Tu n'as jamais entendu parler d'énergie cinétique mais le contrôle approche ? Pas de panique. On part de ce que tu sais déjà sur la vitesse et on construit tout ensemble. En une demi-heure, tu seras fonctionnel.
Prérequis : la vitesse
Rappel : la vitesse $v$ (en mètres par seconde, m/s) se calcule en divisant la distance parcourue $d$ (en mètres, m) par la durée du parcours $t$ (en secondes, s) : $v = \frac{d}{t}$.
Pour convertir une vitesse de km/h en m/s, on divise par 3,6 : $v_{\text{m/s}} = \frac{v_{\text{km/h}}}{3{,}6}$.
L'énergie cinétique, c'est quoi ?
Tout objet en mouvement possède de l'énergie cinétique. Plus il est massif et plus il va vite, plus cette énergie est grande. Elle se note $E_c$ et se mesure en joules (J). Un objet immobile a $E_c = 0$ J.
La formule
$E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$ avec $m$ en kg, $v$ en m/s, $E_c$ en J.
Attention : la vitesse est au carré, donc doubler la vitesse multiplie $E_c$ par $4$.
À toi de jouer
1. Complète le calcul de l'énergie cinétique d'un objet de masse $m = 3$ kg et de vitesse $v = 4$ m/s.
$E_c = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2$
Calcule d'abord $v^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Puis $E_c = \frac{1}{2} \times 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2$
$v^2 = 16$
Puis $E_c = \frac{1}{2} \times 3 \times 16 = 0{,}5 \times 3 \times 16 = 1{,}5 \times 16 = 24$ J
2. Convertis la vitesse $72$ km/h en m/s.
$v_{\text{m/s}} = \frac{72}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s
Corrigé
$v_{\text{m/s}} = \frac{72}{3{,}6} = 20$ m/s
3. Complète : Pour un objet de masse $m$, si on double sa vitesse $(v \to 2v)$, alors son énergie cinétique est multipliée par $\underline{\hspace{1.1em}}$. Indice : $(2v)^2 = 4v^2$.
Corrigé
par $4$
Ah oui, l'énergie cinétique ! La formule te revient ? On va remettre tout ça en ordre avec la méthode complète et quelques pièges à éviter. Après ça, tu pourras calculer sans te tromper.
Rappel de la formule et des unités
$E_c = \frac{1}{2} m v^2$ avec $m$ en kg, $v$ en m/s, $E_c$ en J. Si la vitesse est en km/h, la convertir en m/s en divisant par $3{,}6$.
Méthode en 3 étapes
- Vérifier et convertir les unités : $m$ en kg, $v$ en m/s.
- Calculer $v^2$.
- Appliquer la formule $E_c = \frac{1}{2} \times m \times v^2$.
Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir la vitesse : $90$ km/h $\to 90/3{,}6 = 25$ m/s.
- Placer le carré sur $(mv)$ au lieu de $v$ seul. On écrit toujours $\frac{1}{2} m v^2$, jamais $\frac{1}{2} (mv)^2$.
- Confondre l'effet de la masse et de la vitesse : doubler $m$ multiplie $E_c$ par $2$, doubler $v$ la multiplie par $4$.
À toi de jouer
1. Calculons ensemble l'énergie cinétique d'un ballon de $m = 0{,}45$ kg lancé à $v = 10$ m/s.
Étape 1 : unités OK ? $m$ en kg, $v$ en m/s.
Étape 2 : calcule $v^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 3 : $E_c = \frac{1}{2} \times 0{,}45 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Résultat : $E_c = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$v^2 = 100$
$E_c = \frac{1}{2} \times 0{,}45 \times 100 = 0{,}225 \times 100 = 22{,}5$ J
2. Une voiture de $m = 1 200$ kg roule à $54$ km/h. Suis la méthode.
Conversion : $v = \frac{54}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s
$v^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$E_c = \frac{1}{2} \times 1 200 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$v = \frac{54}{3{,}6} = 15$ m/s
$v^2 = 225$
$E_c = \frac{1}{2} \times 1 200 \times 225 = 600 \times 225 = 135 000$ J
3. Un objet a une énergie cinétique $E_c = 144$ J et une masse $m = 2$ kg. Trouve sa vitesse $v$ en m/s.
On utilise $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$
Calcule $\frac{2 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Puis $v = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s
Corrigé
$\frac{2 \times 144}{2} = 144$
$v = \sqrt{144} = 12$ m/s
C'est l'heure de la répétition mécanique : cinq calculs d'énergie cinétique quasi identiques. Plus tu en fais, plus ça devient automatique. Prends ta calculatrice et fonce.
