Contrôle bientôt, tu ouvres le cahier, et là : le vide sidéral sur l'énergie cinétique. Pas de panique — ça tient en une phrase et une formule. On respire, on y va tranquillement.

Les prérequis (30 secondes chrono)

Trois petites choses suffisent pour comprendre la suite :

  • Une masse se mesure en kilogrammes ($\text{kg}$).
  • Une vitesse se mesure ici en mètres par seconde ($\text{m/s}$).
  • Une énergie se mesure en joules ($\text{J}$), et un carré, c'est un nombre multiplié par lui-même : $v^2 = v \times v$.

Si tu sais faire une multiplication et calculer un carré, tu tiens déjà l'essentiel du calcul.

L'essentiel en une phrase (et la formule)

L'énergie cinétique, c'est l'énergie que possède un objet parce qu'il bouge. Un objet à l'arrêt en a zéro ; plus il est lourd ou rapide, plus il en a. On la note $E_c$ et on la mesure en joules.

La formule à retenir
$E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2$

À surveiller : la masse $m$ doit être en $\text{kg}$ et la vitesse $v$ en $\text{m/s}$. Et c'est bien $v$ (la vitesse) qui est au carré, elle toute seule.

mvsens du mouvement

Un exemple, et c'est réglé

Un ballon qui roule
Un ballon de masse $m = 0{,}5\ \text{kg}$ va à $v = 6\ \text{m/s}$.
On calcule d'abord le carré de la vitesse : $v^2 = 6^2 = 36$.
On applique la formule : $E_c = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 36$.
$E_c = 0{,}25 \times 36 = 9\ \text{J}$.

Et voilà : $9$ joules. Si on te donne $m$ et $v$, tu remplaces, tu calcules, tu écris l'unité. C'est exactement ce qu'un contrôle de base attend.

Ah oui, ça remonte — le fameux demi, le carré, la vitesse qui compte double... voire quadruple. On reprend proprement, du début, sans laisser de trou cette fois.

Définition propre et unités

L'énergie cinétique, notée $E_c$, est l'énergie que possède un objet parce qu'il est en mouvement. Un objet immobile a une énergie cinétique nulle ; plus il est lourd ou plus il va vite, plus son énergie cinétique est grande.

Elle se mesure en joules ($\text{J}$), comme toutes les énergies. Pour que la formule tombe juste, chaque grandeur doit être dans son unité de référence :

Énergie
$E_c$ en joules ($\text{J}$)
Masse
$m$ en kilogrammes ($\text{kg}$)
Vitesse
$v$ en mètres par seconde ($\text{m/s}$)

La formule, dans les deux sens

La relation à connaître par cœur, et sa version « retournée » :

Calculer l'énergie
$E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2$
Retrouver la vitesse
$v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}$

La deuxième n'est que la première réarrangée : si on connaît $E_c$ et $m$, on isole $v$.

Le point clé, c'est le carré. La vitesse intervient au carré, donc elle pèse bien plus lourd que la masse. Concrètement : doubler la masse multiplie $E_c$ par $2$, mais doubler la vitesse multiplie $E_c$ par $4$ (car $2^2 = 4$). C'est ce que montre la courbe ci-contre : elle grimpe de plus en plus raide.

Ecvv02 v0Ec04 Ec0

La méthode pas à pas (et la conversion)

Méthode — calculer une énergie cinétique
  • Vérifier les unités : $m$ en $\text{kg}$, $v$ en $\text{m/s}$. Si la vitesse est en $\text{km/h}$, on divise par $3{,}6$ : $v_{\text{m/s}} = v_{\text{km/h}} \div 3{,}6$.
  • Calculer $v^2$ en premier (l'oublier est l'erreur la plus fréquente).
  • Appliquer la formule $E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2$.
  • Donner le résultat en joules ($\text{J}$), ou en kilojoules ($\text{kJ}$) si la valeur est grande ($1\ \text{kJ} = 1000\ \text{J}$).
Exemple A — calculer $E_c$
Un ballon de masse $m = 0{,}5\ \text{kg}$ se déplace à $v = 6\ \text{m/s}$.
$v^2 = 6^2 = 36$.
$E_c = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 36 = 0{,}25 \times 36 = 9\ \text{J}$.
Exemple B — retrouver $v$
Un objet de masse $m = 2\ \text{kg}$ a une énergie cinétique $E_c = 25\ \text{J}$. Quelle est sa vitesse ?
$v = \sqrt{\dfrac{2 \times 25}{2}} = \sqrt{25} = 5\ \text{m/s}$.

Allez, on se met en jambes. Je fais, tu regardes, on commente chaque ligne. Trois exemples, du plus doux au plus piégeux — et à la fin, tu les refais les yeux fermés.

