Gravitation universelle

Les prérequis à avoir en tête

Avant de te lancer, assure-toi de maîtriser ces quatre points, ce sont tes outils de base :

• Une masse se mesure en kilogrammes (kg) : c'est la quantité de matière d'un objet.
• Une distance se mesure en mètres (m). Pense à convertir : $1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}$.
• Une force se mesure en newtons (N).
• La notation scientifique (comme $6{,}0 \times 10^{24}$) sert à écrire les très grands et très petits nombres sans aligner vingt zéros.

L'essentiel et la formule à connaître

L'idée tient en une phrase : deux objets qui ont une masse s'attirent. Cette force s'appelle la force de gravitation. Elle agit à distance (sans se toucher) et elle est toujours attractive (jamais elle ne repousse).

La formule clé, celle qui rapporte les points :

$$F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$$

Ce qu'il faut y mettre :

• $F$ : la force, en newtons (N) ;
• $m_1$ et $m_2$ : les deux masses, en kilogrammes (kg) ;
• $d$ : la distance entre les centres des deux objets, en mètres (m) ;
• $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\text{}\cdot\text{kg}^{-2}$ : une constante toujours donnée dans l'énoncé.

Cas particulier ultra-courant : le poids, c'est la force de gravitation d'une planète sur un objet posé dessus. On l'écrit plus simplement $P = m \times g$, avec $g \approx 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ sur Terre.

Un exemple fait en entier

Calculons la force de gravitation entre la Terre et un satellite.

Données : masse de la Terre $m_1 = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ; masse du satellite $m_2 = 1{,}0 \times 10^3\ \text{kg}$ ; distance entre les centres $d = 7{,}0 \times 10^6\ \text{m}$.

Étape 1 — j'écris la formule : $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$.

Étape 2 — le numérateur : $G \times m_1 \times m_2 = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}0 \times 10^{24} \times 1{,}0 \times 10^3 \approx 4{,}0 \times 10^{17}$.

Étape 3 — le dénominateur : $d^2 = (7{,}0 \times 10^6)^2 = 49 \times 10^{12} = 4{,}9 \times 10^{13}$.

Étape 4 — je divise : $F = \dfrac{4{,}0 \times 10^{17}}{4{,}9 \times 10^{13}} \approx 8{,}2 \times 10^3\ \text{N}$.

La Terre attire donc ce satellite avec une force d'environ $8\,200\ \text{N}$. Et voilà, tu sais déjà appliquer la loi.

La loi de gravitation universelle

En 1687, Isaac Newton énonce la loi de gravitation universelle : deux corps qui possèdent une masse exercent l'un sur l'autre une force attractive. Chacun tire l'autre vers lui.

Deux caractéristiques à retenir :

• elle agit à distance, sans contact physique entre les corps ;
• elle est toujours attractive, jamais répulsive.

Pourquoi « universelle » ? Parce qu'elle s'applique à toutes les échelles : de la chute d'une pomme sur le sol jusqu'à l'orbite de la Terre autour du Soleil, c'est la même loi qui gouverne tout.

La formule, les grandeurs et leurs unités

La force de gravitation entre deux corps s'écrit :

$$F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$$

Détaillons chaque grandeur avec son unité :

• $F$ : la force de gravitation, en newtons (N) ;
• $m_1$ et $m_2$ : les masses des deux corps, en kilogrammes (kg) ;
• $d$ : la distance entre les centres des deux corps, en mètres (m) ;
• $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\text{}\cdot\text{kg}^{-2}$ : la constante gravitationnelle universelle, la même partout dans l'Univers (toujours fournie dans l'énoncé).

Lis bien la formule : la force augmente si les masses augmentent, et elle diminue vite quand la distance augmente, car $d$ est au carré.

Poids, masse et pesanteur

Le poids $P$ d'un objet, c'est tout simplement la force de gravitation que la planète exerce sur lui. On le calcule avec :

$$P = m \times g$$

où $m$ est la masse (en kg) et $g$ l'intensité de la pesanteur (en N·kg⁻¹), qui dépend de la planète :

• sur la Terre : $g_{\text{Terre}} \approx 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ ;
• sur la Lune : $g_{\text{Lune}} \approx 1{,}6\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$.

