Propagation d'un signal sonore

L'essentiel, et les prérequis

Prérequis : savoir qu'une vitesse relie une distance et une durée, savoir isoler une grandeur dans une formule, et convertir les unités (mètres, secondes, et surtout les millisecondes).

L'idée en une phrase : le son est une onde mécanique. Il naît d'une vibration et se propage de proche en proche dans un milieu matériel (l'air, l'eau, un métal...).

Le point qui tombe tout le temps : le son ne se propage pas dans le vide. Sans matière, pas de son (dans l'espace, silence total).

Il avance à une vitesse appelée célérité $v$, qui dépend du milieu. Dans l'air à 20 °C, $v \approx 340\ \text{m/s}$.

La formule clé, et un exemple traité

Une seule relation à retenir, la vitesse : $v = \dfrac{d}{\Delta t}$, où $d$ est la distance (en m) et $\Delta t$ la durée du trajet (en s).

Selon ce qu'on cherche, on l'arrange : $d = v \times \Delta t$ ou $\Delta t = \dfrac{d}{v}$.

Cas particulier de l'écho : le son part, rebondit sur un obstacle et revient. Il fait donc l'aller-retour, d'où $d = \dfrac{v \times \Delta t}{2}$ (on divise par 2 pour n'avoir que l'aller).

Exemple traité. Un coup de feu est tiré à $d = 680\ \text{m}$. Avec $v = 340\ \text{m/s}$, au bout de combien de temps entend-on la détonation ?

On cherche une durée : $\Delta t = \dfrac{d}{v}$.

On remplace : $\Delta t = \dfrac{680}{340}$.

On calcule : $\Delta t = 2{,}0\ \text{s}$.

On entend donc la détonation $2{,}0$ secondes après avoir vu le flash.

Définitions : onde mécanique et célérité

Un signal sonore est un signal transporté par une onde mécanique : une perturbation qui se propage dans un milieu matériel sans transport de matière, seulement de proche en proche.

Concrètement, dans l'air, la source (haut-parleur, corde vocale, cloche...) fait vibrer les molécules. Ces vibrations créent une succession de compressions (molécules resserrées) et de raréfactions (molécules écartées) qui avancent : c'est l'onde sonore.

La célérité $v$ est la vitesse de propagation de cette onde. Point capital : elle dépend du milieu, pas de la source. Plus le milieu est rigide (peu compressible), plus le son va vite.

La célérité selon le milieu

Quelques valeurs de référence à connaître (à 20 °C) :

• Air : $v \approx 340\ \text{m/s}$
• Eau douce : $v \approx 1\,500\ \text{m/s}$
• Acier : $v \approx 5\,100\ \text{m/s}$
• Vide : propagation impossible

La règle à retenir : le son va plus vite dans les solides que dans les liquides, et plus vite dans les liquides que dans les gaz. Un solide comme l'acier transmet la vibration bien plus vite que l'air.

Les relations et la méthode pas-à-pas

Toutes les relations découlent de la définition de la vitesse :

Vitesse : $v = \dfrac{d}{\Delta t}$  ·  Distance : $d = v \times \Delta t$  ·  Durée : $\Delta t = \dfrac{d}{v}$.

Pour un écho (aller-retour sur un obstacle) : $d = \dfrac{v \times \Delta t}{2}$.

Méthode :

1. Repérer les grandeurs connues ($d$, $v$ ou $\Delta t$) et celle qu'on cherche.
2. Choisir la relation adaptée et isoler la grandeur cherchée.
3. Convertir les unités : $v$ en m/s, $d$ en m, $\Delta t$ en s (méfiance avec les millisecondes).
4. Pour un écho, penser à diviser par 2.
5. Conclure avec la valeur et l'unité.

Exemple A (durée) : coup de feu à $680\ \text{m}$, dans l'air $v = 340\ \text{m/s}$.

$\Delta t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{680}{340} = 2{,}0\ \text{s}$.

Exemple B (écho) : on crie face à une paroi, l'écho revient $1{,}2\ \text{s}$ plus tard, $v = 340\ \text{m/s}$. Le son a fait l'aller-retour :

$d_{\text{paroi}} = \dfrac{v \times \Delta t}{2} = \dfrac{340 \times 1{,}2}{2} = 204\ \text{m}$.