Exemple 1 — on pose la formule tranquillement

Énoncé : une balle de masse $m = 0{,}5\ \text{kg}$ se déplace à $v = 6\ \text{m/s}$. Calcule son énergie cinétique.

On le fait ensemble, ligne par ligne
1. On vérifie les unités : $m = 0{,}5\ \text{kg}$ (bon), $v = 6\ \text{m/s}$ (bon). Rien à convertir.
2. On écrit la formule avant de remplacer : $E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2$.
3. On calcule le carré en premier : $v^2 = 6^2 = 36$.
4. On remplace : $E_c = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 36$.
5. On termine : $E_c = 0{,}25 \times 36 = 9\ \text{J}$.

Petit réflexe utile : si la balle allait deux fois plus vite ($12\ \text{m/s}$), on aurait $E_c = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 12^2 = 0{,}25 \times 144 = 36\ \text{J}$, soit quatre fois plus. Le carré, toujours le carré.

Exemple 2 — quand la vitesse est en km/h

Énoncé : une voiture de masse $m = 1000\ \text{kg}$ roule à $90\ \text{km/h}$. Quelle est son énergie cinétique ?

On le fait ensemble
1. Alerte unité : la vitesse est en $\text{km/h}$, pas en $\text{m/s}$. On convertit en divisant par $3{,}6$ : $v = 90 \div 3{,}6 = 25\ \text{m/s}$.
2. On écrit la formule : $E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2$.
3. Le carré d'abord : $v^2 = 25^2 = 625$.
4. On remplace : $E_c = \dfrac{1}{2} \times 1000 \times 625 = 500 \times 625$.
5. $E_c = 312\,500\ \text{J}$. C'est grand, on le donne aussi en kilojoules : $E_c = 312{,}5\ \text{kJ}$ (car $1\ \text{kJ} = 1000\ \text{J}$).

Si on avait oublié de convertir et calculé avec $90$, on aurait trouvé un résultat faux et démesuré. La conversion, c'est le réflexe numéro un.

v = 90 km/h = 25 m/s

Exemple 3 — on remonte à la vitesse

Énoncé : un objet de masse $m = 2\ \text{kg}$ possède une énergie cinétique $E_c = 25\ \text{J}$. Retrouve sa vitesse.

On le fait ensemble
1. Ici on connaît $E_c$ et $m$, on cherche $v$ : on prend la formule retournée $v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}$.
2. On remplace : $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 25}{2}}$.
3. On calcule l'intérieur : $\dfrac{2 \times 25}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$.
4. On prend la racine : $v = \sqrt{25} = 5\ \text{m/s}$.

Toujours vérifier que le résultat est crédible : $5\ \text{m/s}$, c'est environ $18\ \text{km/h}$ ($5 \times 3{,}6$), une vitesse tout à fait raisonnable.

Là on vise les points du barème. Les subtilités qui font la différence, les deux problèmes qui tombent tout le temps, et surtout ce que le correcteur veut voir écrit noir sur blanc.

Problème type 1 — le plus lourd n'est pas le plus « énergique »

Énoncé : un camion de masse $m_1 = 3000\ \text{kg}$ roule à $36\ \text{km/h}$. Une voiture de masse $m_2 = 1000\ \text{kg}$ roule à $90\ \text{km/h}$. Lequel a la plus grande énergie cinétique ?

Camion
Conversion : $v_1 = 36 \div 3{,}6 = 10\ \text{m/s}$.
$E_{c1} = \dfrac{1}{2} \times 3000 \times 10^2 = 1500 \times 100 = 150\,000\ \text{J} = 150\ \text{kJ}$.
Voiture
Conversion : $v_2 = 90 \div 3{,}6 = 25\ \text{m/s}$.
$E_{c2} = \dfrac{1}{2} \times 1000 \times 25^2 = 500 \times 625 = 312\,500\ \text{J} = 312{,}5\ \text{kJ}$.

Conclusion : la voiture, pourtant trois fois plus légère, a plus du double de l'énergie cinétique du camion. La raison : la vitesse compte au carré, donc rouler plus vite pèse bien plus lourd qu'être massif. C'est le genre de raisonnement que le correcteur adore voir justifié.

150 kJ312,5 kJCamionVoiture

Problème type 2 — remonter à la vitesse, avec conversion

Énoncé : une balle de masse $m = 0{,}2\ \text{kg}$ possède une énergie cinétique $E_c = 40\ \text{J}$. Quelle est sa vitesse, en $\text{m/s}$ puis en $\text{km/h}$ ?