À toi de jouer
1. Calcule l'énergie cinétique.
$m = 5$ kg, $v = 2$ m/s
$E_c = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 5 \times 2^2 = 0{,}5 \times 5 \times 4 = 10$ J
2. Calcule l'énergie cinétique.
$m = 10$ kg, $v = 3$ m/s
$E_c = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 0{,}5 \times 10 \times 9 = 45$ J
3. Calcule l'énergie cinétique.
$m = 2$ kg, $v = 5$ m/s
$E_c = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 2 \times 5^2 = 0{,}5 \times 2 \times 25 = 25$ J
4. Calcule l'énergie cinétique.
$m = 8$ kg, $v = 1$ m/s
$E_c = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 8 \times 1^2 = 0{,}5 \times 8 \times 1 = 4$ J
5. Calcule l'énergie cinétique.
$m = 0{,}5$ kg, $v = 10$ m/s
$E_c = \frac{1}{2} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ J
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} \times 0{,}5 \times 10^2 = 0{,}25 \times 100 = 25$ J
On passe aux exercices type contrôle : des problèmes variés, sans trous cette fois. N'oublie pas la méthode et les conversions, et tout ira bien.
À toi de jouer
1. Calcule l'énergie cinétique de chaque objet. Exprime le résultat en joules.
a) Un ballon de football : $m = 0{,}45$ kg, $v = 12$ m/s.
b) Une voiture : $m = 1 500$ kg, $v = 20$ m/s.
Corrigé
a) $E_c = \frac{1}{2} \times 0{,}45 \times 12^2 = 0{,}225 \times 144 = 32{,}4$ J
b) $E_c = \frac{1}{2} \times 1 500 \times 20^2 = 750 \times 400 = 300 000$ J
2. Un cycliste et son vélo ont une masse totale de $80$ kg. Leur énergie cinétique vaut $E_c = 5 760$ J. Calcule leur vitesse en m/s.
Corrigé
$E_c = \frac{1}{2} m v^2 \implies 5 760 = \frac{1}{2} \times 80 \times v^2 \implies 5 760 = 40 v^2 \implies v^2 = 144 \implies v = \sqrt{144} = 12$ m/s.
3. Un objet de masse $m = 3$ kg se déplace à différentes vitesses.
a) Calcule son énergie cinétique pour $v = 5$ m/s.
b) Calcule son énergie cinétique pour $v = 10$ m/s (vitesse doublée).
c) Par quel facteur l'énergie cinétique a-t-elle été multipliée ? Justifie à l'aide de la formule.
Corrigé
a) $E_c = \frac{1}{2} \times 3 \times 5^2 = 1{,}5 \times 25 = 37{,}5$ J
b) $E_c = \frac{1}{2} \times 3 \times 10^2 = 1{,}5 \times 100 = 150$ J
c) $\frac{150}{37{,}5} = 4$ ; l'énergie est multipliée par $4$ car $(2v)^2 = 4v^2$.
4. Sécurité routière. Une voiture de masse $m = 1 500$ kg roule sur une route.
a) Convertis les vitesses $v_1 = 36$ km/h et $v_2 = 72$ km/h en m/s.
b) Calcule $E_{c1}$ à la vitesse $v_1$, puis $E_{c2}$ à la vitesse $v_2$.
c) En doublant la vitesse, par quel facteur l'énergie cinétique est-elle multipliée ?
d) Quelle conclusion en tirer pour la sécurité routière ?
Corrigé
a) $v_1 = 36 \div 3{,}6 = 10$ m/s ; $v_2 = 72 \div 3{,}6 = 20$ m/s
b) $E_{c1} = \frac{1}{2} \times 1 500 \times 10^2 = 750 \times 100 = 75 000$ J ; $E_{c2} = \frac{1}{2} \times 1 500 \times 20^2 = 750 \times 400 = 300 000$ J
c) $\frac{300 000}{75 000} = 4$ ; l'énergie est multipliée par $4$ quand la vitesse est doublée.
d) À vitesse élevée, l'énergie cinétique est beaucoup plus grande, donc l'énergie à dissiper lors d'un freinage ou d'un choc est bien plus importante : la distance de freinage augmente considérablement.