Ensemble, exemple 1 : trouver une distance (l'orage)

Énoncé : tu vois un éclair, puis tu entends le tonnerre $3{,}0\ \text{s}$ plus tard. Dans l'air, $v = 340\ \text{m/s}$. À quelle distance est tombée la foudre ?

On commente. On connaît la vitesse $v$ et la durée $\Delta t$, on cherche une distance $d$ : la bonne relation est $d = v \times \Delta t$.

On remplace : $d = 340 \times 3{,}0$.

On calcule : $d = 1\,020\ \text{m}$, soit environ $1\ \text{km}$.

Astuce de tête : dans l'air, le son parcourt à peu près $340\ \text{m}$ chaque seconde, donc « 3 secondes de retard » vaut à peu près « 1 km ». On verra au palier suivant pourquoi on peut ignorer le temps mis par la lumière.

Ensemble, exemple 2 : ne pas se faire avoir par les millisecondes

Énoncé : un capteur mesure qu'un son met $\Delta t = 40\ \text{ms}$ pour parcourir un couloir, dans l'air ($v = 340\ \text{m/s}$). Quelle est la longueur du couloir ?

Piège n°1, l'unité. Les $40\ \text{ms}$ sont des millisecondes. On convertit d'abord : $40\ \text{ms} = 40 \times 10^{-3}\ \text{s} = 0{,}040\ \text{s}$.

On cherche une distance, et il n'y a pas d'écho ici : $d = v \times \Delta t$.

On remplace : $d = 340 \times 0{,}040$.

On calcule : $d = 13{,}6\ \text{m}$.

Réflexe : si tu avais oublié la conversion et tapé $340 \times 40$, tu aurais trouvé $13\,600\ \text{m}$, un couloir de 13 km, invraisemblable. Le bon sens rattrape souvent l'erreur d'unité.

Ensemble, exemple 3 : l'écho, on divise par 2

Énoncé : un bateau utilise un sonar. Il envoie un son dans l'eau et reçoit l'écho du fond $\Delta t = 0{,}040\ \text{s}$ plus tard. Dans l'eau, $v = 1\,500\ \text{m/s}$. Quelle est la profondeur ?

On commente. Le son descend jusqu'au fond puis remonte : il fait l'aller-retour. La distance totale parcourue vaut donc $2$ fois la profondeur, d'où $d = \dfrac{v \times \Delta t}{2}$.

Attention au milieu : ici c'est de l'eau, donc $v = 1\,500\ \text{m/s}$ (surtout pas $340$).

On remplace : $d = \dfrac{1\,500 \times 0{,}040}{2}$.

On calcule le haut, puis on divise : $1\,500 \times 0{,}040 = 60$, puis $d = \dfrac{60}{2} = 30\ \text{m}$.

Le fond est à $30\ \text{m}$ sous le bateau. Sans le « diviser par 2 », on aurait trouvé $60\ \text{m}$, soit le double : c'est l'erreur classique de l'écho.

Les subtilités, et ce que le correcteur attend

Pourquoi on ignore le temps de la lumière. Dans les problèmes « éclair - tonnerre » ou « flash - détonation », on suppose qu'on voit l'événement à l'instant même où il se produit. C'est justifié : la lumière file à $3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$, presque un million de fois plus vite que le son ($340\ \text{m/s}$). Sur quelques kilomètres, la lumière arrive quasi instantanément : tout le retard mesuré est celui du son.

Toujours vérifier le milieu. La valeur de $v$ change tout : $340\ \text{m/s}$ dans l'air, $1\,500\ \text{m/s}$ dans l'eau, $5\,100\ \text{m/s}$ dans l'acier. Lis bien l'énoncé avant de choisir.

Ce que le correcteur veut voir, dans l'ordre :

1. la formule littérale d'abord (par exemple $d = v \times \Delta t$) ;
2. l'application numérique avec les valeurs déjà converties ;
3. le résultat avec son unité ;
4. une phrase de conclusion qui répond vraiment à la question.

Problème résolu 1 : l'orage se rapproche

Énoncé : lors d'un orage, tu comptes $6{,}0\ \text{s}$ entre l'éclair et le tonnerre. Plus tard, tu ne comptes plus que $2{,}0\ \text{s}$. La foudre se rapproche-t-elle, et de combien ? (Dans l'air, $v = 340\ \text{m/s}$.)