Résolution complète
Formule retournée : $v = \sqrt{\dfrac{2\,E_c}{m}}$.
On remplace : $v = \sqrt{\dfrac{2 \times 40}{0{,}2}} = \sqrt{\dfrac{80}{0{,}2}}$.
$\dfrac{80}{0{,}2} = 400$, donc $v = \sqrt{400} = 20\ \text{m/s}$.
Conversion en $\text{km/h}$ : $v = 20 \times 3{,}6 = 72\ \text{km/h}$.

Pour repasser des $\text{m/s}$ aux $\text{km/h}$, on multiplie par $3{,}6$ (l'opération inverse de la division). Donner les deux unités quand l'énoncé le demande rapporte souvent le dernier point.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

La rédaction qui rapporte tous les points
  • Écrire la formule littérale d'abord : $E_c = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2$.
  • Faire apparaître la conversion si la vitesse est donnée en $\text{km/h}$.
  • Remplacer par les valeurs avec les unités, puis donner le résultat avec son unité ($\text{J}$ ou $\text{kJ}$).
  • Vérifier que le résultat est crédible (ordre de grandeur, unité cohérente).
Les pièges classiques
  • Oublier de convertir la vitesse : $90\ \text{km/h} \neq 90\ \text{m/s}$. On divise par $3{,}6$ : $90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}$.
  • Mal placer le carré : c'est $v$ seul qui est au carré, pas le produit $m v$. On écrit $\dfrac{1}{2} \times m \times v^2$, jamais $\dfrac{1}{2} \times (m v)^2$.
  • Confondre l'effet de $m$ et de $v$ : doubler $m$ multiplie $E_c$ par $2$ ; doubler $v$ le multiplie par $4$.
  • Oublier l'unité finale : un nombre sans « $\text{J}$ » n'est pas une énergie.
Subtilité qui rassure

Le joule n'a rien de magique : en remplaçant les unités dans la formule, on trouve $\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$. C'est justement la définition du joule. Donc si tes unités de départ sont bonnes ($\text{kg}$ et $\text{m/s}$), le résultat est forcément en joules.

Contrôle plié ? Bonus. Voici où cette petite formule t'emmène : la sécurité routière, l'énergie qui se transforme d'une forme à l'autre, et même d'où sort ce mystérieux demi.

Le carré, la route et le freinage

Ce fameux carré n'est pas qu'une histoire de formule : il explique une bonne partie de la sécurité routière. Comme l'énergie cinétique dépend de $v^2$, la distance de freinage suit la même loi. Rouler deux fois plus vite, ce n'est pas freiner sur deux fois plus de distance, mais sur quatre fois plus (car $2^2 = 4$).

C'est pour ça qu'un petit excès de vitesse allonge énormément la distance nécessaire pour s'arrêter : toute cette énergie cinétique doit être « évacuée » par les freins avant l'arrêt. Tu retrouveras exactement cette idée dans la fiche Distance de freinage du même chapitre.

L'énergie qui se transforme (aperçu lycée)

L'énergie cinétique n'est qu'une forme d'énergie parmi d'autres. Au lycée, tu la relieras à l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$, celle qu'un objet possède du fait de sa hauteur : $E_{pp} = m \times g \times h$ (avec $g \approx 9{,}8\ \text{N/kg}$ et $h$ la hauteur).

La somme des deux forme l'énergie mécanique : $E_m = E_c + E_{pp}$. Lors d'une chute (ou dans un grand huit, ou pour un pendule), l'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique : l'objet perd de la hauteur mais gagne de la vitesse. C'est ce que montre le schéma : tout en haut, l'énergie est en $E_{pp}$ et $E_c = 0$ ; tout en bas, elle est entièrement passée en $E_c$.

hEp max, Ec = 0Ec max, Ep = 0

D'où vient le demi ? (une idée de démonstration)

Pourquoi ce $\dfrac{1}{2}$ et ce carré, et pas autre chose ? L'explication complète — le théorème de l'énergie cinétique — arrive plus tard, mais voici l'idée.

Quand une force constante $F$ pousse un objet sur une distance $d$, elle lui transfère une énergie $F \times d$. Or, en partant de l'arrêt, la vitesse atteinte vérifie la relation $v^2 = 2 \times a \times d$ (une loi du mouvement), et la force vaut $F = m \times a$. En combinant les deux, l'énergie transférée $F \times d = m \times a \times d = m \times \dfrac{v^2}{2}$, c'est-à-dire exactement $\dfrac{1}{2}\,m\,v^2$.

Autrement dit : l'énergie cinétique d'un objet, c'est l'énergie qu'il a fallu lui fournir pour le lancer à la vitesse $v$. Le $\dfrac{1}{2}$ n'est pas arbitraire, il sort tout seul du calcul. De quoi arriver serein l'an prochain.