Tu maîtrises le calcul d'énergie cinétique ? Alors voyons ce que ça donne quand on l'applique à des situations plus extrêmes ou quand on la relie à d'autres notions. Un petit aperçu de la physique de seconde, ça te dit ?
À toi de jouer
1. Un astéroïde de masse $m = 10^9$ kg file dans l'espace à une vitesse de $v = 20$ km/s.
a) Convertis $v$ en m/s.
b) Calcule son énergie cinétique en joules.
c) Exprime ce résultat en mégajoules (1 MJ = $10^6$ J).
d) Une tonne de TNT libère environ $4{,}184 \times 10^9$ J. Combien de tonnes de TNT faudrait-il pour égaler l'énergie de cet astéroïde ?
e) Qu'en penses-tu ? Cette comparaison te paraît-elle pertinente ?
Corrigé
a) $v = 20$ km/s $= 20 \times 10^3$ m/s $= 2 \times 10^4$ m/s
b) $E_c = \frac{1}{2} \times 10^9 \times (2 \times 10^4)^2 = 0{,}5 \times 10^9 \times 4 \times 10^8 = 2 \times 10^{17}$ J
c) $2 \times 10^{17}$ J $= 2 \times 10^{11}$ MJ
d) Nombre de tonnes de TNT $= \frac{2 \times 10^{17}}{4{,}184 \times 10^9} \approx 4{,}78 \times 10^7$, soit environ 48 millions de tonnes.
e) Une énergie colossale, équivalente à des millions de tonnes d'explosif. Une telle collision aurait des effets dévastateurs à l'échelle planétaire.
2. Pour arrêter un véhicule, l'énergie cinétique doit être dissipée par un travail de freinage $W = F \times d$, où $F$ est la force de freinage (en N) et $d$ la distance d'arrêt (en m). On suppose que l'énergie cinétique est entièrement convertie en ce travail : $E_c = W$.
Une voiture de masse $m = 1 000$ kg roule à $v = 30$ m/s. Elle est capable de freiner avec une force constante $F = 5 000$ N.
a) Calcule son énergie cinétique.
b) Déduis-en la distance d'arrêt $d$ (en m).
c) Selon toi, comment évolue la distance d'arrêt si la vitesse double ?
Corrigé
a) $E_c = \frac{1}{2} \times 1 000 \times 30^2 = 500 \times 900 = 450 000$ J
b) $E_c = F \times d \implies 450 000 = 5 000 \times d \implies d = \frac{450 000}{5 000} = 90$ m
c) Si la vitesse double, $E_c$ est multipliée par $4$, donc pour une même force de freinage, la distance d'arrêt serait multipliée par $4$, soit $360$ m. Cela illustre le danger des vitesses excessives.
3. Sur autoroute, un camion de $30$ tonnes et une voiture de $1{,}5$ tonne roulent à la même vitesse de $90$ km/h.
a) Convertis la vitesse en m/s.
b) Calcule l'énergie cinétique de chaque véhicule.
c) Calcule le rapport $\frac{E_{c,\text{camion}}}{E_{c,\text{voiture}}}$. Que remarques-tu ?
d) Explique pourquoi un camion met beaucoup plus de distance pour s'arrêter qu'une voiture roulant à la même vitesse.
Corrigé
a) $v = \frac{90}{3{,}6} = 25$ m/s
b) $E_{c,\text{camion}} = \frac{1}{2} \times 30 000 \times 25^2 = 15 000 \times 625 = 9 375 000$ J ; $E_{c,\text{voiture}} = \frac{1}{2} \times 1 500 \times 25^2 = 750 \times 625 = 468 750$ J
c) $\frac{9 375 000}{468 750} = 20$. L'énergie cinétique du camion est $20$ fois plus grande que celle de la voiture, proportionnellement au rapport des masses.
d) L'énergie à dissiper au freinage est bien plus grande pour le camion. À force de freinage comparable, il lui faut une distance bien plus longue pour s'arrêter, d'où l'importance de respecter les distances de sécurité.