1. Formule. On cherche des distances, on connaît $v$ et $\Delta t$ : $d = v \times \Delta t$.

2. Premier éclair : $d_1 = 340 \times 6{,}0 = 2\,040\ \text{m}$.

3. Second éclair : $d_2 = 340 \times 2{,}0 = 680\ \text{m}$.

4. Écart : $d_1 - d_2 = 2\,040 - 680 = 1\,360\ \text{m}$.

Conclusion : oui, l'orage se rapproche ; il s'est approché d'environ $1\,360\ \text{m}$, soit près de $1{,}4\ \text{km}$.

Problème résolu 2 : la profondeur au sonar, et les pièges

Énoncé : un sonar émet une salve dans l'eau ($v = 1\,500\ \text{m/s}$) et reçoit l'écho $80\ \text{ms}$ plus tard. Quelle est la profondeur du fond ?

1. Conversion. $80\ \text{ms} = 80 \times 10^{-3}\ \text{s} = 0{,}080\ \text{s}$.

2. Formule. C'est un écho (aller-retour) : $d = \dfrac{v \times \Delta t}{2}$.

3. Application. $d = \dfrac{1\,500 \times 0{,}080}{2} = \dfrac{120}{2} = 60\ \text{m}$.

Conclusion : le fond est à $60\ \text{m}$ sous le sonar.

Les quatre pièges qui coûtent des points :

• oublier de diviser par 2 pour un écho (le son fait l'aller et le retour) ;
• ne pas convertir les millisecondes ($40\ \text{ms} = 0{,}040\ \text{s}$) ;
• croire que le son se propage dans le vide : impossible, il faut de la matière ;
• confondre la célérité du son ($340\ \text{m/s}$) avec la vitesse de la lumière ($3 \times 10^{8}\ \text{m/s}$).

Justifier au lieu de réciter

D'où sort le « diviser par 2 » ? Ce n'est pas une règle magique. Dans un écho, le son parcourt la distance $d$ jusqu'à l'obstacle, puis la même distance au retour : la distance totale vaut $2d$. Or la vitesse relie cette distance totale à la durée : $v = \dfrac{2d}{\Delta t}$. En isolant $d$, on retrouve exactement $d = \dfrac{v \times \Delta t}{2}$. Tu ne récites plus la formule, tu la redémontres.

Pourquoi le son va-t-il plus vite dans les solides ? Le son avance parce que chaque « morceau » de matière bouscule son voisin. Dans un solide, les particules sont fortement liées : la bousculade se transmet presque instantanément de proche en proche. Dans un gaz, les molécules sont très espacées et peu liées, donc l'information met plus de temps à passer. D'où l'ordre : solides > liquides > gaz, cohérent avec « plus le milieu est rigide, plus le son va vite ».

Le son est aussi un signal périodique

Un son « pur » (comme celui d'un diapason) est un signal périodique : le même motif se répète à intervalles réguliers. La durée d'un motif s'appelle la période $T$ (en secondes).

On lui associe la fréquence $f = \dfrac{1}{T}$ (en hertz, Hz) : c'est le nombre de motifs par seconde. C'est elle qui donne la hauteur du son, grave (basse fréquence) ou aigu (haute fréquence).

Attention à ne pas mélanger : la fréquence caractérise la source et ne change pas avec le milieu, tandis que la célérité $v$, elle, dépend du milieu. Ce sont deux grandeurs différentes.

Aperçu de l'an prochain, et où ça sert

L'an prochain (en 1re), tu relieras la célérité, la période et une nouvelle grandeur, la longueur d'onde $\lambda$ (la « longueur d'un motif » dans l'espace), par la relation $\lambda = v \times T$. Tu verras aussi que la lumière est une onde elle aussi, mais d'un autre type (électromagnétique) : contrairement au son, elle se propage dans le vide. C'est pour ça qu'on voit le Soleil sans jamais l'entendre.

Où la propagation du son sert vraiment :

• le sonar et l'échographie : mesurer une distance ou « voir » un bébé grâce aux échos d'ultrasons ;
• l'écholocation des chauves-souris et des dauphins, qui « voient » leur environnement avec le son ;
• estimer la distance d'un orage en comptant les secondes après l'éclair.

Une même petite formule, $v = \dfrac{d}{\Delta t}$, et te voilà capable de sonder l'océan comme un dauphin. Pas mal, pour un contrôle de 2nde.