Cette pesanteur se relie à la loi de gravitation par $g = G \times \dfrac{M_{\text{planète}}}{R_{\text{planète}}^{\,2}}$ : elle dépend de la masse $M$ et du rayon $R$ de la planète.

Attention à ne pas confondre : la masse (en kg) ne change jamais, où que tu ailles ; le poids (en N), lui, change de planète en planète car $g$ change. Sur la Lune tu as la même masse, mais tu pèses environ 6 fois moins.

Exemple 1 — la force entre la Terre et la Lune, ligne à ligne

Énoncé : calculer la force de gravitation entre la Terre et la Lune.

Données : $m_{\text{Terre}} = 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ; $m_{\text{Lune}} = 7{,}3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ ; distance entre les centres $d = 3{,}84 \times 10^8\ \text{m}$.

On écrit d'abord la formule (toujours commencer par ça) : $F = G \times \dfrac{m_{\text{Terre}} \times m_{\text{Lune}}}{d^2}$.

On remplace par les valeurs : $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}0 \times 10^{24} \times 7{,}3 \times 10^{22}}{(3{,}84 \times 10^8)^2}$.

On calcule le numérateur (la constante fois les deux masses) : $6{,}67 \times 10^{-11} \times 4{,}38 \times 10^{47} \approx 2{,}92 \times 10^{37}$.

On calcule le dénominateur (la distance au carré) : $(3{,}84 \times 10^8)^2 \approx 1{,}475 \times 10^{17}$.

On divise : $F \approx \dfrac{2{,}92 \times 10^{37}}{1{,}475 \times 10^{17}} \approx 2{,}0 \times 10^{20}\ \text{N}$.

Une force de $2{,}0 \times 10^{20}$ N, c'est colossal — et c'est elle qui maintient la Lune en orbite autour de la Terre. Remarque la méthode : formule, remplacement, numérateur, dénominateur, division. Toujours la même.

Exemple 2 — mon poids sur la Terre et sur la Lune

Énoncé : un astronaute avec sa combinaison a une masse totale de $120\ \text{kg}$. Quel est son poids sur la Terre, puis sur la Lune ?

Sur la Terre — on utilise $P = m \times g$ avec $g_{\text{Terre}} \approx 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ :

$P_{\text{Terre}} = 120 \times 9{,}8 = 1{,}176 \times 10^3\ \text{N} \approx 1{,}18 \times 10^3\ \text{N}$.

Sur la Lune — même masse, mais $g_{\text{Lune}} \approx 1{,}6\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ :

$P_{\text{Lune}} = 120 \times 1{,}6 = 192\ \text{N}$.

On compare : $\dfrac{1176}{192} \approx 6$. L'astronaute pèse environ 6 fois moins sur la Lune... alors que sa masse reste $120\ \text{kg}$ dans les deux cas. C'est bien le poids qui change, pas la masse.

Exemple 3 — et si on éloigne les deux corps ?

Énoncé : deux corps s'attirent avec une force $F$. On double la distance entre eux (elle passe de $d$ à $2d$). Que devient la force ?

On regarde la formule : la distance est au dénominateur, au carré : $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$.

On remplace $d$ par $2d$ : le nouveau dénominateur devient $(2d)^2 = 4 \times d^2$.

On conclut : le dénominateur est multiplié par 4, donc la force est divisée par 4 : $F' = \dfrac{F}{4}$.

Le piège classique serait de répondre « divisée par 2 ». Non : à cause du carré, doubler la distance divise la force par $2^2 = 4$.

Les subtilités et les pièges à connaître

• $d$, c'est entre les centres, pas entre les surfaces. Pour deux astres, on prend la distance de centre à centre.
• Le dénominateur est $d^2$, pas $d$. Conséquence : doubler la distance divise la force par 4 ; la tripler la divise par 9.
• Masse ≠ poids. La masse (kg) est invariante ; le poids (N) dépend de la planète via $g$. Ne les mélange jamais dans un calcul.
• Les unités d'abord. Convertis toutes les distances en mètres avant de calculer ($1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}$) et vérifie que les masses sont en kg.
• Notation scientifique. Donne le résultat en puissances de 10, avec son unité (N pour une force).

