fois par seconde.

Problème type 1 — le laser rouge

Énoncé. Un pointeur laser rouge émet une lumière de longueur d'onde $\lambda = 650 \text{ nm}$. 1) Calcule sa fréquence $f$. 2) Calcule sa période $T$. 3) Vérifie que sa couleur est cohérente avec le spectre.

1) Fréquence. Conversion d'abord : $650 \text{ nm} = 650 \times 10^{-9} \text{ m}$.

$f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{650 \times 10^{-9}} \approx 4{,}62 \times 10^{14} \text{ Hz}$.

2) Période. $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{4{,}62 \times 10^{14}} \approx 2{,}17 \times 10^{-15} \text{ s}$.

3) Couleur. 650 nm est dans la plage 620 – 800 nm : c'est bien du rouge, cohérent avec l'énoncé.

Ordre de grandeur : $f \sim 10^{14} \text{ Hz}$ et $T \sim 10^{-15} \text{ s}$ — exactement ce qu'on attend pour du visible. Copie validée.

Problème type 2 — est-ce visible ?

Énoncé. Deux sources émettent chacune une radiation : la première à $f_1 = 7{,}50 \times 10^{14} \text{ Hz}$, la seconde à $f_2 = 8{,}00 \times 10^{14} \text{ Hz}$. Lesquelles sont visibles, et de quelle couleur ?

Radiation 1. $\lambda_1 = \dfrac{c}{f_1} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{7{,}50 \times 10^{14}} = 4{,}00 \times 10^{-7} \text{ m} = 400 \text{ nm}$.

400 nm est la limite basse du visible (plage violet 400 – 430 nm) : cette radiation est visible, violette.

Radiation 2. $\lambda_2 = \dfrac{c}{f_2} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{8{,}00 \times 10^{14}} = 3{,}75 \times 10^{-7} \text{ m} = 375 \text{ nm}$.

375 nm est inférieure à 400 nm : on est dans les ultraviolets, donc invisible à l'œil nu.

Le piège : une fréquence plus grande donne une longueur d'onde plus petite. En augmentant $f$, on finit par sortir du visible par le côté violet — sans que la source cesse d'émettre pour autant.

Ce que le correcteur attend, et les pièges

Sur ta copie, le correcteur coche :

• la conversion des nm en mètres écrite explicitement ;
• la formule littérale ($f = \dfrac{c}{\lambda}$ ou $\lambda = \dfrac{c}{f}$) avant l'application numérique ;
• l'unité du résultat (Hz, s, ou m/nm) — un résultat sans unité perd des points ;
• le bon nombre de chiffres significatifs (ici on garde 3, comme les données) ;
• la conclusion demandée : la couleur, ou « visible / invisible ».

Les pièges qui coûtent cher :

• Utiliser $\lambda$ en nm dans $c = \lambda \times f$ sans la convertir : tout doit être en système international, donc en mètres.
• Confondre $\lambda$ et $f$ : quand $\lambda$ augmente (vers le rouge), $f$ diminue. Ils varient en sens opposé.
• Écrire $T = f$ : non, $T = \dfrac{1}{f}$. Ce sont des inverses.
• Croire que toute lumière est visible : les UV ($\lambda \lt 400 \text{ nm}$) et les IR ($\lambda \gt 800 \text{ nm}$) existent bel et bien, mais l'œil ne les voit pas.

D'où vient c = λ × f ?

La formule n'est pas tombée du ciel, on peut la justifier. Une onde se répète dans l'espace tous les $\lambda$, et dans le temps toutes les $T$. Or, pendant une seule période $T$, une crête avance exactement d'une longueur d'onde $\lambda$.

La vitesse, c'est une distance divisée par une durée : $c = \dfrac{\text{distance}}{\text{durée}} = \dfrac{\lambda}{T}$.

Comme $T = \dfrac{1}{f}$, diviser par $T$ revient à multiplier par $f$ : $c = \dfrac{\lambda}{T} = \lambda \times f$.

Et voilà : $c = \lambda \times f$ n'est rien d'autre que « vitesse = distance / temps » appliqué à une onde. Une fois que tu vois ça, tu ne peux plus te tromper de sens.

Au-delà du ruban visible : tout le spectre électromagnétique

Le spectre visible (400 – 800 nm) n'est qu'une toute petite fenêtre. Les mêmes ondes électromagnétiques, avec le même $c$ et la même relation $c = \lambda \times f$, existent bien au-delà :

• vers les grandes $\lambda$ (petites $f$) : infrarouges, micro-ondes, ondes radio ;
• vers les petites $\lambda$ (grandes $f$) : ultraviolets, rayons X, rayons gamma.

C'est exactement le même modèle : seule la longueur d'onde change. Et quand une lumière blanche traverse un prisme ou une goutte d'eau, chaque $\lambda$ est déviée un peu différemment : les couleurs se séparent, c'est la dispersion (l'arc-en-ciel). Tu recroiseras cette idée avec la réfraction et les lentilles, les autres notions d'optique du programme.

L'an prochain : la lumière transporte de l'énergie

Dernier coup d'œil vers le futur. En classe supérieure, tu verras que la lumière ne se contente pas de se propager : elle transporte de l'énergie, et par petits paquets appelés photons.

L'énergie d'un photon est proportionnelle à la fréquence : $E = h \times f$, où $h$ est la constante de Planck ($h \approx 6{,}63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$).

La conséquence à garder en tête : plus $f$ est grande (donc plus $\lambda$ est petite), plus le photon est énergétique. C'est pour ça que les UV (petite $\lambda$, grande $f$) sont plus « agressifs » pour la peau que la lumière visible, tandis que les IR (grande $\lambda$) sont plus doux. La même relation entre $\lambda$ et $f$ que tu maîtrises déjà, simplement prolongée jusqu'à l'énergie.