Problème type entièrement résolu

Énoncé. Sur la Lune, une pierre a une masse de $2{,}5\ \text{kg}$. On donne $g_{\text{Lune}} \approx 1{,}6\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ et $g_{\text{Terre}} \approx 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$.

1) Poids de la pierre sur la Lune.

On utilise la relation $P = m \times g$.

$P_{\text{Lune}} = m \times g_{\text{Lune}} = 2{,}5 \times 1{,}6 = 4{,}0\ \text{N}$.

2) Poids de la pierre sur la Terre.

$P_{\text{Terre}} = m \times g_{\text{Terre}} = 2{,}5 \times 9{,}8 = 24{,}5\ \text{N}$.

3) Masse de la pierre sur la Terre.

La masse ne dépend pas de l'astre : elle reste $m = 2{,}5\ \text{kg}$. Seul le poids a changé (parce que $g$ a changé), pas la quantité de matière.

Ce que le correcteur attend

• Toujours écrire la relation littérale avant l'application ($P = m \times g$ ou $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$). Un résultat sans formule perd des points.
• Remplacer proprement, avec les unités, puis donner le résultat avec son unité (N).
• Une phrase de conclusion qui répond à la question posée (« Le poids de la pierre sur la Lune vaut 4,0 N »).
• Justifier le point sur la masse : écrire explicitement que la masse est invariante montre que tu as compris la différence masse / poids — c'est souvent un point à part entière.
• Chiffres significatifs cohérents : ne recopie pas huit décimales de la calculatrice, garde-en deux ou trois.

D'où vient P = m × g ? Une justification

Tu as vu deux formules qui semblent différentes : la loi de gravitation $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$ et le poids $P = m \times g$. En réalité, la seconde est un cas particulier de la première.

Prends un objet de masse $m$ posé à la surface d'une planète de masse $M$ et de rayon $R$ : la distance de l'objet au centre de la planète, c'est justement $R$. La force de gravitation qu'il subit vaut donc :

$$F = G \times \dfrac{m \times M}{R^2} = m \times \underbrace{\left(G \times \dfrac{M}{R^2}\right)}_{=\;g}$$

On reconnaît $P = m \times g$, avec $g = G \times \dfrac{M}{R^2}$. Le poids est la force de gravitation de la planète sur l'objet. Cela explique aussi pourquoi $g$ change d'une planète à l'autre : il dépend de la masse $M$ et du rayon $R$ de l'astre.

Vérifions sur la Terre ($M \approx 6{,}0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, rayon $R \approx 6{,}4 \times 10^6\ \text{m}$) : $g = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{6{,}0 \times 10^{24}}{(6{,}4 \times 10^6)^2} \approx 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$. On retrouve bien la valeur connue.

Les ponts avec d'autres notions

• Poids et masse (une notion voisine du programme) : c'est le même $P = m \times g$, appliqué à la vie de tous les jours et à la comparaison Terre / Lune.
• Mouvement et chute des corps : c'est le poids qui fait tomber les objets. La distance de freinage, la chute libre... tout part d'une force.
• L'intuition de Newton : il a compris que la même force qui fait tomber une pomme retient la Lune sur son orbite. Une pomme et un satellite obéissent à la même loi — voilà pourquoi elle est « universelle ».
• Astronomie : orbites des planètes autour du Soleil, marées, satellites artificiels... la gravitation explique la mécanique du ciel.

Un aperçu de l'an prochain

Au lycée, tu iras plus loin sur les mêmes bases :

• la force deviendra un vecteur : elle aura une direction (la droite qui joint les deux centres), un sens (attractif) et une valeur (celle que tu calcules déjà) ;
• on parlera de champ de gravitation : l'idée que chaque masse crée autour d'elle une « zone d'attraction », dont $g$ mesure l'intensité en chaque point ;
• tu étudieras le mouvement des satellites et des planètes, et comment cette unique force explique des orbites entières ;
• la constante $G$ que tu utilises comme une donnée toute faite a été mesurée expérimentalement — une belle histoire de physique que tu croiseras.

La bonne nouvelle : la formule $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{d^2}$ que tu maîtrises maintenant restera exactement la même. Tu as déjà la brique de base.